Wersja z 2015-05-08
Jak wspomniano wyżej, istnieje wiele metod rozkładu wielomianu na czynniki, określanego też nazwą faktoryzacja. Aby opanować tę trudną sztukę, należy opanować każdą z tych metod, bo nie są one używane dowolnie, ale w wypadku konkretnego zadania można zwykle zastosować tylko jedną z nich, ewentualnie dwie lub więcej jedna po drugiej.
Rozkład może być celem samym w sobie (takie może być polecenie zadania), ale częściej robi się go, by znaleźć miejsca zerowe wielomianu. Tu będziemy zasadniczo tylko rozkładać wielomiany na czynniki. O odczytywaniu z tego rozkładu, jakie są miejsca zerowe, powiemy w następnym rozdziale.
Jeśli na przykład mamy rozwiązać równanie `7x^2 = 2x^3 + 9`, przerzucamy wszystko na lewo: `7x^2 - 2x^3 - 9 = 0`, a następnie rozkładamy wielomian `-2x^3 + 7x^2 - 9` podanymi metodami.
Musimy bardzo uważać, jeśli wielomian ma już postać iloczynu. W takim wypadku (i tylko wtedy) nie wolno wykonywać żadnych mnożeń! Np. `(4 - x)(x + 5)(2x - 3)` jest już właściwie rozłożony, można jedynie dokonać na nim operacji wyciągnięcia przed nawias współczynnika `a`.
Podobnie częściowo rozłożone są wielomiany `x^2(x^2 - 4)` oraz `(16 - x^2)(8x^3 + 1)(x^2 + 2x + 6)`. Pozostają nam tylko do wykonania pewne dodatkowe operacje na czynnikach. Każdy z nich rozkładamy niezależnie, korzystając z podanych niżej metod.
Jeśli każdy (bez wyjątku) wyraz wielomianu zawiera taki sam czynnik, wówczas powinniśmy ten czynnik wyłączyć przed nawias, i dopiero wówczas kontynuować rozkład. Czynnikiem tym może być liczba lub zmienna. Jeśli czynnik ze zmienną w najwyższej potędze zawiera znak minus, to wówczas ten minus możemy wyłączać przed nawias (i w wielu wypadkach jest to zalecane).
Pamiętajmy, że jeśli cały jednomian jest taki sam, jak wyłączany czynnik, wówczas w nawiasie na miejscu tego jednomianu pozostanie 1, np. `x^2 - x = x(x - 1)`.
Przykłady:
Po wyłączeniu wspólnych czynników przed nawias należy sprawdzić, czy można zastosować wzory skróconego mnożenia w celu zamiany sumy na iloczyn. Wzory te mogą być jedyną praktyczną metodą rozkładu wielomianu, trzeba je więc dokładnie opanować!
| suma | iloczyn |
|---|---|
| `a^2 + 2ab + b^2` | `(a + b)^2` |
| `a^2 - 2ab + b^2` | `(a - b)^2` |
| `a^2 - b^2` | `(a - b)(a + b)` |
| `a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3` | `(a + b)^3` |
| `a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3` | `(a - b)^3` |
| `a^3 + b^3` | `(a + b)(a^2 - ab + b^2)` |
| `a^3 - b^3` | `(a - b)(a^2 + ab + b^2)` |
| `a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4` | `(a + b)^4` |
| `a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4 ab^3 + b^4` | `(a - b)^4` |
| `a^4 - b^4` | `(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)` |
Rozkład podany w kolumnie „iloczyn” jest już ostateczny, tzn. mamy pewność, że znajdujące się w nim czynniki kwadratowe (np. `a^2 - ab + b^2`) są już na pewno dalej nierozkładalne.
Suma dwóch kwadratów (lub kwadratu zmiennej oraz dowolnej liczby dodatniej) jest nierozkładalna na czynniki rzeczywiste. Zatem wyrażenie `a^2 + b^2` jest już w swej ostatecznej postaci. Uwaga: każdą liczbę dodatnią uznajemy za kwadrat. Natomiast nigdy nie uznajemy za kwadrat zmiennej `x` w nieparzystej potędze (przy rozwiązywaniu zadań z wielomianami nie zajmujemy się pierwiastkami ze zmiennej, a takie musiałyby tu być brane pod uwagę). Najlepiej potęgę zmiennej uważać za taką, jaka jest widoczna.
Dlatego np. sumą kwadratów są takie wyrażenia, jak `x^2 + 1`, `3x^2 + 5` czy `sqrt(2)x^2 + 7^3`. Każde z nich można bowiem dopasować do wzoru `a^2 + b^2`, przyjmując dla pierwszego: `a = x`, `b = 1`, dla drugiego: `a = sqrt(3)x`, `b = sqrt(5)`, dla trzeciego: `a = root(4)(2)x`, `b = sqrt(7^3) = 7sqrt(7)` (liczby dodatnie, a także ich potęgi, wolno pierwiastkować dowolnie). Nie jest natomiast sumą kwadratów wyrażenie `x^3 + 4`, bowiem zmienna `x` występuje tu w trzeciej potędze.
Suma dwóch czwartych potęg (`a^4 + b^4`) nie rozkłada się na czynniki liniowe. Można ją jednak rozłożyć na czynniki kwadratowe. Metoda takiego rozkładu zostanie podana w jednym z kolejnych podrozdziałów. Podobnie jak poprzednio, o sumie czwartych potęg mówimy, gdy `x` występuje w czwartej potędze i towarzyszy mu dowolna liczba dodatnia, np. `x^4 + 1`.
Za dość trudne w rozkładzie uważa się wyrażenia postaci `a^2 +- 2ab + b^2`, a tym bardziej `a^3 +- 3a^2b + 3ab^2 +- b^3` czy `a^4 +- 4a^3b + 6a^2b^2 +- 4ab^3 + b^4` (nie mówiąc o wyższych potęgach!). W typowych wypadkach przy trójmianach kwadratowych pierwszym składnikiem sumy jest `x^2`. Badamy wówczas ostatni, liczbowy składnik (wyraz wolny), obliczając jego pierwiastek, który zapamiętujemy. Następnie pierwiastek ten podwajamy. Otrzymany wynik mnożymy przez `x`; jeśli otrzymaliśmy środkowy składnik, możemy zastosować wzór skróconego mnożenia do faktoryzacji trójmianu.
