Wersja z 2022-04-23
Choć matematykę uważa się czasem za królową nauk, jej podstawom – wbrew pozorom – często bardzo daleko do naukowości. Jak przyznają czasem sami matematycy, przy tworzeniu podstaw wiedzy matematycznej, zwłaszcza zaś przy ustalaniu pojęciowego, popełniane są często błędy, od których logikom włos się jeży na głowie. I nie chodzi przy tym bynajmniej tylko o nadmierne uproszczenia. Często na przykład to, co matematycy zwą definicją, wcale definicją nie jest, a używane przez matematyków pojęcia pozostają wobec siebie w stosunku znaczeniowym, który łagodnie można określić jako dziwny.
Określanie matematycznego rozumowania terminem „ścisłe” jest wobec tego wyrazem skrajnego cynizmu i arogancji ludzi chełpiących się tym, że rzekomo posiedli ezoteryczną wiedzę matematyczną, podczas gdy tak naprawdę są po prostu lojalistami niezdolnymi do krytycznego przeanalizowania dokonań swoich poprzedników. Owszem, w określonych warunkach stosowanie niejasnych, rozmytych pojęć nie prowadzi do żadnych negatywnych konsekwencji i pozwala bez szkody rozwijać wiedzę matematyczną – co matematycy lubią podkreślać przy lada okazji. Jednak takie praktyki są niedozwolone z teoretycznego, logicznego, a nawet estetycznego punktu widzenia, i powinny w końcu zostać napiętnowane. Aparat pojęciowy matematyki powinien natomiast zostać uporządkowany.
Poniżej spróbujemy zastanowić się nad kilkoma mniej i bardziej znanymi problemami z obszaru podstawowych pojęć matematycznych i przeanalizujemy podstawowe błędy, jakże częste w podręcznikach matematyki.
Uprawianie wszelkiej działalności naukowej rozpoczyna się od wprowadzenia pojęć, którymi będziemy następnie operować. Pojęcia te powinny zostać zdefiniowane. Jak rzecze (mutatis mutandis) Wikipedia, definicją jest wypowiedź, w której informuje się o znaczeniu danego wyrażenia językowego drogą wskazania innego wyrażenia przynależącego do danego języka i posiadającego to samo znaczenie. Aby zrozumieć dobrze sens terminu „definicja”, warto odwołać się do jego źródłosłowu. Po łacinie definicja znaczy tyle, co określenie (de = o, finis = kres, koniec) a więc tyle, co wyznaczenie zakresu jakiegoś terminu lub jego stosowalności.
W każdej normalnej definicji powinny znaleźć się trzy elementy:
Przykładowo, w definicji „trójkąt to wielokąt o trzech bokach” wyraz „trójkąt” to definiendum, wyraz „to” jest łącznikiem definicyjnym, a człon „wielokąt o trzech bokach” to definiens. Warto zwrócić uwagę, że dopuszczalne są różne, całkowicie równoważne postacie łącznika definicyjnego, np. „jest to”, „znaczy tyle, co”, może go też nie być w ogóle („trójkąt – wielokąt o trzech bokach”).
Warto pamiętać, że tworzenie definicji nie jest pracą odkrywczą. Definicje nie są bowiem odbiciem naturalnie istniejących podziałów obiektów realnego świata (czy też świata wymyślonego, np. świata obiektów matematycznych), a jedynie wygodnym narzędziem klasyfikacji tych obiektów dokonywanej przez narzędzie analityczne, jakim jest nasz umysł. Jest więc w sumie kwestią umowy czy też zwyczaju językowego, co będziemy rozumieć na przykład pod pojęciem trójkąta, nawet jeśli wydaje nam się to oczywiste.
Uprawianie (wszelkiej) nauki tym się różni od innych rodzajów ludzkiej działalności, że wiąże się z przestrzeganiem pewnych zasad. Najbardziej znaną z nich jest zakaz tworzenia zbędnych bytów, znany jako Brzytwa Ockhama czy też Occama. Pewną pochodną tego zakazu jest też postulat, aby nie zmieniać bez wyraźnego i dobrego powodu raz ustalonej umowy. A zatem skoro raz umówiono się, co oznacza nazwa „trójkąt”, to teraz wszyscy muszą tej umowy przestrzegać, choćby tylko dlatego, by niepotrzebnie nie powodować utrudnień w porozumiewaniu się. Jest to równie ważne tak w nauce, jak i w życiu codziennym.
