Wersja z 2011-03-31

Wstęp

Witaj Drogi Czytelniku! Zapraszam do zapoznania się ze zbiorem refleksji związanych z matematyką. Mają one raczej charakter filozoficzny niż matematyczny, często odwołują się też do logiki (niekoniecznie matematycznej).

Choć mowa będzie o zagadnieniach nieobecnych w aktualnych programach matematyki w liceach, lektura tego tekstu raczej nie wymaga przygotowania, które znacząco wykraczałoby ponad poziom gimnazjalny. Zapoznanie się z treścią może pomóc w zrozumieniu niektórych pojęć matematycznych, może też rozbudzić krytyczny stosunek to matematyki serwowanej w szkołach. Ukazanie różnych zagadnień matematycznych z nowej perspektywy, zarówno tych znanych z nauki szkolnej, jak i tych zupełnie nieznanych, może okazać się pomocne dla osób, które wolą rozumieć matematykę niż ją wkuwać.

Wśród ludzi istnieją cztery główne postawy wobec matematyki, tak samo jak wobec każdej innej nauki. Prawdopodobnie najpospolitszą (niestety!) postawę można określić jako pragmatyczny eskapizm. Polega ona na unikaniu matematyki jak ognia i na ograniczaniu się do arytmetyki stosowanej uprawianej z konieczności przy codziennych zakupach. Szczerzy eskapiści wolą przyznać, że nie są specjalistami, i to – w ich mniemaniu – usprawiedliwia ich przed podejmowaniem jakiegokolwiek wysiłku intelektualnego. Postawa taka nie ułatwia życia w dzisiejszym świecie. Zdeklarowani pragmatyczni eskapiści miewają problemy choćby przy wypełnianiu arkuszy zeznań podatkowych, nie mówiąc nawet o sytuacji, gdy trzeba obliczyć, ile farby będzie potrzebne do pomalowania pokoju. Osoby programowo unikające matematyki nie znajdą zapewne niczego ciekawego w tej części witryny, co należy stwierdzić z wielkim żalem.

Drugą postawę wobec matematyki (ale i nauki w ogóle) można nazwać nieco przekornie lojalizmem. Lojaliści poznają matematykę na ogół chętnie, a przy tym dokładnie, często zresztą ich praca zawodowa jest ściśle związana z tą dziedziną nauki (lojalizm takich osób jest więc właściwie inną odmianą pragmatyzmu). Niektórzy dysponują imponującą wiedzą i umiejętnościami. Istotą lojalizmu jest bezwzględne posłuszeństwo prawu – w tym wypadku temu, co głoszą inni matematycy. Dość częstym objawem matematycznego lojalizmu jest uleganie modom i snobistyczny zachwyt zwyczajami matematyki uprawianej w krajach anglojęzycznych (przejawem takiego snobizmu jest na przykład zarzucanie tradycyjnych i głęboko uzasadnionych symboli kwantyfikatorów, i np. zastępowanie zapisu `^^^_(epsilon > 0){:vvv_N{:^^^_(n ge N){:|a_n|<epsilon:}:}:}` mniej czytelnym, acz modnym `AA_{:epsilon > 0:} {:EE_{:N:} {:AA_{:n ge N:} {:|a_n|<epsilon:}:}:}`). Postawa lojalisty jest więc niekonstruktywna. Nie ma dla niego w ogóle obszaru, na którym mógłby podawać coś w wątpliwość czy nawet zastanawiać się nad słusznością tego, co piszą w podręcznikach. Osoby, które nie chcą podejmować wysiłku intelektualnego, by zbadać, czy sensowne jest to, czego się nauczyli, i oczekują raczej tylko tego, że autor niniejszego tekstu będzie powielać (autentyczne czy rzekome) prawdy zawarte w podręcznikach, też mogą poczuć niedosyt, jeśli w ogóle zdecydują się przeczytać to, co zostało tu napisane.