A. Mamy np. wielomian `x^2 + 10x + 25`. Liczbowy składnik `25` jest pełnym kwadratem, jego pierwiastkiem kwadratowym jest `5`. Liczbę tę zapamiętujemy. Mnożymy ten pierwiastek przez `2`, otrzymując `10`, i wynik ten mnożymy przez `x`. Rzeczywiście, środkowym składnikiem jest `10x`. Możemy więc napisać `x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2`. Zauważmy, że w nawiasie występuje zapamiętana liczba `5`, a znak (plus) zgadza się ze znakiem przy środkowym składniku `10x`.
B. Rozłożymy teraz `1 + 9x^2 - 6x`.
| • | ustawiamy składniki we właściwej kolejności | `9x^2 - 6x + 1` |
| • | wyciągamy `9` przed nawias, tak że pozostanie samo `x^2` | `9(x^2 - 2/3 x + 1/9)` |
| • | wyraz wolny `1/9` jest kwadratem liczby `1/3`, którą zapamiętujemy | |
| • | liczbę `1/3` mnożymy przez `2x`, otrzymując `2/3 x` | |
| • | jest to wartość bezwzględna środkowego składnika `-2/3 x` | |
| • | stosujemy wzór skróconego mnożenia | `9(x - 1/3)^2` |
C. Spróbujmy rozłożyć wielomian `x^2 - 6 sqrt(3)x + 27`. Pierwiastkujemy wyraz wolny, otrzymując `sqrt(27) = sqrt(3*3*3) = 3 sqrt(3)`. Wynik ten zapamiętujemy. Z mnożenia przez `2x` otrzymujemy `6 sqrt(3)x`, równy wartości bezwzględnej wyrazu środkowego. Zatem ostatecznie `x^2 - 6 sqrt(3)x + 27 = (x - 3 sqrt(3))^2`.
D. Rozłóżmy jeszcze `4x^2 + 28x + 49`. Tym razem nie będziemy wyłączać liczby `4` przed nawias. Za to spierwiastkujemy oba wyrazy skrajne. Pierwiastek pierwszego to `2x`, pierwiastek trzeciego to `7`. Obie te wartości zapamiętujemy. Teraz mnożymy je przez siebie, a wynik podwajamy: `2*2x*7 = 28x`. Otrzymaliśmy wyraz środkowy, zatem `4x^2 + 28x + 49 = (2x + 7)^2`. Jeśli chcemy jeszcze wyciągnąć przed nawias współczynnik `a`, pamiętajmy, że zostanie on w drugiej potędze: `(2x + 7)^2 = 2^2(x + 7/2)^2 = 4(x + 7/2)^2`.
Jeśli środkowy wyraz nie będzie równy wyliczonej wartości, musimy użyć innych metod faktoryzacji. Tak właśnie stanie się, gdy spróbujemy rozkładać np. `x^2 + 3x + 1`.
E. Rozkład wielomianów wyższych stopni przeprowadzamy analogicznie, dokładnie analizując podane wyżej wzory. Np. w czwórmianie `x^3 - 6x^2 + 12x - 8` obliczamy pierwiastki sześcienne wyrazów skrajnych; są to odpowiednio `x` oraz `-2`. Każdy z nich kolejno podnosimy do kwadratu, mnożymy przez drugi i potrajamy: `x^2 * (-2) * 3 = -6x^2` oraz `(-2)^2*x*3 = 4*3*x = 12x`. Wyniki muszą dokładnie odpowiadać wyrazom wewnętrznym wielomianu. Ponieważ tak jest w tym wypadku, `x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3`.
Dalsze przykłady:
Wzory skróconego mnożenia umożliwiają rozłożenie dowolnych (nie tylko pasujących do wzoru!) rozkładalnych trójmianów kwadratowych. Przedstawiona niżej metoda nie jest niezbędna do rozkładu wielomianów (zawsze można ją zastąpić innymi metodami). Warto ją jednak opanować jako ćwiczenie przed przyswojeniem innych metod, które mogą okazać się konieczne.
A. Spróbujmy rozłożyć trójmian `x^2 + 4x + 3`.
| • | dzielimy środkowy wyraz `4x` przez `2x`, otrzymując `2` | |
| • | wynik ten podnosimy do kwadratu, dostając `4` | |
| • | gdyby trójmian miał postać `x^2 + 4x + 4`, nie byłoby kłopotu | |
| • | dodajmy `4` i odejmujemy `4` tak, by trójmian się nie zmienił | `x^2 + 4x + 4 - 4 + 3` |
| • | pierwsze trzy wyrazy przekształcamy zgodnie z wzorem skróconego mnożenia | `(x + 2)^2 - 4 + 3` |
| • | pozostałe wyrazy dodajemy do siebie | `(x + 2)^2 - 1` |
| • | otrzymane wyrażenie to różnica kwadratów `a^2 - b^2` | |
| • | `a = x + 2`, `b = sqrt(1) = 1` | |
| • | korzystamy z wzoru `a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)` | `(x + 2 - 1)(x + 2 + 1)` |
| • | redukujemy wyrazy podobne | `(x + 1)(x + 3)` |
B. Rozłóżmy z kolei `3x^2 - 4x - 7`.
| • | wyłączamy `3` przed nawias (by uniknąć pierwiastków w obliczeniach) | |
| • | nie przejmujemy się zupełnie ułamkami ani ujemnym wyrazem wolnym | `3(x^2 - 4/3x - 7/3)` |
| • | pierwiastek z pierwszego wyrazu (`x`) mnożymy przez `2`, otrzymując `2x` | |
| • | aby otrzymać środkowy wyraz `4/3x` (bez znaku), musimy to `2x` przemnożyć przez `2/3` | |
| • | ułamek `2/3` jest pierwiastkiem z trzeciego wyrazu, który powinien być równy `4/9` | |
| • | dodajemy i odejmujemy taką właśnie liczbę | `3(x^2 - 4/3x + 4/9 - 4/9 - 7/3)` |
| • | korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia | `3((x - 2/3)^2 - 4/9 - 21/9)` |
| • | redukujemy wyrazy podobne | `3((x - 2/3)^2 - 25/9)` |
| • | otrzymany z redukcji wyrazów ułamek `25/9` zapisujemy jako kwadrat | `3((x - 2/3)^2 - (5/3)^2)` |
| • | wykorzystujemy kolejny wzór skróconego mnożenia | `3(((x - 2/3) - 5/3)((x - 2/3) + 5/3))` |
| • | dokonujemy niezbędnych redukcji | `3(x - 2/3 - 5/3)(x - 2/3 + 5/3)` |
| `3(x - 7/3)(x - 3/3)` | ||
| `3(x - 7/3)(x - 1)` |
Taka postać wielomianu jest najlepsza do znalezienia miejsc zerowych (są nimi `1` i `7/3`). Jeśli jednak mieliśmy tylko rozłożyć wielomian na czynniki, być może bardziej spodoba nam się postać, w której współczynnik `3` przemnożyliśmy przez pierwszy czynnik, likwidując ułamek: `3x^2 - 4x - 7 = 3(x - 7/3)(x - 1) = (3x - 7)(x - 1)`.
