Wersja z 2015-05-16
Francuski matematyk François Viète (1540–1603) sformułował wzory wyrażające zależności między rozwiązaniami równań wielomianowych. Wzory te pozostają prawdziwe także dla rozwiązań zespolonych.
Dla równania kwadratowego wzory Viète’a dotyczą sumy i iloczynu rozwiązań: `x_1 + x_2 = -b/a` oraz `x_1 x_2 = c/a`.
Rzeczywiście, jeśli `x_1 = (-b - sqrt(Delta))/(2a)` oraz `x_2 = (-b + sqrt(Delta))/(2a)`, wówczas:
`x_1 + x_2 = (-b - sqrt(Delta))/(2a) + (-b + sqrt(Delta))/(2a) = (-b)/(2a) + (-b)/(2a) = -b/a`.
Również `x_1 x_2 = (-b - sqrt(Delta))/(2a) * (-b + sqrt(Delta))/(2a) = (-1)(-1) ((b + sqrt(Delta)) (b - sqrt(Delta)))/((2a)(2a)) = (b^2 - Delta)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = (b^2 - b^2 + 4ac)/(4a^2) = (4ac)/(4a^2) = c/a`.
W jaki jednak sposób otrzymać te zależności? Wystarczy porównać postacie ogólną i iloczynową trójmianu kwadratowego:
`a x^2 + b x + c -= a(x - x_1)(x - x_2)`,
`a x^2 + b x + c -= a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2`,
by otrzymać układ warunków:
`{(- a(x_1 + x_2) = b),(a x_1 x_2 = c):}`
skąd ostatecznie:
`{(x_1 + x_2 = -b/a),(x_1 x_2 = c/a):}`
Przypomnijmy, że wzory na `x_1` i `x_2` pozostają prawdziwe niezależnie od znaku wyróżnika, pod warunkiem dopuszczenia rozwiązań zespolonych. Nie jest więc konieczne badanie prawdziwości wzorów Viète’a w poszczególnych wypadkach.
Równanie stopnia trzeciego `a x^3 + b x^2 + c x + d = 0` można zapisać w postaci iloczynowej jako `a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0` (jeśli dopuścimy pierwiastki zespolone, postać taka będzie zawsze możliwa do uzyskania). Po wykonaniu mnożeń otrzymamy:
`a x^3 - a (x_1 + x_2 + x_3) x^2 + a (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) x - a x_1 x_2 x_3 = 0`.
Wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ze współczynników jednego wielomianu jest równy odpowiedniemu współczynnikowi drugiego. Z zależności tej otrzymujemy:
`{(-a (x_1 + x_2 + x_3) = b),(a (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = c),(-a x_1 x_2 x_3 = d):}`
lub po zmodyfikowaniu:
`{(x_1 + x_2 + x_3 = -b/a),(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = c/a),(x_1 x_2 x_3 = -d/a):}`
Otrzymaliśmy właśnie wzory Viète’a dla równania sześciennego.
Uwzględniając liczby zespolone, każde równanie czwartego stopnia `a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0` da się przedstawić w postaci iloczynowej `a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) = 0`, co po wymnożeniu daje `a x^4 - a(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + a(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4)x^2 - a(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)x + a x_1 x_2 x_3 x_4 = 0`. Porównując współczynniki obu równań, otrzymujemy wzory Viète’a dla wielomianu stopnia czwartego:
`{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -b/a),(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = c/a),(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -d/a),(x_1 x_2 x_3 x_4 = e/a):}`
Metody z funkcjami symetrycznymi nie znałam i na razie nie do końca rozumiem, jak to ma działać. Muszę to przemyśleć. Wiem tylko, że w książce są jakieś dziwne rzeczy napisane. Z tego, co zrozumiałam, chodzi tam o wykorzystanie sumy pierwiastków, więc wzory na górze strony 194 są trochę bez sensu – jak na moje oko powinno to być coś takiego:
`(t-\frac{a_1}{2}-(z_1+z_3))(t-\frac{a_1}{2}-(z_2+z_4))=t^2-(\frac{a_1}{2}+z_1+z_3)^2`
`(t-\frac{a_1}{2}-(z_1+z_4))(t-\frac{a_1}{2}-(z_2+z_3))=t^2-(\frac{a_1}{2}+z_1+z_4)^2`
Wówczas podstawianie do wzoru na F ma sens.
