Wersja z 2014-06-09
Aby przedstawić problemy związane z definicją podstawowego w matematyce pojęcia – funkcji (problematyczną podobnie jak wiele innych elementów, które na siłę dopasowuje się do nauki o zbiorach), musimy zapoznać się najpierw z kilkoma pojęciami pokrewnymi.
Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów `A` i `B`, zapisywany `A xx B`, jest to zbiór wszystkich par uporządkowanych `(a, b)`, takich że `a in A` oraz `b in B`. Symbolicznie możemy zapisać to tak: `A xx B = {(a, b): a in A ^^ b in B}`. Tłumacząc to z kolei na język bardziej zrozumiały, musimy wziąć kolejno każdy z elementów zbioru `A` i sparować go kolejno z każdym z elementów zbioru `B`, i wówczas zbiór wszystkich otrzymanych w ten sposób par będzie iloczynem kartezjańskim obu tych zbiorów. Jeśli więc na przykład `A = {1, 3, 5}` oraz `B = {2, 4}`, wówczas `A xx B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}`.
Iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie – analogicznie – zbiorem wszystkich uporządkowanych trójek elementów tych zbiorów, utworzonych tak, że pierwszy element trójki wzięto ze zbioru pierwszego, drugi ze zbioru drugiego, a trzeci ze zbioru trzeciego. I ogólnie, iloczyn kartezjański `n` zbiorów będzie zbiorem wszystkich ciągów o długości `n`, utworzonych z elementów tych zbiorów w taki sposób, że w każdym ciągu wyraz numer `i` został wzięty ze zbioru numer `i`.
Relacja rozumiana w sensie mnogościowym jest dowolnym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego. O ile iloczyn kartezjański obejmuje wszystkie możliwe ciągi utworzone tak, jak wyżej opisano, o tyle relacja obejmuje tylko niektóre takie ciągi (w szczególności może też objąć wszystkie lub żaden). Na przykład pewna relacja `rho` może oznaczać następujący podzbiór przykładowego iloczynu kartezjańskiego `A xx B` analizowanego wyżej: `rho = {(3, 2), (5, 2), (5, 4)}`. Zamiast pisać np. `(3, 2) in rho`, piszemy też `3` `rho` `2`. Podobnie zamiast ogólnego `(a, b) in rho` piszemy `a` `rho` `b` i czytamy: „element `a` jest w relacji `rho` z elementem `b`” lub „między `a` a `b` zachodzi relacja `rho`”.
Taka definicja jest z gruntu niezgodna z pragmatyką i z tradycyjnym pojmowaniem pojęć. W rzeczywistości bowiem relacja oznacza pewną zasadę decydującą, które ciągi spełniają relację, a które nie spełniają. Tymczasem zgodnie z chorymi pomysłami snobistycznych matematyków zakochanych w teorii mnogości i pomysłach Peano, zasada jest nieważna i niejako wtórna. W naszym konkretnym wypadku istotne byłoby zatem tylko to, które ciągi zostały wybrane, a bez znaczenia byłoby to, dlaczego zostały wybrane.
Natomiast zdroworozsądkowe pojęcie relacji wymaga, aby rozpocząć od ustalenia zasady wyboru. W naszym wypadku może być mowa o relacji większości: `a > b`. Dopiero po jej ustaleniu decydujemy, które ciągi spełniają podaną zasadę, a które nie.
Różnica wydaje się nieistotna, tymczasem jest zasadnicza. Zgodnie z omówioną tu definicją teoriomnogościową relacja jest ustalona tylko dla wcześniej zadanych zbiorów o ściśle ustalonej zawartości. Gdy mamy do czynienia z jakimikolwiek innymi zbiorami, także relacja jest całkiem inna. Tego jednak raczej nie chcemy, bowiem w ten sposób nigdy nie dowiemy się, czym naprawdę jest relacja `a > b`. Wolelibyśmy, aby ta jedna konkretna relacja istniała niezależnie od tego, jakie elementy znajdą się w zbiorach `A` i `B` (po spełnieniu przez nie pewnych warunków, na przykład takiego, że są to liczby rzeczywiste).