C. Rozłożymy jeszcze `5x^2 + 12x - 9`. Ponieważ byłby problem z pierwiastkowaniem pierwszego składnika, spróbujmy tym razem zacząć od ostatniego wyrazu. Na przeszkodzie stoi jednak znak minus.
| `5x^2 + 12x - 9` | ||
| • | wyłączamy minus przed nawias oraz zmienimy kolejność wyrazów | `-(9 - 12x - 5x^2)` |
| • | `a^2` we wzorze skróconego mnożenia odpowiada liczbie `9`, zatem `a = 3` | |
| • | `2ab` to `12x`, skąd `6b = 12x`, czyli `b = 2x` oraz `b^2 = 4x^2` | |
| • | dodajemy i odejmujemy potrzebny składnik | `-(9 - 12x + 4x^2 - 4x^2 - 5x^2)` |
| • | stosujemy odpowiedni wzór skróconego mnożenia | `-((3 - 2x)^2 - 9x^2)` |
| • | wyraz wolny zapisujemy jako kwadrat | `-((3 - 2x)^2 - (3x)^2)` |
| • | rozkładamy różnicę | `-(3 - 2x - 3x)(3 - 2x + 3x)` |
| • | redukujemy wyrazy podobne | `-(3 - 5x)(3 + x)` |
| • | włączamy minus do pierwszego czynnika | `(-3 + 5x)(3 + x)` |
| • | zmienimy kolejność składników | `(5x - 3)(x + 3)` |
Możemy też wyłączyć współczynnik `a`, zwłaszcza gdy zadanie polega na znalezieniu miejsc zerowych: `(5x - 3)(x + 3) = 5(x - 3/5)(x + 3)`.
D. Czasami podobną metodę udaje się zastosować do wielomianów wyższych stopni. Rozłóżmy np. `8x^3 + 12x^2 + 6x + 2`.
| • | pierwszy wyraz łatwo spierwiastkujemy: `root(3)(8x^3) = 2x` | |
| • | trzeci wyraz (`3ab^2` we wzorze skróconego mnożenia) sugeruje, że `b = 1` | |
| • | drugi wyraz pasuje przy tym założeniu | |
| • | nie zgadza się tylko wyraz czwarty, co korygujemy znaną już metodą | `8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 - 1 + 2` |
| • | stosujemy wzór skróconego mnożenia | `(2x + 1)^3 + 1` |
| • | stosujemy wzór na `a^3 + b^3`, przyjmując `a = 2x + 1`, `b = 1` | `(2x + 1 + 1)((2x + 1)^2 - (2x + 1) + 1)` |
| • | redukujemy wyrazy podobne | `(2x + 2)(4x^2 + 4x + 1 - 2x - 1 + 1)` |
| `(2x + 2)(4x^2 + 2x + 1)` | ||
| • | wyłączamy `2` przed nawias | `2(x + 1)(4x^2 + 2x + 1)` |
Ostatni czynnik jest nierozkładalny.
E. Niekiedy przy rozkładzie wielomianów wyższych stopni traktujemy potęgę zmiennej jako kilka razy niższą niż w rzeczywistości. Rozłóżmy wielomian `x^4 + 1`.
| • | przez chwilę popatrzmy na wielomian, jakby był sumą kwadratów | |
| • | będziemy chcieli zastosować wzór `a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2` | |
| • | potraktujmy `x^4` jako `a^2`, a `1` jako `b^2` | |
| • | potrzebujemy jeszcze `2ab`, więc dodajemy i odejmujemy `2x^2` | `x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2` |
| • | stosujemy powyższy wzór skróconego mnożenia | `(x^2 + 1)^2 - 2x^2` |
| • | korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów | `(x^2 + 1 - sqrt(2)x)(x^2 + 1 + sqrt(2)x)` |
| • | porządkujemy oba czynniki | `(x^2 - sqrt(2)x + 1)(x^2 + sqrt(2)x + 1)` |
Ten krok kończy rozkład, bowiem żadnego z trójmianów nie rozłożymy już na czynniki rzeczywiste. Ostatecznie więc `x^4 + 1 = (x^2 - sqrt(2)x + 1)(x^2 + sqrt(2)x + 1)`.
F. Rozłóżmy jeszcze wielomian `x^4 + x^2 + 4`.
| • | będziemy chcieli zastosować wzór `a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2` | |
| • | potraktujmy `x^4` jako `a^2`, a `4` jako `b^2` | |
| • | stąd `a = x^2`, `b = 2`, zatem `2ab = 4x^2` | |
| • | dodajemy i odejmujemy `4x^2`, całkowicie ignorując istniejący składnik `x^2` | `x^4 + 4x^2 + 4 + x^2 - 4x^2` |
| • | stosujemy powyższy wzór skróconego mnożenia i redukujemy wyrazy podobne | `(x^2 + 2)^2 - 3x^2` |
| • | korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów | `(x^2 + 2 - sqrt(3)x)(x^2 + 2 + sqrt(3)x)` |
| • | porządkujemy oba czynniki | `(x^2 - sqrt(3)x + 2)(x^2 + sqrt(3)x + 2)` |
Ten krok kończy rozkład, bowiem żadnego z trójmianów nie rozłożymy już na czynniki rzeczywiste. Ostatecznie więc `x^4 + x^2 + 4 = (x^2 - sqrt(3)x + 2)(x^2 + sqrt(3)x + 2)`.
Inne przykłady:
Jeśli wielomian jest stopnia drugiego (jest trójmianem kwadratowym), próbujemy przede wszystkim wzorów skróconego mnożenia. Bardzo łatwo jest też rozłożyć trójmiany zdegenerowane.
Postać `ax^2` nie wymaga już żadnych działań.
Postać `ax^2 + bx` (gdzie `a` i `b` są różne od zera, tzn. mogą być dodatnie lub ujemne) rozkładamy, wyciągając `x` przed nawias: `x(ax + b)`.