Podane wyżej rozumienie definicji jest bardzo szerokie, a nawet w przekonaniu autora zbyt szerokie. Dlatego można wyróżnić wiele (nawet kilkadziesiąt) rodzajów definicji, wyróżnianych ze względu na różne kryteria. Tu przeanalizujemy tylko niektóre podziały, o innych pouczą dobre podręczniki.
I tak, logicy lubią często podkreślać zasadniczą różnicę między definicją realną, semantyczną i nominalną. Pierwsza, realna (przedmiotowa), dotyczy realnego przedmiotu i pozwala zaliczyć konkretny obiekt (zwany desygnatem danej nazwy) do definiowanej klasy obiektów. Innymi słowy, definiuje znaczenie rzeczy. Definicja nominalna (słownikowa, leksykalna) odnosi się nie do przedmiotu, ale do określającego go terminu – definiuje jego znaczenie. Porównajmy definicję realną: „kwadrat to czworokąt o wszystkich bokach równych i wszystkich kątach równych” z definicją nominalną: „słowo «kwadrat» oznacza «czworokąt o wszystkich bokach równych i wszystkich kątach równych»”. Różnica między oboma typami oczywiście istnieje, ale poza samą logiką jest praktycznie nieistotna, a potencjalne nieporozumienia z tym związane dają się łatwo usunąć, tym bardziej, że używa się jeszcze trzeciego typu: definicji semantycznych, które określają znaczenie słowa poprzez odwołanie się do konkretnych obiektów. W rezultacie definicje realne, semantyczne i nominalne różnią się jedynie stylem definiowania, a tak naprawdę przekazują dokładnie tę samą informację. Dlatego też zamiast o definicjach realnych, semantycznych i nominalnych lepiej mówić odpowiednio o stylizacji przedmiotowej, semantycznej i słownikowej.
Nadmiernie podkreślana jest także różnica między definicjami wyraźnymi a kontekstowymi, będąca w gruncie rzeczy także kwestią różnicy stylu definiowania. Podana wyżej definicja kwadratu jest definicją wyraźną. Łatwo jednak uczynić z niej definicję kontekstową: „x jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest czworokątem i x ma wszystkie boki równe i x ma wszystkie kąty równe”. Definicje kontekstowe są właściwie próbą odczytania w języku naturalnym zapisu w języku symboli; można też uważać je za próbę przełożenia definicji wyraźnej na język logiki celem ułatwienia zapisu symbolicznego. Na normalnego człowieka wywierają jednak wrażenie negatywne i należy ich unikać poza wypadkami, gdy rzeczywiście są niezbędne. Fanatycy formalnej ścisłości zapominają, że język naturalny pozwala na przekazanie dokładnie takiej samej informacji w znacznie bardziej przystępny sposób, bez uszczerbku dla sensu wypowiedzi.
Podział definicji na sprawozdawcze (analityczne) i projektujące (syntetyczne), a następnie podział definicji projektujących na konstrukcyjne i regulujące, ma już nieco większe znaczenie. Definicja jest sprawozdawcza, jeśli polega na przytoczeniu wiedzy zastanej, a więc tego, co od dawna było wiadome. Wiąże się z tym podanie kryteriów, które były i tak stosowane, ale nie zostały dotąd wyszczególnione w sposób przejrzysty. Definicja jest projektująca konstruktywna, jeśli wprowadza lub wyjaśnia nowe pojęcie na określenie znanych obiektów lub nadaje nazwę wcześniej nieznanym przedmiotom. Definicja jest wreszcie projektująca regulująca, jeśli modyfikuje znaczenie pojęcia już istniejącego. Modyfikacja może polegać na korekcie istniejących wcześniej definicji nieostrych lub niewyraźnych, o których niżej. Inne rodzaje modyfikacji powinny być dobrze uzasadnione, by nie naruszyć wspomnianej wyżej zasady stałości umów.
Rzeczą zasadniczą jest natomiast rozróżnienie definicji równościowych i nierównościowych. W definicji równościowej definiendum i definiens znaczą dokładnie to samo. W definicji nierównościowej tak naprawdę nie wiemy, co dokładnie oznacza pojęcie definiowane, i próbujemy je jedynie przybliżyć. W naukach przyrodniczych i humanistycznych tego typu definicje są częste, w matematyce jednak nie powinno być dla nich miejsca, choć w praktyce i takie się zdarzają. Będzie o tym mowa niżej.