Peano i jemu podobni matematycy, wyznawcy kultu teorii mnogości, podobno przyczynili się do rozwoju matematyki, tworząc definicje nazywane przez wyznawców tego kultu „ścisłymi” (w przeciwieństwie do jakoby nieścisłych definicji tradycyjnych). W ich mniemaniu unieśli się na wyższy poziom abstrakcji, otwierając tym drogę ku nowym badaniom. W rzeczywistości jednak wyszło tak jak wyszło. Relacja w sensie takim, jak oni rozumieją, stała się czymś konkretnym, zupełnie nieabstrakcyjnym, związanym tylko z konkretnym, analizowanym zbiorem i z żadnym innym. Zamiast zatem przejścia na wyższy poziom, nastąpiło cofnięcie się na etap myślenia konkretno-obrazowego, charakterystycznego dla dzieci w przedszkolu.
Weźmy jeszcze raz dwa zbiory, `A = {1, 3, 5}` oraz `B = {2, 4}`. Niech `a, b` oznaczają odpowiednio dowolny element każdego z tych zbiorów. Zgodnie z rozumieniem wyznawców kultu zbiorów możemy stworzyć dwie relacje: `a > b` oznaczającą zbiór `{(3, 2), (5, 2), (5, 4)}` oraz `b > a` oznaczającą zbiór `{(2, 1), (4, 3), (4, 1)}`. Relacje te – według zwolenników ujęcia teoriomnogościowego – nie mają absolutnie nic wspólnego, a to, że do ich symbolicznego oznaczenia użyto tego samego znaku `>`, jest po prostu kwestią tradycji, przypadku, czy też może umowy.
Zgodnie natomiast z tradycyjnym pojmowaniem relacji istnieje coś takiego jak relacja większości `x > y` działająca z każdym zbiorem liczb rzeczywistych, i znajomość zasad, na których się opiera, pozwala z góry ustalić, co oznaczają zapisy `a > b` oraz `b > a`. Jeśli więc oderwiemy się od teoriomnogościowych absurdów, będziemy w stanie zdefiniować, na czym polega relacja większości, i będziemy mogli także zastosować ją na dowolnych zbiorach zawierających liczby rzeczywiste. Tymczasem Peano i wyznawcy stworzonego przez niego kultu nie są w stanie z góry ustalić, co oznacza zapis `a > b`, i muszą umawiać się każdorazowo co do jego znaczenia.
W istocie więc „definicja” relacji w sensie teoriomnogościowym oznacza nadanie relacji znaczenia wyłącznie jednostkowego, ustalonego dla konkretnych zbiorów. Każdy logicznie myślący człowiek może takie podejście jedynie wyśmiać. Wielu współczesnych matematyków uznaje więc za słuszne coś, co jest zaprzeczeniem wszelkiej logiki. Taki stan rzeczy nazywa się eufemistycznie „dehumanizacją” matematyki, podczas gdy tak naprawdę oznacza on skierowanie tej dziedziny wiedzy ku otchłani absurdu.
Czymże więc jest relacja zgodnie z logiką? I czy da się jednak jakoś powiązać to pojęcie z teorią mnogości?
Owszem, jest to w pełni wykonalne. Otóż gdyby nawet przyjąć za słuszne i potrzebne odwołanie do pojęcia iloczynu kartezjańskiego, relacją powinniśmy nazywać nie dowolny jego podzbiór, ale sposób, zgodnie z którym wybieramy elementy iloczynu kartezjańskiego. W ten sposób uwalniamy się całkowicie od wymogu wstępnego dokładnego określenia zawartości zbiorów wyjściowych. W naszym przykładzie istnieje zatem jedna relacja większości `x > y`, i możemy zgodnie z nią ustalić, jak będzie wyglądać konkretne wystąpienie tej relacji w wypadku `a > b` oraz w wypadku `b > a` (a także w setkach tysięcy innych wystąpień).
Istnieją relacje jednoargumentowe, dwuargumentowe, trójargumentowe itd. (rozważa się nawet relacje zeroargumentowe). Często jednak tak naprawdę rozgraniczenie to ma charakter sztuczny i wymuszony. Jeśli mamy jakiś zbiór liczbowy zawierający jakieś liczby naturalne, i wybieramy z niego wyłącznie liczby większe od 3, to wybór ten ma z pozoru charakter relacji jednoargumentowej. Zgodnie z rozumieniem Peano jest to po prostu pewien podzbiór danego zbioru. Relacja w rodzaju `x > 3` jest więc – w tym rozumieniu – nie tylko niepodobna do relacji `x > y`, ale wręcz z nią nieporównywalna. Pierwsza jest bowiem jednoargumentowa, a druga dwuargumentowa. Pierwsza oznacza zbiór ciągów jednowyrazowych, druga zbiór ciągów dwuwyrazowych.