Postać `x^2 + c` (gdzie `c` jest liczbą dodatnią) nie rozkłada się, ponieważ stanowi sumę kwadratów (każdą liczbę dodatnią możemy traktować jako kwadrat – nie wolno tylko tak traktować zmiennej, która nie jest podniesiona do potęgi parzystej!).
Postać `x^2 - c` rozkładamy, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: `(x - sqrt(c))(x + sqrt(c))`.
W pozostałych wypadkach możemy próbować sposobu opisanego wyżej. Mamy także do dyspozycji metodę rozkładu przy pomocy wyróżnika. Mając dany trójmian `ax^2 + bx + c` (gdzie współczynniki są dowolnymi liczbami różnymi od zera), obliczamy wyróżnik zwyczajowo oznaczany grecką literą delta: `Delta = b^2 - 4ac`.
Jeśli wyróżnik jest ujemny, trójmianu nie da się rozłożyć na czynniki rzeczywiste (pozostawiamy go tak, jak jest). Mówimy, że przy delcie mniejszej od zera nie istnieje postać iloczynowa trójmianu. W matematyce bardziej zaawansowanej niż licealna możemy wciąż jednak szukać rozwiązań równania wielomianowego także w takich wypadkach. O sytuacjach takich powiemy później.
Jeśli wyróżnik jest równy zero, to znaczy, że można zastosować wzór skróconego mnożenia (zgodnie z podanym wyżej opisem). Możemy też obliczyć od razu pierwiastek podwójny trójmianu: `x_0 = (-b)/(2a)`, co pozwoli zapisać wielomian jako `a(x - x_0)` (minus oznacza zmianę znaku!). Np. `9x^2 + 12x + 4` wygodnie jest rozkładać przy pomocy delty, bo unikamy tym sposobem kłopotliwych ułamków (nie musimy wyciągać `9` przed nawias). Mamy tu `a = 9, b = 12, c = 4`. Obliczamy `Delta = 12^2 - 4*9*4`. Obliczenie możemy przeprowadzać w głowie, na kartce, na kalkulatorze. Ciekawą metodą jest wyciąganie przed nawias bez wykonywania mnożeń, tak długo, jak to możliwe: `Delta = 12*12 - 4*9*4 = 4*4*(3*3 - 9)= 4*4(9 - 9) = 4*4*0 = 0`. W związku z tym liczymy `x_0 = (-12)/(2*9) = -6/9 = -2/3`. Wielomian rozkładamy więc następująco: `9x^2 + 12x + 4 = 9(x + 2/3)^2`. Pamiętajmy o zmianie znaku, nie zapominajmy też o współczynniku `a`!
Jeśli wyróżnik jest dodatni, obliczamy ją do końca (wygodnie jest przy tym powstrzymywać się od wymnażania wszystkiego, a zamiast tego stosować wyciąganie przed nawias) i następnie obliczamy pierwiastek z delty. Kolejnym krokiem jest znalezienie pierwiastków trójmianu: `x_1 = (-b - sqrt(Delta))/(2a)`, `x_2 = (-b + sqrt(Delta))/(2a)`. Postać iloczynowa trójmianu wygląda wówczas tak: `a(x - x_1)(x - x_2)`. Jak zawsze, nie zapominajmy o współczynniku `a` oraz o zmianie znaku pierwiastków trójmianu.
Przykłady:
Jest to najczęstsza metoda rozkładu wielomianów, którą można zastosować do zadań szkolnych. Z tego względu należy ją przećwiczyć do perfekcji. Trzeba jednak pamiętać, że nie każdy wielomian da się rozłożyć tą metodą.
A. Metoda ta w czystej postaci ma zastosowanie do wielomianów zawierających parzystą ilość wyrazów, zwykle cztery, czasem sześć. Jeśli mamy cztery wyrazy, grupujemy wyraz pierwszy i drugi oraz trzeci i czwarty, szukając takiego sposobu wyciągnięcia wspólnego czynnika przed nawias, aby w wypadku obu grup wyrazów pozostało dokładnie to samo. Najlepiej pokaże to przykład: `2x^3 + 2x^2 + 3x + 3 = 2x^2(x + 1) + 3(x + 1)`. Rzeczywiście, pozostało `x + 1` w obu grupach wyrazów. Tę wspólną pozostałość wyciągamy poza nawias: `2x^2(x + 1) + 3(x + 1) = (2x^2 + 3)(x + 1)`. Rozkład jest ukończony, pierwszy czynnik stanowi suma kwadratów, której nie da się rozłożyć na czynniki rzeczywiste.
B. Czasami grupujemy wyraz pierwszy z trzecim oraz drugi z czwartym. Np. `x^3 + 5x^2 - x - 5 = x(x^2 - 1) + 5(x^2 - 1)`. Wspólny czynnik wyłączamy poza nawias: `x(x^2 - 1) + 5(x^2 - 1) = (x + 5)(x^2 - 1)`. Musimy go jeszcze rozłożyć, posiłkując się wzorem skróconego mnożenia: `(x + 5)(x^2 - 1) = (x + 5)(x - 1)(x + 1) = (x + 5)(x + 1)(x - 1)` (przestawienie czynników ma znaczenie głównie estetyczne).
C. Trzeba bardzo uważać, gdy grupowane wyrazy zawierają znak minus. Np. `2x^4 + 3x^3 - 4x - 6 = x^3(2x + 3) - 2(2x + 3)`. Sprawdźmy dokładnie, że znak plus pozostanie także w czynniku wyłączonym z drugiej grupy! Wyłączamy czynnik wspólny: `x^3(2x + 3) - 2(2x + 3) = (x^3 - 2)(2x + 3)`. Dalszy rozkład wymaga zastosowania wzoru skróconego mnożenia: `(x^3 - 2)(2x + 3) = (x - root(3)(2))(x^2 + root(3)(2)x + root(3)(2^2))(2x + 3)`. Zmienimy jeszcze kolejność czynników (z powodów głownie estetycznych) i wyliczymy kwadrat: `(x - root(3)(2))(x^2 + root(3)(2)x + root(3)(2^2))(2x + 3) = (2x + 3)(x - root(3)(2))(x^2 + root(3)(2)x + root(3)(4))`.