Jak nietrudno zgadnąć, ani postawa eskapizmu, ani lojalizmu nie spotyka się z sympatią autora. Co więcej, nie wzbudza nadmiernego entuzjazmu także trzecia postawa, którą określimy jako destruktywizm. Równie adekwatny, choć o trochę potocznym wydźwięku, byłby też inny termin – krytykanctwo. Krytykant ma zwyczaj okazywać – łagodnie mówiąc – nadmierny sceptycyzm, polegający na negowaniu wszystkiego lub niemal wszystkiego, co twierdzą inni. Postawa taka jest destrukcyjna, bo jej celem jest zniszczenie efektów czyjegoś wysiłku intelektualnego. Często, choć nie zawsze, destruktywizm idzie w parze z brakami w wiedzy lub z brakami w zrozumieniu sedna zagadnienia. Destruktywista często osądza po pozorach, niekiedy z powodu niezrozumienia, innym razem z powodu niechęci zrozumienia, a czasami po prostu dla zasady krytykowania innych. Najmniej budujące w postawie takiego człowieka jest jednak to, że niszcząc owoce pracy innych, nie stara się sam niczego wybudować.

Równie krytyczny stosunek do zgromadzonej wiedzy miewają niekiedy osoby cechujące się ostatnią już, czwartą postawą, którą nazwiemy konstruktywizmem. Konstruktywista w przeciwieństwie do eskapisty chętnie podejmuje wysiłek, by zrozumieć daną teorię czy pogląd. Jeśli nie jest specjalistą, stara się zgłębić potrzebne zagadnienia w takim przynajmniej stopniu, by wyrobić sobie własny osąd sytuacji. W odróżnieniu od lojalisty nie przyjmuje na wiarę tego, co twierdzą inni, choćby nawet byli specjalistami uznawanymi przez cały naukowy świat, tylko stara się dociec, dlaczego tak mówią. Jeśli uzasadnienie okaże się dla konstruktywisty przekonujące, sam stanie się zwolennikiem i orędownikiem poglądu, który zgłębił. Jeśli jednak nie zostanie przekonany, będzie starał się zasięgnąć opinii specjalistów, zadając im kłopotliwe często pytania. Gdy odpowiedzi go nie zadowolą lub uzna je za wymijające (co niestety nader często się zdarza), spróbuje znaleźć własne rozwiązanie. Czasem będzie to powrót do starszych idei, czasem poparcie dla mało znanych pomysłów, czasem wreszcie własna propozycja. I dopiero gdy opracuje jakieś konstruktywne stanowisko, wystąpi otwarcie z miażdżącą krytyką popularnych niejednokrotnie idei. W odróżnieniu zatem od destruktywisty będzie starał się zniszczyć konstrukcję wadliwą, jednak nie pozostawi sprawy wyłącznie w rękach innych – będzie starał się sam coś zaproponować. Jedynie czasem konstruktywista powstrzymuje się od samodzielnych poszukiwań. Dzieje się tak w sytuacji, gdy uzasadnienie jakiejś idei nie jest do przyjęcia (albo po prostu posiada luki), jednak sama idea nie wydaje się nadmiernie niszczycielska, i może okazać się ostatecznie słuszna. Wówczas krytyk wysunie zastrzeżenia, ale mając na celu zdopingowanie autora idei do poszukiwania dodatkowych argumentów, a nie odrzucenie jego wysiłku.

Jak nietrudno się domyślić, autor niniejszego tekstu ceni sobie tylko postawę konstruktywnej krytyki, sam zresztą stara się kierować jej zasadami. Artykuły zgromadzone w tej części witryny mają dlatego właśnie taki a nie inny charakter – nie mają na celu dostarczać gotowej wiedzy matematycznej (bo od tego są podręczniki), ale pokazywać, gdzie wiedza ta może być nieco dziurawa. Ich celem jest więc wskazanie niedociągnięć autorów opracowań matematycznych w zakresie rozwiewania wątpliwości czytelników, podkreślanie rozmaitych elementów matematycznych teorii, które ktoś mógłby uznać za sprzeczne z zasadami obowiązującymi gdzie indziej, a w skrajnym przypadku nawet wykazanie bezsensowności niektórych idei obecnych w matematyce współczesnej. Ocena, czy prezentowane tu spostrzeżenia są słuszne, należy już do Czytelników.

A zatem: zapraszam do lektury!