Relacje nie muszą rzecz jasna dotyczyć tylko liczb. Można na przykład umówić się, że za jednoargumentową relację będziemy uważać „bycie obywatelem Polski”. W ten jednak sposób sztucznie odrywamy tę relację od relacji „bycia obywatelem”, która jest już w oczywisty sposób dwuargumentowa.
Jest to oczywiście kolejny absurd, od którego ponownie uwalnia rozumienie relacji jako sposobu wyboru. Relacja większości, podobnie jak relacja bycia obywatelem, jest bowiem zawsze dwuargumentowa. Niekoniecznie jednak oba argumenty muszą zawsze pozostać zmienne. Zapis w rodzaju `x > 3` oznacza więc tylko tyle, że zamiast porównywać różne elementy `x` z różnymi elementami `y`, porównujemy elementy `x` z jednym, ustalonym, z góry zadanym, stałym elementem.
Mało to, nie ma takiej potrzeby, aby w wypadku (najczęściej rozpatrywanych) relacji dwuargumentowych wprowadzać zawsze konieczność analizowania dwóch różnych zbiorów. Relacja bowiem tego rodzaju może również dotyczyć elementów jednego zbioru (według Peano relacja taka jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru przez samego siebie, `A xx A`). Zapis w rodzaju `5 > 3` nie wymaga przecież dwukrotnego analizowania zbioru liczb rzeczywistych. Jest raczej stwierdzeniem (zdaniem w sensie logicznym, a więc takim, któremu można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu) dotyczącym dwóch analizowanych elementów zbioru `RR`. Do stwierdzenia tego nie jest nam zupełnie potrzebny iloczyn kartezjański.
Ma to także głęboki sens geometryczny. Przecież aby przedstawić relację większości, nie potrzebujemy od razu dwóch osi i całej płaszczyzny! Aby ustalić, czy dwie dane liczby `x, y` spełniają relację `x > y` wystarczy przecież ustalić ich wzajemne położenie na osi liczbowej. Jeśli oś skierowana jest w prawo (jak to zwykle bywa), a liczba `x` leży na prawo od liczby `y`, wówczas relacja taka między nimi rzeczywiście zachodzi.
Relacje zeroargumentowe są wątpliwe i czysto teoretyczne (w rozumieniu teoretyków nauki o zbiorach należą tu jedynie zbiór pusty, `O/`, oraz zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty, `{O/}`).
Relacje jednoargumentowe są niezbyt częste, a zaliczanie wielu relacji do tej grupy jest mało przekonujące. Doprawdy trudno przecież zgodzić się z tym, by uznać na przykład zbiór liczb wymiernych `QQ` za relację! Zgodnie z logiką teoriomnogościowej definicji relacji wszystko jest w porządku, jednak zgodnie ze zdrowym rozsądkiem dowolny podzbiór dowolnego zbioru raczej nie określa się jako relację. Równie mało przekonujące jest nazywanie jednoargumentowymi takich relacji dwuargumentowych, w których jeden zmienny argument został zastąpiony stałą. Do relacji jednoargumentowych niekiedy zalicza się także działania zeroargumentowe, polegające na przypisaniu dowolnemu elementowi jakiegoś zbioru pewnej stałej lub pewnej własności. Sam pomysł, by działania (o których niżej) traktować jako relacje, należy jednak uznać za kontrowersyjny.
Relacje dwuargumentowe (binarne) są najbardziej typowe i najczęściej spotykane. Tu właśnie należą relacje pokrewieństwa i powinowactwa (w rodzaju „mężczyzna `a` jest ojcem osoby `b`”), a spośród liczbowych – relacja bycia dzielnikiem (np. zapis `5 | 25` oznacza „pięć jest dzielnikiem dwudziestu pięciu”) oraz relacje porządkowania: większości, mniejszości, równości, nierówności. Częściowo zresztą dotyczą one także elementów niebędących liczbami, np. zbiór ludzi możemy uporządkować liniowo według wysokości lub masy ciała, i wówczas też możemy stosować relacje bardzo podobnego typu. Dwuargumentowe są też m.in. relacja odwrotności (parę liczb, z których jedna jest odwrotnością drugiej tworzą np. `5` i `1/5`, albo też `2/3` i `3/2`), relacja przeciwieństwa liczb (parę liczb, z których jedna jest przeciwna do drugiej, tworzą np. `5` i `-5`, albo też `-3/4` i `3/4`), relacja przynależności elementu do zbioru `a in A`, uważana za pojęcie pierwotne (niepodlegające definiowaniu), relacja równości zbiorów `A = B`, relacje zawierania się zbiorów: `A sub B` (gdy `A` jest podzbiorem właściwym zbioru `B`) oraz `A sube B` (gdy `A` jest podzbiorem niewłaściwym, tzn. może być równy całemu zbiorowi – wypadku tego często nie rozpatruje się w ogóle w podręcznikach wydawanych w Polsce ani w naszej tradycji szkolnej). Jako relacje dwuargumentowe rozpatruje się też (niesłusznie) jednoargumentowe działania i funkcje (według zwolenników definicji teoriomnogościowych, wszystkie).