D. Dobrze jest pisać wyjątkowo liczbę jeden przy wyłączaniu przed nawias w obrębie grupy, bo to ułatwia później wyłączenie wspólnego czynnika. Np. `2x^3 + 2x^2 - x - 1 = 2x^2(x + 1) - 1(x + 1)`. Teraz łatwo i poprawnie wyłączymy wspólny czynnik poza nawias: `2x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (2x^2 - 1)(x + 1)`. Dalszy rozkład: `(2x^2 - 1)(x + 1) = 2(x^2 - 1/2)(x + 1)`. Pierwiastek z `1/2` to `sqrt(2)/2`, zatem `2(x^2 - 1/2)(x + 1) = 2(x - sqrt(2)/2)(x + sqrt(2)/2)(x + 1)`.
E. Niekiedy możliwe jest nietypowe grupowanie wyrazu pierwszy z ostatnim i dwóch środkowych ze sobą. Rozłóżmy tym sposobem wielomian `x^3 - 5x^2 + 5x - 1`.
| • | grupujemy dwa wyrazy środkowe | `x^3 - 5x(x - 1) - 1` |
| • | przestawiamy wyraz ostatni na drugie miejsce | `x^3 - 1 - 5x(x - 1)` |
| • | rozkładamy `x^3 - 1` wzorem skróconego mnożenia | `(x - 1)(x^2 + x + 1) - 5x(x - 1)` |
| • | wyłączamy wspólny czynnik poza nawias | `(x^2 + x + 1 - 5x)(x - 1)` |
| • | redukujemy wyrazy podobne | `(x^2 - 4x + 1)(x - 1)` |
Dokonując dalszego rozkładu przy pomocy wyróżnika otrzymujemy ostatecznie: `x^3 - 5x^2 + 5x - 1 = (x - 2 + sqrt(3))(x - 2 - sqrt(3))(x - 1)`.
Dalsze przykłady:
`x^2 - 7x`
`x^2 - 36`
`7x^3 + 21x`
`4x^3 + 6x^2`
`9x^3 - 3x^2 + 18x`
`10x^5 - 2x^4 + 4x^3 + 12x^2`
`x^2 - 4`
`x^2 - 25`
`x^2 - 6x + 9`
`x^2 + 6x + 9`
`x^2 - 10x + 25`
`x^3 - 27`
`x^3 - 16x`
`4x^4 - 36x^2`
`x^2 + 5x + 6`
`x^2 + x - 30`
`x^2 - x - 6`
`x^3 + 4x^2 + 2x + 8`
`5x^3 + 10x^2 + 2x + 4`
`x^3 + 2x^2 - 9x - 18`
`x^3 - 2x^2 - 4x + 8`
`2x^3 + 8x^2 - 3x - 12`
`x^3 - 7x^2 - 4x + 28`
`x^3 - 6x^2 - 9x + 54`
`x^3 + 2x^2 - 5x - 10`
`x^3 - 6x^2 - 12x + 72`
`x^3 + x^2 - 4x - 4`
`x^4 - 13 x^2 + 36`
`81x^4 - 16`
`x^3 - 2x^2 - 9x + 18`
`3x^3 + 4x^2 - 147x - 196`
`x^3 + 4x^2 - 7x - 10`
`x^3 + 2x^2 - 9x - 18`
`x^3 - 2x^2 - 9x +18`
`x^3 + 7x^2 - 2x - 14`
`x^3 - 2x^2 - 16x + 32`
`4 - x^2 + 2xy - y^2`
`x^2 - xy - 2y + 2x`
`x^3 - 6x^2 - 9x + 54`
`x^4 + 5x^2 - x^3 - 5x`
`x^4 + 2x^3 - 14x^2 + 2x - 15`
`x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 11x + 15`
`x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 32`
`5x^4 - 13`
`3x - 5x^2 + 2x^3`
`2x^3 - x^2 - 6x + 3`
`x^3 - 12x^2 + x - 12`
`2x^3 - 16x^2 - 8x + 64`
`(x + 2)^4 - 4(x + 2)(3x + 2)`
`x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 3x + 3 = 1/4 (3 + sqrt(57) - sqrt(6(3 + sqrt(57))) + 2(-3 + sqrt(-9 + 2 sqrt(57)))x + 4x^2) * 1/4 (3 + sqrt(57) + sqrt(6(3 + sqrt(57))) - 2(3 + sqrt(-9 + 2 sqrt(57)))x + 4x^2)`
`4x^4 - 9x^2`
`2x^3 + 3x^2 + 4x + 6`
`6 + 9x + 5x^2 + 3x^3 + x^4`
`x^3 + 2x^2 - 8x - 16`
`x^3 - 6x^2 - 12x + 72`
`x^3 - 3x^2 + 4x - 12`
`9x^3 + 18x^2 - 4x - 8`
`x^3 - 6x^2 - 11x + 66`
`3x^3 - 4x^2 - 3x + 4`
`x^3 - 8`
`x^3 + 5x`
`x^4 - 16`
`x^4 + 4x^3 + x^2 - 8x - 6`
`x^2 + 1`
`x^2 - x + 5`
`(x^3 - 8)(x - 5)(2x + 1)`
`40 + 72x - 16x^2 - 5x^3 - 9x^4 + 2x^5`
`x^6 + x^3 - 2`
`4x^2 - 100`
`x^3 + 1`
`2x^2 + 3x - 2`
`x^3 - 10x^2 - 100x - 200`
`3x^3 + 2x^2 - 3`
`2x^4 + 3x^2 - 3`
`x^2 - x - 2`
`x^3 - 3x^2 + 3x - 1`
`x^5 - 2x^3 - 2x^2 - 3x - 2`
`x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 - 3x^2 - 3x - 2`
`x^6 - 2x^3 + 1`
`9 - 4x^2`
`1 + 6x + 12x^2 + 8x^3`
`8x^3 - 36x^2 + 54x - 27`
`x^3 - 8`
`8x^3 + 1`
`x^2 + x + 5`
`4x^2 - 12x + 9`
`x^2 - 5x + 6`
`3x^3 - 6x^2 + 4x - 8`
`5x^3 - 4x^2 - 5x + 4`
`4x^3 + 4x^2 - x - 1`
`20x^3 + 12x^2 - 45x - 27`
`3x^3 - 7x^2 - 27x + 63`
`10x^3 + 15x^2 + 8x + 12`
`8x^4 + 24x^3 + x + 3`
`x^4 - x^3 - 27x + 27`
`125x^4 - 125x^3 - 8x + 8`
`2x^5 + 3x^4 - 2x - 3`
`2x^5 + 3x^3 - 16x^2 - 24`
`x^5 - x^3 - 125x^2 + 125`
`x^3 - 3x + 2`
`x^3 - 7x + 6`
`x^3 - 13x - 12`
`x^3 + 4x - 5`
`x^3 + 3x + 4`
`x^4 + 4x^2 - 5`
`x^4 - 4x^2 + 3`
`x^4 - 1`
`(x^3 - 5)^2 - 36`
`(x^2 + 2x)^2 - x^2`
`x^4 + 1`
`(x^2 + x)^4 - 1`
`3(x^2 - 4x) - (x^2 - 4x)^2 + 10`
`x^3 - 9x^2 + x - 9`
`4x^3 - 8x^2 - x + 2`
`4x^3 - 13x^2 - 13x + 4`
`5x^5 + 4x^4 - 5x - 4`
`2x^3 - x^2 - 8x - 5`
`x^3 - 9x^2 + 23x - 15`
`2sqrt(2)x^3 - 6sqrt(3)x^2 + 9sqrt(2)x - 3sqrt(3)`
`x^3 + x^2(1 - sqrt(2)) + x(8 - sqrt(2)) - 8sqrt(2)`
`x^3 + 2x^2 + 1`
`2500x^4 - 1250x^3 - 1125x^2 - 875x - 354`
`x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12`
`x^4 - 25x^2 + 60x - 36`
Metoda ta wymaga spostrzegawczości. Ma zastosowanie, gdy jeden ze składników da się rozbić na dwa w taki sposób, by udało się każdy z nich pogrupować z pozostałymi. Jest to możliwe tylko w przypadku bardzo szczególnych wielomianów: na przykład gdy współczynnik w środkowym wyrazie jest sumą lub różnicą współczynników w wyrazach skrajnych. Najlepiej wyjaśnią to przykłady.