Zamiast mówić o definicjach równościowych i nierównościowych stosuje się też znaczące mniej więcej to samo określenia definicji ścisłych i nieścisłych. Poznanie naukowe, zwłaszcza w matematyce i innych naukach ścisłych, różni się od wiedzy potocznej między innymi tym, że bazuje (powinno bazować) na pojęciach wyraźnie zdefiniowanych, w sposób, który zawsze umożliwia orzeczenie, czy dane wystąpienie zjawiska czy przedmiotu spełnia kryteria definicji pojęcia, czy też ich nie spełnia. Na przykład ścisła definicja wielokąta powinna zawsze pozwolić ustalić, czy obiekt, z którym mamy do czynienia, jest wielokątem, czy też nim nie jest.
Niestety, już w tak bardzo elementarnych sprawach matematycy popełniają żenujące błędy. Otóż wśród dużej grupy matematyków modne jest ostatnio przekonanie, że definicja obiektu czy pojęcia matematycznego jest ścisła wówczas, jeśli jest oparta na teorii mnogości (czyli nauce o zbiorach). Wszystkim innym definicjom przykleja się jednocześnie łatkę definicji intuicyjnych, naiwnych (właśnie tak!), nieścisłych, może wręcz potocznych, niematematycznych, nienaukowych, a więc takich, które nadają się raczej dla dzieci w podstawówce niż dla profesjonalnych matematyków.
W przekonaniu takim nie ma ani krzty prawdy, i takie stawianie sprawy jest jedynie wynikiem swoistego, ohydnego snobizmu wynikającego z niezrozumiałego zachwytu dla niewłaściwie często rozumianej teorii mnogości. Warto przypomnieć od razu, że ten dział matematyki nie istniał praktycznie jeszcze sto lat temu, a mimo to matematyka rozwijała się doskonale, choć z konieczności bazowała na definicjach „naiwnych” (bo tych „ścisłych” jeszcze po prostu nie było). Co więcej, owe „ścisłe” definicje wprowadzają często więcej zamieszania niż porządku, a do tego bardzo często bywają bardzo niepraktyczne. Dowodem na takie stwierdzenie jest prosty fakt, że w praktyce i tak stosuje się określenia „intuicyjne”, i ani nikomu to nie przeszkadza, ani też nie prowadzi do jakichkolwiek błędów czy – uwaga! – nieścisłości.
Nazywanie definicji konstruowanych na bazie pojęć teorii mnogości ścisłymi oznacza faktycznie ich wartościowanie – sugerowanie, że są one w jakiś sposób „lepsze” od innych. Nic bardziej błędnego! Stąd też apel, aby posługiwać się terminem definicja ścisła w jego właściwym znaczeniu. Powtórzmy raz jeszcze: definicja jest ścisła wówczas, gdy umożliwia jednoznaczne i precyzyjne orzeczenie, czy dowolny obiekt powinien należeć do określanego zbioru, czy też nie powinien, a nie wtedy, gdy jest oparta na teorii mnogości. Definicje oparte na teorii mnogości powinno się nazywać jakoś inaczej i to bez sugestii, że są one w czymkolwiek lepsze od innych. Przydługi termin „definicja oparta na teorii mnogości” można skrócić do postaci „definicja teoriomnogościowa”. Nie jest natomiast dopuszczalne, by taką definicję nazywać ścisłą, przynajmniej tak długo, jak nie uda się pokazać, że rzeczywiście jest ona ścisła (w podanym wyżej znaczeniu).