Niech relacja dwuargumentowa ma postać `x` `rho` `y`. Wówczas wszystkie elementy (np. liczby) `x`, które pozostają w relacji `rho` do jakiegokolwiek elementu `y` (choćby tylko jednego) tworzą zbiór `X`, który nazywamy dziedziną lewostronną relacji `rho`. Analogicznie wszystkie elementy `y`, które występują choćby tylko w jednej parze uporządkowanej `(x, y)`, tworzą zbiór `Y`, zwany dziedziną prawostronną relacji. Suma mnogościowa obu dziedzin zwana jest polem relacji. Do tych ważnych pojęć wrócimy niżej, przy okazji analizowania teoriomnogościowej definicji funkcji.
Przypomnijmy sobie teraz sposób konstruowania relacji zgodnie z pomysłami zwolenników wciskania teorii mnogości na siłę do wszystkich działów matematyki. Bierzemy mianowicie zbiory `A` i `B`, tworzymy ich iloczyn kartezjański `A xx B`, a następnie wybieramy niektóre spośród par `(a, b)` według sobie tylko wiadomego kryterium – utworzony w ten sposób zbiór par nazywamy relacją. Może się przy tym zdarzyć, że pewne elementy zbioru `a` nie znalazły się w żadnej z wybranych par, i podobnie że pewne elementy zbioru `b` nie znalazły się w żadnej z wybranych par. Dziedziny lewo- i prawostronna nie są więc wcale pierwotnymi zbiorami, które poddaliśmy mnożeniu kartezjańskiemu. Są to ich podzbiory, których zawartość ustaliliśmy dopiero po wybraniu par.
Zilustrujemy to na przykładzie zbiorów `A = {1, 3, 5}`, `B = {2, 4}` oraz relacji większości `a > b`, rozumianej jako zbiór `{(3, 2), (5, 2), (5, 4)}`. Jak widać, element 1 nie znalazł się w żadnej z par, stąd nie należy do dziedziny lewostronnej naszej relacji (po prostu, nie ma takiej liczby w zbiorze `B`, od której byłby większy). Zbiór `X` (dziedzina lewostronna) nie jest więc równy wyjściowemu zbiorowi `A`, który, jak się okazuje, nie ma obecnie dla nas żadnego znaczenia. Liczy się tylko jego podzbiór `X = {3, 5}`. Tak się jednak złożyło, że dla każdego elementu zbioru `B` udało nam się znaleźć element od niego większy, należący do `A`. Dlatego w tym przykładzie dziedziną prawostronną `Y` jest cały zbiór `B`. Polem relacji jest naturalnie zbiór `X uu Y = {2, 3, 4, 5}`.
Wśród relacji dwuargumentowych `x` `rho` `y` wyróżnia się następujące specjalne podgrupy (wiele relacji nie należy do żadnej z nich):
Dość problematyczne jest natomiast wyróżnianie trzech kolejnych podgrup relacji dwuargumentowych `x` `rho` `y`:
Problem polega na tym, że jak wspomnieliśmy wyżej, dla relacji istotne są obie dziedziny, a nie zbiory pierwotne. Odróżnienie sytuacji, w której `A = {1, 3, 5}`, `B = {2, 4}`, `a > b = {(3, 2), (5, 2), (5, 4)}` (relacja suriektywna), od sytuacji, w której `A = {3, 5}`, `B = {2, 4}`, `a > b = {(3, 2), (5, 2), (5, 4)}` (relacja odpowiednia), jest w swojej istocie całkowicie irracjonalne. Skoro bowiem element 1 nie należy do dziedziny lewostronnej rozpatrywanej relacji, nie ma ani żadnego znaczenia w analizie sytuacji, ani żadnego związku z badaną relacją, dlatego można go traktować jako nieistniejący dla relacji. W istocie więc nie ma relacji nieodpowiednich (a więc także niecałkowitych czy niesuriektywnych) – w momencie ustalenia, które pary uporządkowane należą do relacji i tym samym ustalenia zawartości obu dziedzin, początkowe zbiory przestają mieć dla relacji jakiekolwiek znaczenie.
Jeśli obie dziedziny relacji dwuargumentowej są takie same (czyli jeśli jest to ten sam zbiór, identyczny z polem relacji), wówczas relacja jest:
Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, relacja kwaziporządku jest zwrotna i przechodnia, relacja częściowego porządku jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, relacja porządku liniowego jest zwrotna, antysymetryczna i porównywalna, relacja porządku ostrego jest przeciwzwrotna, przechodnia i spójna.
Relacje trójargumentowe analizowane są rzadziej. Należy tu na przykład relacja współliniowości trzech punktów czy relacja znajdowania się pomiędzy (dwoma innymi obiektami). Interesującą liczbową relacją trójargumentową jest kongruencja, czyli przystawanie liczb. Mówimy, że liczba `a` przystaje do liczby `b` modulo `n`, jeśli `n` jest podzielnikiem różnicy `a - b`. Zapisujemy: `a -= b (mod n) iff n | (a - b)`. Za relacje trójargumentowe uznaje się (niesłusznie) także działania dwuargumentowe.
Stwierdzenie, że argumenty pozostają w relacji, jest teoretycznie zdaniem logicznym, tj. można potencjalnie przypisać mu wartość logiczną prawdy lub fałszu. Dzieje się tak, gdy argumenty te są znane, np. relacja `5 > 3` jest prawdziwa, a relacja `5 > 6` jest fałszywa. Podobnie `10 -= 1 (mod 3)` to relacja prawdziwa, zaś `10 -= 2 (mod 7)` to relacja fałszywa.
Nie da się przypisać relacji wartości logicznej, gdy argumenty nie są znane. Np. relacja `a > b` nie jest zdaniem logicznym i staje się nim dopiero wówczas, gdy jesteśmy w stanie w jakiś sposób ograniczyć zmienność ukrytą pod symbolami literowymi `a` i `b`.
W pewnych sytuacjach, zwłaszcza gdy nieznany jest tylko jeden argument relacji, możemy ustalić, kiedy relacja byłaby prawdziwa. Doprowadzanie takiej relacji do postaci trywialnej, z której od razu wiadomo, kiedy jest ona prawdziwa, to procedura, na której polega rozwiązywanie równań i nierówności. Taka trywialna postać może mieć np. postać `x = 5` lub `3 < x < 5`. Czasem relacja jest prawdziwa dla dowolnej liczby określonego typu, np. `x^2 + x + 1 > 0` to relacja prawdziwa dla każdego `x in RR`, i taki właśnie warunek prawdziwości zapisuje się w rozwiązaniu. Bywa też, że relacja nie jest prawdziwa dla żadnej liczby określonego typu, np. `x^2 + x + 1 < 0`. W takim wypadku istnieje problem z symbolicznym zapisem warunku: bardzo proste, tradycyjne `x in O/` bywa ostatnio krytykowane (skoro zbiór jest pusty, to jakim sposobem może do niego cokolwiek należeć). Jednak zapis w rodzaju `~vvv_(x in RR) x^2 + x + 1 < 0` jest jeszcze gorszym pomysłem z uwagi na złożoność, a zapis `x !in RR` jest po prostu nieprawdziwy (oznacza, że `x` jest na przykład zespolone nierzeczywiste, tymczasem relacja mniejszości dla liczb zespolonych nie jest zdefiniowana).
Działanie to pojęcie pokrewne funkcji (faktycznie słowo „funkcja” oznacza właśnie działanie!) i jednocześnie bliskie relacji. Tradycyjnie jednak każde z tych określeń oznacza co innego, i nie ma podstaw, by tradycję tę ignorować. O ile relacja łączy (powinna łączyć!) skończoną ilość elementów pochodzących ze zbiorów sobie równoważnych, o tyle w wypadku działania jeden z tych zbiorów jest wyróżniony, i obejmuje elementy określane jako wyniki działania. Działania nazywa się także operacjami, przekształceniami lub odwzorowaniami, a różnica między tymi pojęciami jest często kwestią czysto uznaniową (albo w ogóle jest trudna do uchwycenia).
Relacja operuje zatem na skończonej liczbie równoważnych argumentów, działanie natomiast dotyczy pewnej liczby argumentów oraz (w typowych wypadkach) jednego wyniku. Traktowanie działań jako relacji (typowe dla wyznawców kultu teorii mnogości!) należy zatem określić jako zachowanie niepoważne, będące naruszeniem podstaw aparatu pojęciowego wypracowanego przez wieki. Trzeba ponadto zauważyć, że na przykład w działaniu dwuargumentowym występują dwa argumenty i wynik. Gdyby wbrew zdrowemu rozsądkowi uznać to działanie za relację, występowałyby w nim trzy argumenty. Inaczej mówiąc, działanie dwuargumentowe traktuje się (niesłusznie) jako relację trójargumentową. W ogólności działanie `n`-argumentowe traktowane bywa (niesłusznie) jako relacja `(n + 1)`-argumentowa.
Działanie zeroargumentowe określane jest jako przypisanie stałej wartości (wyniku). Warto zastanowić się, czy tego rodzaju operacja w ogóle jest działaniem, skoro faktycznie nic nie zostaje tej operacji poddane. W rzeczywistości tzw. działanie zeroargumentowe oznacza utworzenie stałej.
Działania jednoargumentowe, często określane mianem operacji, to na przykład obliczanie liczby przeciwnej do danej (`-x`), obliczanie liczby odwrotnej do danej `(1/x)`, obliczanie silni (`n! = 1*2*…*n`), znajdowanie dopełnienia zbioru (`A′`), negacja wartości logicznej zdania (`~p`); o logice będzie mowa niżej. Uzasadnione wątpliwości budzi natomiast traktowanie jako działań jednoargumentowych takich operacji jak podnoszenie do kwadratu czy obliczanie pierwiastka kwadratowego. W rzeczywistości bowiem mamy tu do czynienia z dwoma argumentami, przy czym jeden z nich jest stały. Za działania można uznać też operacje obliczania wartości elementarnych funkcji jednej zmiennej, np. `sin x`. Trudno natomiast orzec, czy słuszne jest zaliczanie tutaj logarytmowania. Wbrew temu, co sugerują zapisy `log x, ln x` mamy tu bowiem do czynienia z obliczeniami z wykorzystaniem dwóch argumentów (pierwszym jest liczba logarytmowana, drugim – ustalona podstawa logarytmu, odpowiednio 10 lub `e`).
Działania dwuargumentowe są najczęstsze. Opisuje się je niekiedy w teorii mnogości jako funkcje (!), które każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego `X xx Y` przyporządkowują dokładnie jeden element zbioru `Z`. O chaosie terminologicznym, wynikłym z traktowania działań jako funkcji, będzie jeszcze mowa poniżej.
Do działań dwuargumentowych należą podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie. Określanie tych działań mianem jednoargumentowych, gdy jeden z rzeczywistych argumentów jest stały (np. przy działaniu podnoszenia do kwadratu), jest w gruncie rzeczy absurdalne. Konsekwentnie dodawanie stałej też powinno być traktowane jako działanie jednoargumentowe, i wówczas mielibyśmy dwa całkowicie rożne rodzaje dodawania (jedno- i dwuargumentowe) mimo tego samego symbolu i dokładnie tego samego mechanizmu.
Dwuargumentowe są działania na wektorach: iloczyn skalarny (który jest przemienny) i iloczyn wektorowy (który jest antyprzemienny, tzn. po zmianie kolejności argumentów otrzymujemy wynik z przeciwnym znakiem). Działania na zbiorach są także dwuargumentowe: ich argumentami są dwa zbiory, wynikiem trzeci zbiór. Należą tu suma mnogościowa `A uu B`, iloczyn lub wspólna część zbiorów `A nn B`, różnica mnogościowa `A setminus B`, różnica symetryczna, oznaczana `A _|_ B` lub `A` `Delta` `B`. Warto w tym miejscu podkreślić, że nie są działaniami, lecz relacjami: przynależność do zbioru `a in A`, równość zbiorów `A = B`, zawieranie się zbiorów `A sub B` oraz `A sube B`.
Bardzo szczególne znaczenie mają związki logiczne, dlatego na tej witrynie nie nazywa się je najczęściej ani relacjami, ani działaniami. Czasami bowiem takie pojęcia jak alternatywa, koniunkcja czy zwłaszcza równoważność wyrażają jedynie relację zachodzącą między zdaniami. W innych kontekstach jednak, gdy treść zdań jest nieistotna, a ważna jest jedynie ich wartość logiczna, związki logiczne stają się działaniami, których wynikiem jest wartość logiczna zdania złożonego ze zdań elementarnych połączonych spójnikiem. Bywają nawet sytuacje, gdy analizujemy zależność wartości logicznej zdania złożonego od zmieniających się wartości logicznych zdań składowych – i wówczas związki logiczne stają się funkcjami.
Związki logiczne są ciekawe z jeszcze jednego punktu widzenia. Większość z nich wymaga zwykle dwóch argumentów (np. `p vv q`, `p ^^ q`), ale możemy też analizować związki zachodzące równocześnie pomiędzy większą ilością zdań, a nawet całą rodziną zdań (w wyniku takiego uogólnienia powstają kwantyfikatory). Wiele związków logicznych nie ma więc ustalonej liczby argumentów – zwłaszcza alternatywa i koniunkcja mogą być dwu-, trzy-, czteroargumentowe, itd.
Ciekawe jest również dwuargumentowe działanie znane jako dzielenie z resztą. Otóż zgodnie z jedną z możliwych interpretacji działanie to prowadzi do dwóch wyników: właściwego ilorazu oraz reszty. Na przykład możemy zapisać `5 : 2 = 2 r 1`, co oznacza iloraz 2 i resztę 1. Działanie to stwarza więc niezwykle ciekawy problem. Możemy oczywiście problem ten obejść w różny sposób, np. traktując wynik jako uporządkowaną parę liczb, albo rozpatrując wynik jako ułamek mieszany, w którym część całkowitą stanowi iloraz, reszta jest zaś licznikiem ułamka o mianowniku takim jak dzielnik. Możemy widzieć tu wykonywane równocześnie dwa działania: dzielenie całkowitoliczbowe (oznaczane czasem symbolem `a setminus b`, np. `5 setminus 2 = 2`) oraz operację modulo czyli znajdowanie reszty z takiego całkowitoliczbowego dzielenia (np. `5 mod 2 = 1`). Możemy jednak rozpatrywać także wypadek niezmiernie interesujący z teoretycznego punktu widzenia, i przyjąć, że dzielenie z resztą polega na przyporządkowaniu dzielnikowi i dzielnej ilorazu całkowitego oraz reszty, jest więc operacją zachodzącą na 4 zbiorach, z których dwa stanowią łącznie wynik.
Istnieją także działania trójargumentowe. Przykładem może być iloczyn mieszany wektorów.
Zbiory wraz z działaniami, których argumentami są ich elementy i których wyniki także należą do nich (czyli z działaniami wewnętrznymi), tworzą struktury algebraiczne. Jeśli w określonym zbiorze analizuje się jedno, dowolne działanie dwuargumentowe, struktura nosi nazwę grupoid. Grupoid (zwany też rzadko magmą) tworzą np. liczby naturalne dodatnie z działaniem potęgowania. Jeśli znajomość jednego z argumentów i wyniku pozwala ustalić drugi argument, wówczas taki grupoid określa się terminem kwazigrupa (faktycznie oznacza to istnienie elementu odwrotnego lub przeciwnego dla każdego elementu zbioru). Kwazigrupa z elementem neutralnym, o którym za chwilę, zwana jest lupą albo pętlą. Półgrupa to grupoid, w którym działanie jest łączne; przykładem niech będzie zbiór liczb całkowitych dodatnich z działaniem dodawania. Wymóg przemienności działania nie jest teoretycznie konieczny; jeśli cecha ta jest jednak obecna, mówimy o półgrupie przemiennej. Podobnie nie ma wymogu, aby półgrupa zawierała element neutralny, tj. taki, że jeśli jest jednym z argumentów, wówczas wynik jest równy drugiemu argumentowi (w dodawaniu takim elementem neutralnym jest 0, w mnożeniu elementem neutralnym jest 1; błędem jest nazywanie każdego elementu neutralnego jedynką). Element neutralny zwie się działaniem zeroargumentowym, co oczywiście jest absolutnie niezgodne ze zdrowym rozsądkiem (ale jest konsekwencją