Pozdrawiam
Mniej więcej rozumiem jak działa ta metoda – w książce po prostu nie ma żadnych obliczeń. Trzeba by je najpierw zrobić. W każdym razie, idea jest taka, że tworzy się wielomian F (w tradycyjnej postaci), którego współczynniki zależą od współczynników oryginalnego wielomianu, a następnie dwoma podstawieniami sprowadza się to równanie do równania stopnia 3.
Każda z tych metod w jakiś sposób jest związania z równaniem stopnia 3, ale w każdej z metod to równanie powstaje w inny sposób i w efekcie ma ono inne pierwiastki. Pewnie jak zwykle – na każdą metodę są przykłady, w których działa ona genialnie i przykłady w których obliczenia są jakieś masakryczne.
Pozdrawiam
Generalnie współczynniki wielomianu F otrzymuje się ze wzorów Viète’a, a po rozpisaniu wykorzystuje się wielomiany symetryczne podstawowe (czyli w tym przypadku – współczynniki tego oryginalnego wielomianu, patrz np. rozdział 9 Sierpińskiego). Otrzymanie współczynników równania rozwiązującego to już tylko konsekwencja. W wolnej chwili przeliczę.
Nie wiem, na ile znasz teorię wielomianów symetrycznych, więc będę używać oznaczeń z http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf (patrz strona 157, ale daruje sobie indeks górny, oraz strona 166). Btw. zwykle wielomiany symetryczne podstawowe oznacza się przez `\tau_i`.
Napiszę Ci tu kilka obliczeń, żebyś mógł sprawdzić, czy się gdzieś nie walnęłam. Resztę możesz spokojnie dokończyć sam.
Wstukałam F do kalkulatora forumowego i wypluł mi coś, co po uporządkowaniu wygląda tak:
`F(z)=\prod_{1\le i<j\le 4}(z-z_i-z_j)=`
`=z^6+z^5(-3\sum z_1)+z^4(3\sum z_1^2+8\sum z_1z_2)+`
`+z^3(-\sum z_1^3-7\sum z_1^2z_2-18\sum z_1z_2z_3)+`
`+z^2(2\sum z_1^3z_2+5\sum z_1^2z_2^2+13\sum z_1^2z_2z_3+30\sum z_1z_2z_3z_4)+`
`+z(-\sum z_1^3z_2^2-3\sum z_1^3z_2z_3-7\sum z_1^2z_2^2z_3-15\sum z_1^2z_2z_3z_4)+`
`+\sum z_1^3z_2^2z_3+2\sum z_1^3z_2z_3z_4+4\sum z_1^2z_2^2z_3z_4+2\sum z_1^2z_2^2z_3^2`
Dalej mamy (w większości znajdziesz to na na stronie 166, wszystkie wzory z uwzględnieniem faktu, że chodzi o 4 liczby, kilka przeliczyłam sama)
`\sum z_1=p_1`
`\sum z_1z_2=p_2`
`\sum z_1z_2z_3=p_3`
`\sum z_1z_2z_3z_4=p_4`
`\sum z_1^2=p_1^2-2p_2`
`\sum z_1^3=p_1^3-3p_1p_2+3p_3`
`\sum z_1^2z_2=p_1p_2-3p_3`
`\sum z_1^3z_2=p_1^2p_2-2p_2^2-p_1p_3+4p_4`
`\sum z_1^2z_2^2=p_2^2-2p_1p_3+2p_4`
`\sum z_1^2z_2z_3=p_1p_3-4p_4`
`\sum z_1^2z_2^2z_3=p_2p_3-3p_1p_4`
`\sum z_1^2z_2z_3z_4=p_1p_4`
`\sum z_1^2z_2^2z_3z_4=p_2p_4`
`\sum z_1^2z_2^2z_3^2=p_3^2-2p_2p_4`
`\sum z_1^3z_2^2=p_1p_2^2-2p_1^2p_3-p_2p_3+5p_1p_4`
`\sum z_1^3z_2^2z_3=p_1p_2p_3-3p_1p_4-3p_3^3+4p_2p_4`
No i wreszcie, ponieważ `f(z)=z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4`, to ze wzorów Viète’a mamy `p_1=-a_1,\ p_2=a_2,\ p_3=-a_3,\ p_4=a_4`.
Wstawiasz to wszystko do F(z) i masz wielomian stopnia 6. Potem robisz podstawienie `z=t-\frac{a_1}{2}` oraz `t^2=u` i jeśli wszystko jest dobrze obliczone, powinieneś dostać wielomian stopnia 3 zmiennej u, ale już mi się tego nie chciało liczyć ;)
Pozdrawiam