A. Rozłóżmy wielomian `x^2 - 3x + 2`. Możemy oczywiście zastosować wyróżnik, spróbujmy jednak innej metody.
| • | rozbijamy środkowy składnik na dwa, odpowiadające pozostałym | `x^2 - x - 2x + 2` |
| • | grupujemy wyrazy po 2, wyłączając wspólne czynniki przed nawias | `x(x - 1) - 2(x - 1)` |
| • | wspólny czynnik wyłączamy poza nawias | `(x - 2)(x - 1)` |
B. Rozłóżmy teraz wielomian `x^3 - 5x - 4`. Najczęściej omawianą metodę stosujemy właśnie wobec wielomianów stopnia trzeciego, które trudno rozłożyć inaczej.
| • | rozbijamy środkowy składnik na dwa, odpowiadające pozostałym | `x^3 - x - 4x - 4` |
| • | grupujemy wyrazy po 2, wyłączając wspólne czynniki przed nawias | `x(x^2 - 1) - 4(x + 1)` |
| • | rozkładamy wyrażenie kwadratowe wzorem skróconego mnożenia | `x(x - 1)(x + 1) - 4(x + 1)` |
| • | wspólny czynnik wyłączamy poza nawias | `(x(x - 1) - 4)(x + 1)` |
| • | zawartość pierwszego czynnika wymnażamy | `(x^2 - x - 4)(x + 1)` |
| • | trójmian rozkładamy przy pomocy wyróżnika | `Delta = (-1)^2 - 4*1*(-4)` |
| `Delta = 1 + 16` | ||
| `Delta = 17` | ||
| `x_1 = (1 - sqrt(17))/2`, `x_2 = (1 + sqrt(17))/2` | ||
| • | podajemy ostateczną postać iloczynową wielomianu | `(x - (1 - sqrt(17))/2)(x - (1 + sqrt(17))/2)(x + 1)` |
C. Rozłóżmy z kolei wielomian `2x^3 - 7x^2 + 9`. Tutaj współczynnik środkowego wyrazu jest różnicą wyrazów skrajnych.
| • | przedstawiamy środkowy wyraz jako różnicę | `2x^3 + 2x^2 - 9x^2 + 9` |
| • | grupujemy wyrazy | `2x^2(x + 1) - 9(x^2 - 1)` |
| • | rozkładamy `x^2 - 1` | `2x^2(x + 1) - 9(x - 1)(x + 1)` |
| • | wyłączamy wspólny czynnik poza nawias | `(2x^2 - 9(x - 1))(x + 1)` |
| • | porządkujemy pierwszy czynnik | `(2x^2 - 9x + 9)(x + 1)` |
Dalszy rozkład wykonujemy np. przy pomocy wyróżnika, otrzymując ostatecznie `2x^3 - 7x^2 + 9 = 2(x - 3/2)(x - 3)(x + 1)`.
D. Rozłóżmy jeszcze wielomian `2x^3 + x - 3`. Tym razem rozkładać będziemy wyraz wolny.
| • | przedstawiamy wyraz wolny jako sumę | `2x^3 + x - 2 - 1` |
| • | grupujemy wyrazy | `2(x^3 - 1) + 1(x - 1)` |
| • | rozkładamy `x^3 - 1` | `2(x - 1)(x^2 + x + 1) + 1(x - 1)` |
| • | wyłączamy wspólny czynnik poza nawias | `(2(x^2 + x + 1) + 1)(x - 1)` |
| • | porządkujemy pierwszy czynnik | `(2x^2 + 2x + 3)(x - 1)` |
Pierwszy czynnik nie jest już rozkładalny na czynniki (`Delta = 2^2 - 4*2*3 = 4 - 24 < 0`).
Inne przykłady:
W rozkładzie wielomianu występuje dwumian `x - m`, wtedy i tylko wtedy, gdy `m` jest miejscem zerowym tego wielomianu. Zwróćmy uwagę na znak minus w dwumianie `x - m`. Jeśli np. miejscem zerowym jest `3`, to w rozkładzie wystąpi dwumian `x - 3`. Jeśli miejscem zerowym jest `-3`, to w rozkładzie wystąpi dwumian `x + 3`.
Liczby `m` w rozpatrywanym dwumianie szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego wielomianu, przy czym sprawdzamy zarówno dzielniki dodatnie, jak i ujemne. Dany dzielnik podstawiamy z `x` i sprawdzamy, czy w wyniku otrzymamy zero. Takie poszukiwanie nie gwarantuje co prawda znalezienie jakiegokolwiek miejsca zerowego, ale niejednokrotnie bardzo pomaga.