dziwacznych podstaw teoretycznych, wypaczających powszechnie znane pojęcia). Półgrupa z elementem neutralnym to monoid (nazywanie monoidu półgrupą z jedynką jest błędne, bo elementem neutralnym może być zero). Monoidem nieprzemiennym jest zbiór przekształceń skończonego zbioru na siebie z działaniem składania przekształceń; monoidem przemiennym jest np. zbiór liczb rzeczywistych z działaniem `max (x, y) = z` albo zbiór liczb naturalnych z dodawaniem (rozumiemy tutaj liczby naturalne tak, jak obecnie w edukacji szkolnej, tj. wraz z zerem). Monoidem jest też zbiór liczb naturalnych dodatnich z mnożeniem (oraz zbiór liczb naturalnych z mnożeniem). Wreszcie grupa powstaje, gdy każdy element monoidu ma element przeciwny lub odwrotny, tj. taki, że jeśli jednym argumentem jest dany element, a drugim element przeciwny (lub odwrotny), wynikiem jest element neutralny (w dodawaniu występuje element przeciwny czyli liczba przeciwna, np. `5 + (-5) = 0`; w mnożeniu występuje liczba odwrotna, np. `5 * 1/5 = 1`, przy czym zero nie ma w mnożeniu elementu odwrotnego). Faktycznie oznacza to wykonalność w grupie odejmowania lub dzielenia. Inaczej mówiąc, grupa to monoid z dodatkowym jednoargumentowym działaniem odwracania. Grupą jest na przykład zbiór macierzy z działaniem mnożenia. Wymóg przemienności działania dwuargumentowego nie jest konieczny, by struktura była grupą (mnożenie macierzy nie jest przemienne); jeśli jednak występuje, wówczas używamy określenia grupa abelowa lub grupa przemienna. Przykładami grup abelowych są zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania, zbiór macierzy ustalonego wymiaru z działaniem dodawania, oraz zbiór liczb wymiernych z działaniem mnożenia.
Bardziej złożone struktury algebraiczne mają określone dwa działania, które można utożsamić z dodawaniem i mnożeniem. Pierścień (łączny) to struktura, która jest grupą abelową z uwagi na dodawanie (czyli w której dodawanie jest przemienne, łączne, ma element neutralny zwany zerem, a obok każdego elementu występuje element przeciwny, tzn. wykonalne jest też odejmowanie) i półgrupą ze względu na mnożenie (wystarczy, że jest ono łączne), a ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: `x * (y + z) = x * y + x * z` oraz `(y + z) * x = y * x + z * x` (obie właściwości są potrzebne, bo mnożenie nie musi być przemienne). Przykładem pierścienia jest zbiory macierzy lub wielomianów stopnia co najmniej 2, z działaniami dodawania i mnożenia. Pierścień tworzą też wszystkie podzbiory danego zbioru z działaniami różnicy symetrycznej i iloczynu. Gdy dodatkowo mnożenie jest przemienne, mówimy o pierścieniu przemiennym. Taką strukturę tworzą liczby całkowite z działaniami dodawania i mnożenia. Mnożenie nie musi mieć elementu neutralnego; jeśli go ma (czyli gdy pierścień jest monoidem ze względu na mnożenie), mówimy (tym razem słusznie) o pierścieniu z jedynką. Przykładem takiej struktury może być pierścień wielomianów dowolnego stopnia (elementem neutralnym mnożenia jest tu `W(x) = 1`). Jeśli pierścień jest grupą z uwagi na mnożenie (czyli gdy każdy element inny niż zero ma element odwrotny, tzn. gdy wykonalne staje się dzielenie), strukturę nazywamy pierścieniem z dzieleniem lub (wbrew naszej tradycji) ciałem skośnym. Strukturę taką tworzą kwaterniony, tj. liczby hiperzespolone o postaci `a + bi + cj + dk`. Wreszcie jeśli struktura jest grupą abelową ze względu na oba działania (czyli gdy także mnożenie jest przemienne), nazywamy ją ciałem (także: ciałem przemiennym lub polem). Ciała tworzą zbiory liczb wymiernych, liczb rzeczywistych i liczb zespolonych (z działaniami dodawania i mnożenia). Bardziej złożone struktury, jak przestrzenie liniowe, pominiemy w tym krótkim opisie. Warto jednak pamiętać, że w definicjach tych pojęć kluczową rolę odgrywają także działania.