Definicje nieścisłe we właściwym tego słowa znaczeniu obejmują definicje nieostre i niewyraźne. Obie klasy nie wykluczają się: nieścisła definicja może być (i często jest) jednocześnie nieostra i niewyraźna. Definicja jest nieostra, jeżeli wskazuje tylko niektóre desygnaty definiowanej nazwy, nie rozstrzyga jednak, czy są to wszystkie desygnaty (np. parabola to rodzaj krzywej stożkowej). Definicja jest nieostra także wówczas, gdy wskazuje obiekty, które nie są desygnatami definiowanej nazwy, ale nie ustala, czy są to wszystkie takie obiekty (np. samochód to pojazd, który nie jest ciągnięty przez zwierzę pociągowe). Definicja jest niewyraźna, jeśli dokładnie nie precyzuje, jakim zestawem cech powinny charakteryzować się desygnaty definiowanej nazwy, bo na przykład nie pozwala na to stan wiedzy o tych desygnatach (np. samochód to pojazd poruszający się samodzielnie – po pierwsze nie do końca wiadomo, co znaczy „samodzielnie”, a więc czy oznacza to np. „bez kierowcy”, po drugie definicja ta nie wyklucza przecież lokomotywy czy samolotu, który też w końcu można uznać za pojazd). Choć w praktyce definicje nieścisłe spotykane są – z różnych powodów – bardzo często, idealnym stanem rzeczy byłoby, gdyby usunąć je całkowicie z poznania naukowego. Jest w dodatku rzeczą dyskusyjną, czy w ogóle powinno się je nazywać definicjami, czy też może raczej zasługują jedynie na miano pseudodefinicji czy kwazidefinicji.
„Najdoskonalszym” rodzajem definicji równościowej jest definicja klasyczna, którą opisał już Arystoteles za pomocą formuły znanej w brzmieniu łacińskim: definitio fit per genus proximum et differentiam specificam – definiowanie odbywa się przez podanie najbliższego rodzaju i różnicy gatunkowej (A jest to B mające cechę C). Podał też znany przykład takiej właśnie definicji, nb. po dziś dzień wywołującej mieszane uczucia u niektórych ludzi: człowiek to zwierzę rozumne. Nazwa „człowiek” jest tu definiendum (A), czyli tym, co ma zostać zdefiniowane. Definiens składa się natomiast z dwóch wyraźnych części. Pierwsza to najbliższy rodzaj (B) – „zwierzę”. Stosując taką definicję włączamy klasę ludzi do klasy zwierząt. Inaczej mówiąc, ustalamy, że zbiór ludzi jest podzbiorem zbioru zwierząt. Druga część definiendum służy do wskazania kryteriów obowiązujących w obrębie klasy nadrzędnej, które powodują objęcie konkretnego desygnatu definiowaną nazwą. Te kryteria służą właśnie do oddania różnicy gatunkowej (C). Tutaj podano tylko jedną taką różnicę – bycie rozumnym.
Jednym z zadań nauki (a także innych rodzajów poznania) jest porządkowanie świata. Odrzucanie konieczności stosowania definicji klasycznych oznacza faktycznie negację tego posłannictwa. Przejawem porządkowania świata jest bowiem hierarchizacja pojęć, a ta wymaga stosowania zasad Arystotelesa przy ich definiowaniu. Dopuszczanie definicji niespełniających klasycznych wymogów – zwłaszcza w swojej dojrzałej, końcowej formie – jest więc objawem odchodzenia od elementarnych zasad nauki.
Poza tym odrzucanie potrzeby zachowania zgodności z formułą Arystotelesa oznacza faktycznie rozmycie granicy między definicjami a twierdzeniami. W ogólności twierdzenia to zdania logiczne o postaci implikacji („jeżeli… to…”), choć często ich sformułowanie jest mniej formalne i bliższe językowi naturalnemu, i dzięki temu są bardziej zrozumiałe (spójnika implikacji nie ma przecież w popularnym sformułowaniu twierdzenia Pitagorasa: pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, mimo to nikt nie neguje faktu, że jest to twierdzenie, co więcej, zawiera ono ukrytą implikację, której sformułowanie w sposób jawny nie odniosłoby żadnego skutku poza znacznym zmniejszeniem zrozumiałości twierdzenia). Zdarza się nierzadko, że obok twierdzenia prostego istnieje twierdzenie do niego odwrotne. Wówczas zgodnie z zasadami logiki twierdzenie (a właściwie oba twierdzenia, proste i odwrotne brane jednocześnie) stają się równoważnością. Jednak jak stwierdziliśmy wyżej, postać równoważności mają też na ogół definicje, a przynajmniej te równościowe. Co jest zatem kryterium odróżnienia definicji od twierdzeń?
Właśnie w celu oddzielenia obu tych pojęć należy od definicji wymagać spełnienia postulatów Arystotelesa, o czym dziś logicy kompletnie zapominają. W istocie bowiem tylko definicje klasyczne, a więc takie, które nie tylko wyznaczają precyzyjnie granice pojęcia, ale także umieszczają je w hierarchii pojęć, mogą i powinny być nazywane definicjami spełniającymi kryteria naukowości. Wszystkie inne definicje i pseudodefinicje tak naprawdę nie mają wiele wspólnego z poznaniem naukowym i powinny funkcjonować w nauce co najwyżej jako twierdzenia opisujące właściwości pewnych obiektów.
Takie postawienie sprawy dostarcza prostego kryterium przydatności danej równoważności logicznej jako definicji. Przeanalizujmy następującą równoważność, podaną w języku naturalnym, nieformalnym: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości dwóch krótszych boków równa jest kwadratowi długości najdłuższego boku (w języku sztucznym, niepotrzebnie sformalizowanym, ta sama równoważność brzmiałaby tak: trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch krótszych jego boków równa jest kwadratowi długości jego najdłuższego boku). Jeśli ograniczymy się do płaszczyzny, ktoś podane sformułowanie mógłby uznać za definicję trójkąta prostokątnego. Istotnie, nie ma innych figur, które spełniałyby podaną własność. A jednak tego rodzaju „definicja” nie spełniałaby postulatów klasycznych, i właśnie dlatego twierdzenia Pitagorasa (bo o nim przecież mowa) nie uznaje się za definicję. Mało to, nawet gdyby zbudować matematyczny model, w którym klasyczna definicja trójkąta prostokątnego nie byłaby potrzebna, podane twierdzenie i tak nie można nazwać definicją.
Od zasady uznawania w nauce (także w matematyce!) tylko definicji klasycznych jako tych istotnych istnieje pozorny wyjątek. Otóż istnieją definicje równościowe, formalnie nieklasyczne, wyznaczające zakres nazwy poprzez wymienienie wszystkich wypadków, które można tą nazwą obejmować. Na przykład: krzywa stożkowa jest to elipsa, parabola lub hiperbola (zakładamy, że okrąg jest rodzajem elipsy). W definicji takiej brak pojęcia nadrzędnego, nie jest to zatem definicja klasyczna. Jednak każde z wymienionych pojęć (elipsa, parabola, hiperbola) w swoich definicjach takie pojęcie posiada (zapewne „miejsce geometryczne”), a do tego jest ono wspólne (choć tak naprawdę nie jest to warunek niezbędnie wymagany). Podaną definicję da się zatem sprowadzić do postaci klasycznej (choć wówczas będzie mało czytelna: krzywa stożkowa jest to miejsce geometryczne punktów…, po czym następuje lista odpowiednich warunków w postaci alternatywy), i tym samym można łatwo umieścić pojęcie krzywa stożkowa w hierarchii pojęć. Definicja taka mimo nieklasycznego sformułowania spełnia wymogi, jakie postawiliśmy definicjom, i dlatego może być również akceptowana w nauce.
Autor tego opracowania wierzy, że nie ma absolutnie żadnego powodu (chyba poza jakimś manieryzmem lub nadmiernym dążeniem do oryginalności i wybicia się), by kwestionować przekonanie, że każda dobra definicja powinna mieć formę klasyczną, albo by można ją było do takiej formy przekształcić. Zatem w szczególności, definiując jakieś pojęcie należy każdorazowo wskazać pojęcie nadrzędne, najlepiej bezpośrednio nadrzędne (genus proximum), wprost lub pośrednio jak w przykładzie z krzywymi stożkowymi, a także kryteria odrębności (differentia specifica). Konsekwentne stosowanie tej zasady, często niestety obce matematykom (i nie tylko im), prowadzi jednak do dość istotnego problemu, o którym w kolejnym podrozdziale.
Postulat każdorazowego wskazywania pojęcia nadrzędnego pozwala co prawda hierarchicznie uporządkować świat, ale prowadzi w ostateczności do pojęć, których zdefiniować się już nie da, bo nie sposób wskazać pojęć wyższej rangi w hierarchii. Klasyczna matematyka (a zwłaszcza geometria) wyszczególnia listę takich pojęć, nazywając je pojęciami pierwotnymi. Dziś zapanowała niezrozumiała maniera, by terminu tego nie używać i by zastępować je pojęciem „elementy pewnego alfabetu” (jest to przecież niczym innym jak przejawem mnożenia bytów ponad miarę, a zatem pogwałceniem najbardziej elementarnych podstaw nauki). W efekcie część matematyków gubi się w wytworzonym bałaganie i czyni za wszelką cenę próby definiowania wszystkich obiektów, z którymi mają do czynienia, co oczywiście jest niewykonalne. Inni znów nazywają definicjami wypowiedzi, które na pewno definicjami nie są. Przykłady takich rzekomych definicji przeanalizujemy poniżej.
Jak wspomniano wyżej, oprócz definicji równościowych istnieją także definicje nierównościowe. Do grupy tej należą zwłaszcza tak zwane definicje przez postulaty lub definicje aksjomatyczne. Ze względu na wątpliwą przydatność przynajmniej niektórych z nich do hierarchizacji pojęć (co jak wspomnieliśmy, powinno być jednym z celów definicji) należałoby je uznać – wbrew oczekiwaniom części lojalistycznie nastawionych matematyków – za pseudodefinicje, a w najlepszym razie kwazidefinicje. Odnoszą się one bowiem do pojęć pierwotnych, takich jak punkt, zbiór (o którym niżej) czy prawdopodobieństwo. Nie podają pojęć nadrzędnych względem nich, bo jest to niemożliwe. Podają natomiast pewne ich własności, mające postać aksjomatów czyli twierdzeń podawanych bez dowodu. Tego rodzaju procedury nie można utożsamiać z definiowaniem już choćby tylko dlatego, że różni się od niej jakościowo, a zatem trzeba ją nazwać jakoś inaczej. Gdyby aksjomatyczne opisy pojęć pierwotnych (tudzież „elementów alfabetu”) nazwać definicjami, wówczas prawdziwe definicje trzeba by nazwać innym terminem, co spowodowałoby jedynie niepotrzebny bałagan pojęciowy.
Częstym zabiegiem stosowanym przy próbach „definiowania” pojęć pierwotnych jest zbieranie ich w pary lub grupy, a następnie prezentowanie aksjomatów, w których pojęcia te występują, i które są łącznie prawdziwe. Oto znany przykład tzw. definicji aksjomatycznej wymyślonych terminów „ment” i „przedza”, który podaje K. Ajdukiewicz (Logika pragmatyczna):
Tego rodzaju „definicja” nie mówi tak naprawdę, czym właściwie jest „ment”, ani co znaczy „przedza”, gdyż nie umieszcza tych pojęć w hierarchii. Dlatego właśnie lepiej tego typu list aksjomatów w ogóle definicjami nie nazywać. Postulat taki pozostaje w mocy nawet wówczas, gdy dokonamy próby przekształcenia „definicji aksjomatycznej” do postaci klasycznej, stosując sztuczny zabieg wprowadzenia pojęcia nadrzędnego o tak wielkim stopniu abstrakcji, że przestaje ono właściwie oznaczać cokolwiek. Takim abstrakcyjnym pojęciem może być na przykład byt, obiekt matematyczny albo pojęcie matematyczne. Tego rodzaju pojęcia nie nadają się do tworzenia definicji, bowiem dzięki nim dałoby się zdefiniować każde pojęcie pierwotne. Chcemy tego uniknąć, aby nie wymyślać z konieczności innego terminu na to, co tradycyjnie rozumiemy pod pojęciem definicji.
Naturalnym sposobem porządkowania świata jest łączenie podobnych obiektów w zbiory. Oto pokazujemy komuś konia, i mówimy: to jest koń. Od tej pory ten ktoś każdy podobny obiekt do tego, który mu pokazaliśmy, nazwie koniem (o ile oczywiście zapamięta jego wzór). Logicy taki pokaz wzorca określają mianem definicji ostensywnej lub deiktycznej, albo jeszcze inaczej definicji poprzez wskazanie, jest jednak bardzo wątpliwe, czy powinno się w tym wypadku w ogóle mówić o definicji, bo jaką właściwie informację przekazuje znane stwierdzenie: koń jaki jest, każdy widzi (B. Chmielowski, Nowe Ateny). W istocie bowiem wskazanie wzorca nie tylko nie umieszcza pojęcia w hierarchii, ale nawet nie wyznacza jego granic, choćby w sposób przybliżony. Pozwala jedynie utworzyć nowy zbiór i zaliczyć do niego – z pełnym przekonaniem – jeden wskazany element, a następnie umieszczać w tym zbiorze – już z nieco mniejszą dozą pewności – elementy, które porządkujący uzna za dostatecznie podobne do wzorca.
Kolejnym etapem porządkowania świata jest tworzenie pojęć coraz bardziej ogólnych. Taka procedura jest jedną z form indukcji, czyli przechodzenia od szczegółu do ogółu. Po osiągnięciu pewnego stopnia abstrakcji można z kolei próbować przechodzić od ogółu do szczegółu, czyli stosować dedukcję. Niektórzy matematycy błędnie wyobrażają sobie, że ich nauka jest czysto dedukcyjna, tj. że wymyśla pojęcia pierwotne o najwyższym możliwym stopniu abstrakcji. Tymczasem wcale tak nie jest – rozwój tej dziedziny nauki był w istocie indukcyjny. Na przykład wprowadzenie pojęcia „wielokąt” poprzedzone było używaniem pojęć bardziej konkretnych i szczegółowych, jak „trójkąt” czy „czworokąt”. Jako „wielokąt gwiaździsty” rozumiano pierwotnie (i niekiedy rozumie się do dziś) wielokąt foremny o określonej właściwości, dopiero później podjęto próbę objęcia tym terminem także pewnych wielokątów nieforemnych. Do dziś nie istnieje jedna szeroko akceptowana umowa, która określałaby, jakie wielokąty należy, a jakich nie należy zaliczyć do tej klasy (więcej o tym w artykule o wielokątach).
Klasycznym przykładem myślenia indukcyjnego, coraz bardziej abstrakcyjnego, jest rozwój pojęcia liczby. Pierwotnie nazwa ta oznaczała tylko liczby naturalne dodatnie, czasem nawet z wyłączeniem jedności. Później rozciągnięto ją na ułamki, liczby niewymierne, ujemne, zespolone i inne, i w rezultacie dziś ustalenie definicji liczby nie jest już chyba możliwe. W istocie zatem tworzenie pojęć matematycznych miało formę indukcyjną. Teraz próbuje się wymazać całkowicie ten etap, określać go mianem intuicyjnego czy naiwnego, by następnie tworzyć nową, „ścisłą” matematykę, tym razem zaczynając od pojęć pierwotnych i aksjomatów, postępując w sposób dedukcyjny.
Zarówno świat realny, jak i inne światy (jak np. świat obiektów matematycznych) można opisywać przy pomocy różnych teorii. Zestaw pojęć pierwotnych w każdej z takich teorii może być inny, inne zatem będą także definicje. Nie jest też wcale ważne zachowanie zasady używania w definicji pojęć bezpośrednio nadrzędnych, albowiem odwołanie się do pojęć nadrzędnych wyższego rzędu jest czasem równie dobre, pod warunkiem zastosowania odpowiednich kryteriów gatunkowych. W rezultacie dane pojęcie można czasem zdefiniować na różne sposoby, i każdy z tych sposobów będzie dobry. Ot, podaną definicję człowieka można przecież poprawić, wskazując jako pojęcie nadrzędne nie określenie „zwierzę”, ale „kręgowiec”, „ssak”, „naczelny” lub „małpa”. Podobnie kwadrat można definiować jako rodzaj czworokąta, rombu lub prostokąta, jedynie zmieniając kryteria odrębności gatunkowej. Nie istnieje zatem coś takiego jak definicje absolutne, które nie mogą zostać zmienione. Trzeba jedynie wiedzieć, co można i co warto zmieniać.
Wyrażenie definicji w zgodzie z zasadami stworzonymi przez Arystotelesa nie jest oczywiście jedynym warunkiem, by uznać ją za dobrą. Definicja bowiem powinna być poza tym poprawna, tj. wolna od błędów. Definicja obarczona błędem może być fałszywa albo niepoprawna semantycznie (nieinformująca).
Definicja fałszywa jest to taka definicja, która podaje zakres nazwy niezgodny z istniejącą umową. Dla części logików jest oczywiste, że tylko definicja sprawozdawcza może być fałszywa. Nie musi to być jednak prawdą, jeśli weźmiemy pod uwagę omówiony wyżej postulat stałości umów. Zatem jeśli ktoś wprowadza definicję regulującą wobec jakiegoś od dawna znanego pojęcia, i zmienia jego zakres znaczeniowy bez wyraźnego powodu, możemy również przyjąć, że wypowiada definicję fałszywą.
Istnieje kilka rodzajów definicji fałszywych. Definicja zbyt wąska nie obejmuje wszystkich desygnatów, które objąć powinna (np. nieprawdą jest, że ssak to zwierzę, którego młode ssie mleko matki, bo stekowce nie ssą, ale zlizują mleko z brzucha matki). Definicja zbyt szeroka nie wyklucza części obiektów, które powinny zostać wykluczone (np. nieprawdą jest, że kwadrat to czworokąt o wszystkich bokach równych, bo romb spełnia podane kryterium, a mimo to nie jest kwadratem na mocy istniejącej umowy). Definicja fałszywa z uwagi na krzyżowanie się zakresów jest jednocześnie częściowo zbyt wąska i częściowo zbyt szeroka (np. nieprawdą jest, że parabola to krzywa dająca się opisać równaniem `y = ax^2`, bo w definicji tej nie zaznaczono, że osie układu współrzędnych można przy tym dobrać dowolnie, tak, aby rzeczywiście daną parabolę można było opisać podanym równaniem, a ponadto nie zaznaczono, że `a!=0`, zatem prosta o równaniu `y = 0*x^2` byłaby też parabolą). Wreszcie definicja fałszywa z uwagi na wykluczanie się zakresów, na przykład z uwagi na błąd przesunięcia kategorialnego, wymienia dwie nazwy, które nie mają wspólnych desygnatów (np. nieprawdą jest, że okrąg to powierzchnia kuli, bo okrąg nie jest powierzchnią, zatem należy do innej kategorii; naprawdę powierzchnia kuli nazwana jest sferą, a okrąg jest brzegiem koła, co jednak autorom Biblii nie przeszkadza pisać o okręgu ziemi).
Definicja nieinformująca jest to taka definicja, której nie da się właściwie zrozumieć z uwagi na błąd w członie definiującym. Błąd ten może mieć charakter względny lub bezwzględny. Błąd względny wynika z faktu, że wiedza osoby, która zapoznaje się z definicją, może nie być dostatecznie duża, by ją właściwie zrozumieć. Błąd bezwzględny nie zależy natomiast od wiedzy odbiorcy.
Wyróżnia się trzy podstawowe rodzaje definicji nieinformujących. Definicja zawierająca błąd ignotum per ignotum odwołuje się do pojęcia nadrzędnego lub przywołuje kryterium, które nie jest znane odbiorcy (np. definicja zaczynająca się słów krzywa stożkowa jest to miejsce geometryczne… będzie zrozumiała tylko wtedy, jeśli odbiorca wie, co to jest miejsce geometryczne). Definicja myląca odwołuje się do treści co prawda rozumianych przez odbiorcę, ale niewłaściwie (np. w wyniku nieprecyzyjnego sformułowania: prawda jest to wyraz szczerego przekonania). Definicje takie zawierają błąd względny. Błąd bezwzględny zawiera natomiast definicja tautologiczna lub zawierająca błędne koło (circulus vitiosus in definiendo), odwołująca się w definiensie do samego definiendum lub do treści, które zostały zdefiniowane przy pomocy definiendum. Rozróżnia się przy tym tautologię bezpośrednią (błędne koło bezpośrednie) czyli błąd idem per idem (to samo przez to samo), np. okrąg jest to miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od środka okręgu, oraz tautologię pośrednią (błędne koło pośrednie), np. logika to nauka o poprawnym myśleniu – poprawne myślenie to myślenie zgodne z prawami logiki.
Warto w tym miejscu zauważyć, że często tautologii dopatruje się tam, gdzie w rzeczywistości jej wcale nie ma. Na przykład definicja dialektologia to nauka o dialektach nie zawiera błędu, przecież dialekt i dialektologia nie są tym samym (błędne koło, ale tylko pośrednie, wystąpiłoby, gdyby ktoś zdefiniował dialekt jako przedmiot badań dialektologii). Podobnie nie ma błędu w definicji życie to cecha różniąca żywe organizmy od obiektów nieożywionych; definicja ta odwołuje się do nadrzędnego pojęcia cecha (które należy uznać za pierwotne) oraz do określenia żywy, które należałoby odpowiednio zdefiniować. Usiłowania bezpośredniego zdefiniowania życia nie przynoszą efektów, a to dlatego, że „życie” znaczy tyle co „bycie żywym”, a z językowego punktu widzenia abstrakcyjny rzeczownik „życie” jest bardziej złożony niż przymiotnik „żywy”, od którego pochodzi. Z podobnego powodu trudno zdefiniować prawdopodobieństwo, o czym będzie mowa niżej.