A. Weźmy wielomian `w(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12`. Miejsca zerowego będziemy szukać w zbiorze dodatnich i ujemnych dzielników liczby `12`, tj. `{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12}`. Obliczamy `w(1) = 1^3 - 7*1^2 + 16*1 - 12 = -2`; liczba `1` nie jest więc miejscem zerowym. Obliczamy `w(-1) = (-1)^3 - 7*(-1)^2 + 16*(-1) - 12 = -36`, znów zatem się nie udało. Sprawdzamy kolejny dzielnik: `w(2) = 2^3 - 7*2^2 + 16*2 - 12 = 0`. Udało się! Wiemy zatem, że w rozkładzie wielomianu `x^3 - 7x^2 + 16x - 12` występuje dwumian `x - 2` (por. uwagę o znaku!).
Możemy teraz wykonać dzielenie `(x^3 - 7x^2 + 16x - 12) : (x - 2)`. Działanie to uważane jest za dość kłopotliwe (pomija je wiele podręczników matematyki do szkoły średniej!), choć tak naprawdę nie wymaga aż tak wielkiego wysiłku. Istnieją tu dwie metody. Jedną jest zwykłe dzielenie wielomianów, drugą jest tzw. schemat Hornera.
My jednak zastosujemy trzecią metodę, która zastępuje w zupełności dzielenie, zwaną dopisywaniem składników. Niektórzy uważają ją za prostszą od dzielenia, choć w wielu wypadkach można mieć co do tego sporo wątpliwości (zwłaszcza stosowanie tradycyjnego schematu Hornera, który zresztą działa podobnie, może być mniej kłopotliwe). Przedstawimy szczegóły tej metody na przykładach.
| `x^3 - 7x^2 + 16x - 12` | ||
| • | stwierdzamy, że `2` jest pierwiastkiem wielomianu | |
| • | chcemy wyłączyć dwumian `x - 2` z dwóch pierwszych wyrazów wielomianu | |
| • | nie zgadzają się współczynniki, więc dopisujemy jednomian `-2x^2` | |
| • | zrównoważamy go jednomianem `2x^2` (suma dopisanych jednomianów daje 0) | `x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 7x^2 + 16x - 12` |
| • | wyłączamy `x^2` z dwóch pierwszych jednomianów tak, by pozostał dwumian `x - 2` | `x^2(x - 2) + 2x^2 - 7x^2 + 16x - 12` |
| • | dwa następne jednomiany redukujemy (dodajemy) | `x^2(x - 2) - 5x^2 + 16x - 12` |
| • | stosujemy podobną operację na dwóch kolejnych jednomianach, dopisując `10x` oraz `-10x` | `x^2(x - 2) - 5x^2 + 10x - 10x + 16x - 12` |
| • | wyłączamy `-5x` tak, by pozostał dwumian `x - 2` | `x^2(x - 2) - 5x(x - 2) - 10x + 16x - 12` |
| • | redukujemy dwa kolejne wyrazy | `x^2(x - 2) - 5x(x - 2) + 6x - 12` |
| • | wyłączamy `6` tak, by pozostał dwumian `x - 2` | `x^2(x - 2) - 5x(x - 2) + 6(x - 2)` |
| • | nic nie pozostaje, bo wcześniej ustaliliśmy, że wielomian jest podzielny przez `x - 2` | |
| • | wyłączamy `x - 2` poza nawias | `(x^2 - 5x + 6)(x - 2)` |
| • | dalszy rozkład możemy przeprowadzić metodą stosowaną zwykle przy trójmianie kwadratowym | |
| • | możemy też (dla celów ćwiczeniowych) poszukać kolejnego miejsca zerowego wśród dzielników wyrazu wolnego `6` | |
| • | miejscem zerowym trójmianu `x^2 - 5x + 6` jest po raz kolejny `2` (należy sprawdzić to samodzielnie!) | |
| • | dopisujemy `-2x` i `2x` w pierwszym czynniku | `(x^2 - 2x + 2x - 5x + 6)(x - 2)` |
| • | wyłączamy `x` przed nawias i redukujemy dwa kolejne wyrazy | `(x(x - 2) - 3x + 6)(x - 2)` |
| • | wyłączamy `-3` przed nawias | `(x(x - 2) - 3(x - 2))(x - 2)` |
| • | wyłączamy `x - 2` poza nawias | `(x - 3)(x - 2)^2` |
B. W kolejnym przykładzie rozłożymy wielomian `2x^3 - x^2 - 8x - 5`. Przy najwyższej potędze zmiennej występuje tu współczynnik `a = 2`, w związku z czym powinniśmy sprawdzić nie tylko dzielniki wyrazu wolnego `m`, ale także liczby o postaci `m/n`, gdzie `n` jest dzielnikiem wspólczynnika `a`. Na szczęście szybko okazuje się, że pierwiastkiem naszego wielomianu jest `-1`, spróbujemy zatem tak ów wielomian rozłożyć, by wyłączyć dwumian `(x + 1)`.
| `2x^3 - x^2 - 8x - 5` | ||
| • | dodajemy i odejmujemy `2x^2` | `2x^3 + 2x^2 - 2x^2 - x^2 - 8x - 5` |
| • | wyłączamy `2x^2` i redukujemy | `2x^2(x + 1) - 3x^2 - 8x - 5` |
| • | odejmujemy i dodajemy `3x` | `2x^2(x + 1) - 3x^2 - 3x + 3x - 8x - 5` |
| • | wyłączamy `-3x` i redukujemy | `2x^2(x + 1) - 3x(x + 1) - 5x - 5` |
| • | wyłączamy `-5` | `2x^2(x + 1) - 3x(x + 1) - 5(x + 1)` |
| • | wyłączamy `x + 1` poza nawias | `(2x^2 - 3x - 5)(x + 1)` |
| • | rozkład trójmianu możemy przeprowadzić metodą dopisywania | `(2x^2 + 2x - 2x - 3x - 5)(x + 1)` |
| • | wyłączamy `2x` i redukujemy | `(2x(x + 1) - 5x - 5)(x + 1)` |
| • | wyłączamy `5` | `(2x(x + 1) - 5(x + 1))(x + 1)` |
| • | wyłączamy `x + 1` poza nawias | `(2x - 5)(x + 1)^2` |
Wielomian został w zasadzie rozłożony, można jeszcze tylko wyłączyć współczynnik `a` według wskazówek podanych niżej.
Kolejne przykłady:
Niekiedy można zrezygnować z porządkowania wielomianu, by rozwiązać go w inny sposób bezpośrednio z podanej postaci. Nie ma prostych reguł, jak to zrobić – korzystamy raczej z doświadczenia i spostrzegawczości.
A. Równanie `x^2 - 1 = 5(x - 1)(x + 2)` można rozwiązać sposobem tradycyjnym, wystarczy jednak zauważyć, że rozkład lewej strony doprowadzi do sytuacji, w której po obu stronach wystąpi taki sam czynnik: `(x - 1)(x + 1) = 5(x - 1)(x + 2)`. Zamieńmy strony miejscami: `5(x - 1)(x + 2) = (x - 1)(x + 1)`, i przerzućmy wszystko na lewo: `5(x - 1)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) = 0`. Wspólny czynnik wyłączmy poza nawias: `(5(x + 2) - (x + 1))(x - 1) = 0`. Pierwszy czynnik uporządkujmy: `(5x + 10 - x - 1)(x - 1) = 0`, skąd `(4x + 9)(x - 1) = 0`, co zasadniczo kończy rozkład. Można jeszcze tylko wyciągnąć przed wspólczynnik a: `4(x + 9/4)(x - 1) = 0`.
B. Aby rozwiązać równanie `(2x - 1)(x^2 - 1) = 6(x + 1)`, przede wszystkim przerzucamy wszystko na lewą stronę: `(2x - 1)(x^2 - 1) - 6(x + 1) = 0`, a następnie rozkładamy otrzymany wielomian. Niestety, jego uporządkowania, czyli wymnożenie czynników i redukcji wyrazów podobnych: `(2x - 1)(x^2 - 1) - 6(x + 1) = 2x^3 - 2x - x^2 + 1 - 6x - 6 = 2x^3 - x^2 - 8x - 5`, doprowadzi do bardziej skomplikowanego i dłuższego rozwiązania. Wielomian ten lepiej jest rozłożyć całkiem inaczej.
Zauważmy, że czynnik `(x^2 - 1)` da się rozłożyć tak, że otrzymamy między innymi `(x + 1)`, a taki właśnie czynnik mamy już w innym miejscu. Postąpimy zatem w taki oto sposób:
`(2x - 1)(x - 1)(x + 1) - 6(x + 1) = (x + 1)((2x - 1)(x - 1) - 6) = (x + 1)(2x^2 - 2x - x + 1 - 6) = (x + 1)(2x^2 - 3x - 5)`.
Pozostał jeszcze rozkład trójmianu, który przeprowadzamy opisanymi wyżej metodami, otrzymując ostatecznie `(x + 1)^2(2x - 5)`.
Jeśli wielomian jest zdegenerowany i posiada tylko wyrazy niektórych stopni, możemy go często rozłożyć, wprowadzając zmienną pomocniczą. Metoda ta zadziała na przykład, gdy mamy do czynienia z tzw. wyrażeniem dwukwadratowym o postaci `a x^4 + b x^2 + c`, lub trójkwadratowym o postaci `a x^6 + b x^3 + c`.
A. Aby rozłożyć wielomian `2x^4 - 3x^2 + 3`, najwygodniej będzie dokonać podstawienia zmiennej pomocniczej `x^2 = t`. Otrzymamy wówczas `2t^2 - 3t + 3`. Obliczamy wyróżnik: `Delta = (-3)^2 - 4*2*3 = 9 - 24 < 0`. Wielomian taki jest nierozkładalny.
Czasem rozkład ułatwi dokonanie odpowiedniego podstawienia za całe wyrażenie. O zastosowaniu tej metody decyduje raczej praktyka niż konkretne wskazówki.
A. Na przykład przy rozkładaniu wielomianu `(x^2 + x)^4 - 1` możemy podstawić `x^2 + x = t`, otrzymując `(x^2 + x)^4 - 1 = t^4 - 1`. Wielomian ten możemy rozłożyć poznanymi metodami następująco: `t^4 - 1 = (t^2 - 1)(t^2 + 1) = (t - 1)(t + 1)(t^2 + 1)`. W tym momencie wrócimy do zmiennej `x`, dokonując podstawienia odwrotnego `t = x^2 + x`: `(t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) = (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 1)((x^2 + x)^2 + 1)`. Pierwszy czynnik rozłożymy dalej zwykłą metodą, dwa pozostałe czynniki nie są już rozkładalne. Ostatni czynnik ma przy tym dość nietypową postać.
B. W przypadku wielomianu `(x^2 + 2x)^2 - x^2` możemy podstawić tylko `x^2 + 2x = t`, i wówczas otrzymamy wielomian dwóch zmiennych: `(x^2 + 2x)^2 - x^2 = t^2 - x^2`, który na podstawie metody zastosowania wzorów skróconego mnożenia przedstawimy jako `(t - x)(t + x)`. Podstawiając z powrotem `t = x^2 + 2x` dostaniemy `(x^2 + 2x)^2 - x^2 = (x^2 + 2x - x)(x^2 + 2x + x) = (x^2 + x)(x^2 + 3x) = x(x + 1)*x(x + 3) = x^2(x + 1)(x + 3)`. Podany wielomian można też rozłożyć normalnymi metodami, zaczynając od jego uporządkowania.
Na koniec wyłączamy przed nawias współczynnik `a`, tj. liczbę stojącą przy zmiennej (oznaczanej `x` lub jakoś inaczej, w zależności od zadania) w najwyższej potędze. Jeśli mamy tylko rozłożyć wielomian na czynniki, możemy ten etap pominąć, zwłaszcza, jeśli prowadziłby do otrzymania ułamków. Jeśli jednak naszym następnym zadaniem będzie rozwiązanie równania wielomianowego (lub podanie miejsc zerowych wielomianu, co w zasadzie oznacza to samo), wówczas wyłączenie współczynnika `a` jest bardzo wskazane.
Musimy uważać na ewentualne dwumiany o postaci `m - x`. Z dwumianów tych powinniśmy wyłączyć liczbę `-1` (zapisując ją jako minus przed nawiasem), i wówczas kolejność składników zmieni się: `m - x = -(x - m)`.
Jeśli jest taka potrzeba, wyłączamy wszystkie współczynniki stojące przed `x` w każdym czynniku (może to prowadzić do otrzymania ułamków). Wyłączone współczynniki mnożymy. Czynniki zawierające zmienną `x` możemy też posortować (co ma znaczenie raczej estetyczne niż praktyczne).
Przykłady: