| Schläfli | wierzchołki | krawędzie | ściany | komórki | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| vertices | edges | faces | cells | |||||||||||||||
| v | e | f | c | e | v | v | e | f | v | f | e | v | f | e | f | c | v | c | e | c | f | v | c | e | c | f | c | |||
| wielokąty – polygons (χ = v − e = 0) | ||||||||||||||||||
| trójkąt równoboczny | trigon | {3} | 3 | 3 | — | — | 2 | 2 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| kwadrat | tetragon | {4} | 4 | 4 | — | — | 2 | 2 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| pięciokąt foremny | pentagon | {5} | 5 | 5 | — | — | 2 | 2 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| sześciokąt foremny | hexagon | {6} | 6 | 6 | — | — | 2 | 2 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| wielokąt foremny | n-gon | {n} | n | n | — | — | 2 | 2 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| wielościany – polyhedra (χ = v − e + f = 2) | ||||||||||||||||||
| czworościan foremny | tetrahedron | {3,3} | 4 | 6 | 4 | — | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | — | — | — | — | — | — |
| sześcian | hexahedron | {4,3} | 8 | 12 | 6 | — | 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 4 | — | — | — | — | — | — |
| ośmiościan foremny | octahedron | {3,4} | 6 | 12 | 8 | — | 4 | 2 | 4 | 2 | 3 | 3 | — | — | — | — | — | — |
| dwunastościan foremny | dodecahedron | {5,3} | 20 | 30 | 12 | — | 3 | 2 | 3 | 2 | 5 | 5 | — | — | — | — | — | — |
| dwudziestościan foremny | icosahedron | {3,5} | 12 | 30 | 20 | — | 5 | 2 | 5 | 2 | 3 | 3 | — | — | — | — | — | — |
| wielokomórki – polychora (χ = v − e + f − c = 0) | ||||||||||||||||||
| pięciokomórka | 5-cell | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 | 4 | 2 | 6 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 6 | 4 |
| ośmiokomórka | 8-cell | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | 4 | 2 | 6 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 | 2 | 8 | 12 | 6 |
| szesnastokomórka | 16-cell | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16 | 6 | 2 | 12 | 4 | 3 | 3 | 8 | 4 | 2 | 4 | 6 | 4 |
| 24-komórka | 24-cell | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 | 8 | 2 | 12 | 3 | 3 | 3 | 6 | 3 | 2 | 6 | 12 | 8 |
| 120-komórka | 120-cell | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120 | 4 | 2 | 6 | 3 | 5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 20 | 30 | 12 |
| 600-komórka | 600-cell | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 | 12 | 2 | 30 | 5 | 3 | 3 | 20 | 5 | 2 | 4 | 6 | 4 |
| Schläfli | liczba wierzchołków |
liczba krawędzi |
łączna liczba ścian |
symetria | wzór wierzchołka |
||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| number of vertices |
number of edges |
total number of faces |
symmetry | vertex figure |
|||||||||
| v | e | f | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | |||||
| foremne – regular | |||||||||||||
| czworościan foremny | tetrahedron | {3,3} | 4 | 6 | 4 | 4 | Td | 3.3.3 | |||||
| sześcian | hexahedron, cube | {4,3} | 8 | 12 | 6 | 6 | Oh | 4.4.4 | |||||
| ośmiościan foremny | octahedron | {3,4} | 6 | 12 | 8 | 8 | Oh | 3.3.3.3 | |||||
| dwunastościan foremny | 12-hedron | {5,3} | 20 | 30 | 12 | 12 | Ih | 5.5.5 | |||||
| dwudziestościan foremny | 20-hedron | {3,5} | 12 | 30 | 20 | 20 | Ih | 3.3.3.3.3 | |||||
| półforemne – semiregular | |||||||||||||
| czworościan ścięty | truncated tetrahedron | t{3,3} = h2{4,3} | 12 | 18 | 8 | 4 | 4 | Td | 3.6.6 | ||||
| sześcio-ośmiościan | cuboctahedron | r{4,3} = rr{3,3} | 12 | 24 | 14 | 8 | 6 | Oh | 3.4.3.4 | ||||
| sześcian ścięty | truncated cube | t{4,3} | 24 | 36 | 14 | 8 | 6 | Oh | 3.8.8 | ||||
| ośmiościan ścięty | truncated octahedron | t{3,4} = tr{3,3} | 24 | 36 | 14 | 6 | 8 | Oh | 4.6.6 | ||||
| sześcio-ośmiościan rombowy (mały) | (small) rhombicuboctahedron | rr{4,3} | 24 | 48 | 26 | 8 | 18 | Oh | 3.4.4.4 | ||||
| sześcio-ośmiościan rombowy wielki | great rhombicuboctahedron, rhombitruncated cube, truncated cuboctahedron |
tr{4,3} | 48 | 72 | 26 | 26 | 8 | 6 | Oh | 4.6.8 | |||
| sześcian przycięty | snub cube | sr{4,3} | 24 | 60 | 38 | 32 | 6 | O | 3.3.3.3.4 | ||||
| dwudziesto-dwunastościan | icosidodecahedron | r{5,3} | 30 | 60 | 32 | 20 | 12 | Ih | 3.5.3.5 | ||||
| dwunastościan ścięty | truncated dodecahedron | t{5,3} | 60 | 90 | 32 | 20 | 12 | Ih | 3.10.10 | ||||
| dwudziestościan ścięty | truncated icosahedron | t{3,5} | 60 | 90 | 32 | 12 | 20 | Ih | 5.6.6 | ||||
| dwudziesto-dwunastościan rombowy (mały) | (small) rhombicosidodecahedron | rr{5,3} | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | Ih | 3.4.5.4 | |||
| dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki | great rhombicosidodecahedron, rhombitruncated icosahedron, truncated icosidodecahedron |
tr{5,3} | 120 | 180 | 62 | 30 | 20 | 12 | Ih | 4.6.10 | |||
| dwunastościan przycięty | snub dodecahedron | sr{5,3} | 60 | 150 | 92 | 80 | 12 | I | 3.3.3.3.5 | ||||
Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.
| wielościany Catalana |
Catalan polyhedra |
wierzchołki | krawędzie | ściany | symetria | wielościan dualny | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| typy* | typy | długość | typ | długość | szerokość | |||||||
| vertices | edges | faces | symmetry | dual solid | ||||||||
| types* | types | length | type | length | width | |||||||
| czworościan potrójny |
triakis tetrahedron |
8 | 4[3] + 4[6] | 18 | 12 | 9/5 = 1.8 | 12 | trójkąty równoramienne |
Td | czworościan ścięty |
||
| 6 | 3 | isosceles triangles |
truncated tetrahedron |
|||||||||
| dwunastościan rombowy |
rhombic dodecahedron |
14 | 8[3] + 6[4] | 24 | 24 | 3√6/8 ≈ 0.918559 | 12 | romby | 3/2 = 1.5 | 3√2/4 ≈ 1.06066 | Oh | sześcio-ośmiościan |
| rhombi | cuboctahedron | |||||||||||
| ośmiościan potrójny |
(small) triakis octahedron |
14 | 8[3] + 6[8] | 36 | 24 | 2 | 24 | trójkąty równoramienne |
Oh | sześcian ścięty | ||
| 12 | 2 + √2 ≈ 3.41421 | isosceles triangles |
truncated cube | |||||||||
| sześcian poczwórny |
tetrakis hexahedron |
14 | 6[4] + 8[6] | 36 | 24 | 9√2/8 ≈ 1.59099 | 24 | trójkąty równoramienne |
Oh | ośmiościan ścięty | ||
| 12 | 3√2/2 ≈ 2.12132 | isosceles triangles |
truncated octahedron | |||||||||
| dwudziesto- czworościan deltoidalny |
deltoidal icositetrahedron |
26 | 8[3] + 6[4] + 12[4] | 48 | 24 | 2√(10 − √2)/7 ≈ 0.837186 |
24 | deltoidy o 3 równych kątach |
2√(31 − 8√2)/7 ≈ 1.26769 |
√2 ≈ 1.41421 | Oh | sześcio-ośmiościan rombowy |
| 24 | √(2(2 − √2)) ≈ 1.08239 |
tri-equiangular kites |
rhombicuboctahedron | |||||||||
| ośmiościan sześciokrotny |
disdyakis dodecahedron (hexakis octahedron) |
26 | 12[4] + 8[6] + 6[8] | 72 | 24 | 2√(3(10 − √2))/7 ≈ 1.45005 |
48 | trójkąty ostrokątne |
Oh | sześcio-ośmiościan rombowy wielki |
||
| 24 | 3√(6(2 + √2))/7 ≈ 1.93974 |
|||||||||||
| 24 | 2√(6(10 + √2))/7 ≈ 2.36445 |
acute triangles | truncated cuboctahedron | |||||||||
| dwudziesto- czworościan pięciokątny |
pentagonal icositetrahedron |
38 | 32[3] + 6[4] | 60 | 36 | p ≈ 0.593465 | 24 | pięciokąty będące lustrzanymi odbiciami |
O | sześcian przycięty** | ||
| 24 | q ≈ 0.842509 | mirror-symmetric pentagons |
snub cube** | |||||||||
| trzydziestościan rombowy |
rhombic triacontahedron |
32 | 20[3] + 12[5] | 60 | 60 | √(10(5 + √5))/8 ≈ 1.06331 |
30 | romby | (5 + √5)/4 ≈ 1.80902 | √5/2 ≈ 1.11803 | Ih | dwudziesto-dwunastościan |
| rhombi | icosidodecahedron | |||||||||||
| dwudziestościan potrójny |
triakis icosahedron |
32 | 20[3] + 12[10] | 90 | 60 | 5(7 + √5)/22 ≈ 2.09911 |
60 | trójkąty równoramienne |
Ih | dwunastościan ścięty | ||
| 30 | (5 + √5)/2 ≈ 3.61803 | isosceles triangles |
truncated dodecahedron | |||||||||
| dwunastościan pięciokrotny |
pentakis dodecahedron |
32 | 12[5] + 20[6] | 90 | 60 | 9(2√5 − 1)/19 ≈ 1.64470 |
60 | trójkąty równoramienne |
Ih | dwudziestościan ścięty | ||
| 30 | 3(√5 − 1)/2 ≈ 1.85410 | isosceles triangles |
truncated icosahedron | |||||||||
| sześćdziesięciościan deltoidalny |
deltoidal hexecontahedron |
62 | 20[3] + 30[4] + 12[5] | 120 | 60 | √(5(85 − 31√5))/11 ≈ 0.804992 |
60 | deltoidy | √(10(157 + 31√5))/33 ≈ 1.44160 |
(5 − √5)/2 ≈ 1.38197 |
Ih | dwudziesto-dwunastościan rombowy |
| 60 | √(5(5 − √5))/3 ≈ 1.23916 |
kites | rhombicosidodecahedron | |||||||||
| dwudziestościan sześciokrotny |
disdyakis triacontahedron |
62 | 30[4] + 20[6] + 12[10] | 180 | 60 | √(15(85 − 31√5))/11 ≈ 1.39429 |
120 | trójkąty ostrokątne |
Ih | dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki |
||
| 60 | 3√(15(65 + 19√5))/55 ≈ 2.19017 |
|||||||||||
| 60 | 2√(15(5 − √5))/5 ≈ 2.57555 |
acute triangles | truncated icosidodecahedron |
|||||||||
| sześćdziesięciościan pięciokątny |
pentagonal hexecontahedron |
92 | 80[3] + 12[5] | 150 | 90 | 1/ψ ≈ 0.582900 | 60 | pięciokąty będące lustrzanymi odbiciami |
I | dwunastościan przycięty** | ||
| 60 | r ≈ 1.01999 | mirror-symmetric pentagons |
snub dodecahedron** | |||||||||
* Zapis 30[4] oznacza 30 wierzchołków, w każdym zbiegają się 4 krawędzie – The symbol 30[4] means 30 vertices with 4 edges in each.
** Wielościanem dualnym do formy prawoskrętnej jest forma lewoskrętna i odwrotnie – The dual solid to the dextro solid is the laevo one, and contrary.
Dokładne wartości:
| liczba wierzchołków |
wzór wierzchołka |
współrzędne | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| number of vertices |
vertex figure |
coordinates | |||||
| v | (I) | (II) | |||||
| a | a | ||||||
| wielościany – polyhedra (v − e + f = 2) | |||||||
| foremne – regular | |||||||
| 4-ścian | 4-hedron | 4 | 3.3.3 | (±1, 0, −1/√2), (0, ±1, 1/√2) | 2 | (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1) | 2√2 |
| 6-ścian | 6-hedron | 8 | 4.4.4 | (±1, ±1, ±1) | 2 | ||
| 8-ścian | 8-hedron | 6 | 3.3.3.3 | (±√2, 0, 0), (0, ±√2, 0), (0, 0, ±√2) | 2 | (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) | √2 |
| 12-ścian | 12-hedron | 20 | 5.5.5 | (±φ, ±φ, ±φ), (0, ±1, ±φ2), (±1, ±φ2, 0), (±φ2, 0, ±1) | 2 | (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ) | 2/φ |
| 20-ścian | 20-hedron | 12 | 3.3.3.3.3 | (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1) | 2 | ||
| półforemne – semiregular | |||||||
| 4-ścian ścięty |
truncated 4-hedron |
12 | 3.6.6 | (1/√6, −2√3, ±2), (−3/√6, 0, ±2), (5/√6, −1/√3, ±1), (1/√6, 4√3, 0), (−3/√6, ±3√3, ±1), (5/√6, 2√3, 0) |
2 | (+ 3, + 1, + 1), (+ 1, + 3, + 1), (+ 1, + 1, + 3), (−3,−1, + 1), (−1,−3, + 1), (−1,−1, + 3), (−3, + 1,−1), (−1, + 3,−1), (−1, + 1,−3), (+ 3,−1,−1), (+ 1,−3,−1), (+ 1,−1,−3) |
√8 |
| 6-8-ścian | 6-8-hedron | 12 | 3.4.3.4 | P(0,±√2,±√2) | 2 | P(0,±1,±1) | √2 |
| 6-ścian ścięty |
truncated 6-hedron |
24 | 3.8.8 | P(±1, ±(1 + √2), ±(1 + √2)) | 2 | P(±u, ±1, ±1), u = √2 − 1 | 2u |
| 8-ścian ścięty |
truncated 8-hedron |
24 | 4.6.6 | P(0, ±√2, ±2√2) | 2 | P(0, ±1, ±2) | √2 |
| 6-8-ścian rombowy mały |
rhombi- 6-8-hedron |
24 | 3.4.4.4 | P(±(1 + √2), ±1, ±1) | 2 | ||
| 6-8-ścian rombowy wielki |
truncated 6-8-hedron |
48 | 4.6.8 | P(±1, ±(1 + √2), ±(1 + 2√2)) | 2 | ||
| 6-ścian przycięty |
snub 6-hedron |
24 | 3.3.3.3.4 | Px(±A1, ±A2, ±A3) | 2 | Px(±1, ±v, ±1/v) | w |
| 20-12-ścian | 20-12-hedron | 30 | 3.5.3.5 | (0,0,±2φ), (0,±2φ,0), (±2φ,0,0), (±1, ±φ, ±(1 + φ)), (±φ, ±(1 + φ), ±1), (±(1 + φ), ±1, ±φ) |
2 | (0,0,±φ), (0,±φ,0), (±φ,0,0), (±1/2, ±φ/2, ±(1 + φ)/2), (±φ/2, ±(1 + φ)/2, ±1/2), (±(1 + φ)/2, ±1/2, ±φ/2) |
1 |
| 12-ścian ścięty |
truncated 12-hedron |
60 | 3.10.10 | (0, ±1, ±(3φ + 1)), (±(3φ + 1), 0, ±1), (±1, ±(3φ + 1), 0), (±1, ±φ2, ±2φ2), (±2φ2, ±1, ±φ2), (±φ2, ±2φ2, ±1), (±φ2, ±2φ, ±φ3), (±φ3, ±φ2, ±2φ), (±2φ, ±φ3, ±φ2) |
2 | (0, ±1/φ, ±(2 + φ)), (±(2 + φ), 0, ±1/φ), (±1/φ, ±(2 + φ), 0), (±1/φ, ±φ, ±2φ), (±2φ, ±1/φ, ±φ), (±φ, ±2φ, ±1/φ), (±φ, ±2, ±φ2), (±φ2, ±φ, ±2), (±2, ±φ2, ±φ) |
2(φ − 1) |
| 20-ścian ścięty |
truncated 20-hedron |
60 | 5.6.6 | (±3φ, 0, ±1), (±(1 + 2φ), ±φ, ±2), (±(2 + φ), ±2φ, ±1), (±1, ±3φ, 0), (±2, ±(1 + 2φ), ±φ), (±1, ±(2 + φ), ±2φ), (0, ±1, ±3φ), (±φ, ±2, ±(1 + 2φ)), (±2φ, ±1, ±(2 + φ)) |
2 | ||
| 20-12-ścian rombowy mały |
rhomb- 20-12-hedron |
60 | 3.4.5.4 | (±1, ±1, ±φ3), (±φ3, ±1, ±1), (±1, ±φ3, ±1), (±φ2, ±φ, ±2φ), (±2φ, ±φ2, ±φ), (±φ, ±2φ, ±φ2), (±(2 + φ), 0, ±φ2), (±φ2, ±(2 + φ), 0), (0, ±φ2, ±(2 + φ)) |
2 | ||
| 20-12-ścian rombowy wielki |
truncated 20-12-hedron |
120 | 4.6.10 | P+(±1, ±1, ±(4φ + 1)), P+(±2, ±φ2, ±(3φ + 2)), P+(±1, ±φ3, ±(2φ + 3)), P+(±(φ + 2), ±2φ, ±(3φ + 1)), P+(±φ2, ±3φ, ±2φ2) |
2 | P+(±1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)), P+(±2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)), P+(±1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)), P+(±(−1 + 2φ), ±2, ±(2 + φ)), P+(±φ, ±3, ±2φ) |
2(φ − 1) |
| 12-ścian przycięty |
snub 12-hedron |
60 | 3.3.3.3.5 | P*(±C2, ±C1, ±C14), P*(±C3, ±C4, ±C13), P*(±C0, ±C8, ±C12), P*(±C7, ±C6, ±C11), P*(±C9, ±C5, ±C10) |
2 | P*(±2α, ±2, ±2β), P*(±(α + β/φ + φ), ±(−αφ + β + 1/φ), ±(α/φ + βφ − 1)), P*(±(−α/φ + βφ + 1), ±(−α + β/φ − φ), ±(αφ + β − 1/φ)), P*(±(−α/φ + βφ − 1), ±(α − β/φ − φ), ±(αφ + β + 1/φ)), P*(±(α + β/φ − φ), ±(αφ − β + 1/φ), ±(α/φ + βφ + 1)) |
a ≈ 6.0437380841 |
| wielościany Catalana – Catalan polyhedra | |||||||
| czworościan potrójny |
triakis tetrahedron |
8 | |||||
| dwunastościan rombowy |
rhombic dodecahedron |
14 | |||||
| ośmiościan potrójny |
(small) triakis octahedron |
14 | |||||
| sześcian poczwórny |
tetrakis hexahedron |
14 | |||||
| dwudziesto- czworościan deltoidalny |
deltoidal icositetrahedron |
26 | |||||
| ośmiościan sześciokrotny |
disdyakis dodecahedron (hexakis octahedron) |
26 | |||||
| dwudziesto- czworościan pięciokątny |
pentagonal icositetrahedron |
38 | |||||
| trzydziestościan rombowy |
rhombic triacontahedron |
32 | |||||
| dwudziestościan potrójny |
triakis icosahedron |
32 | |||||
| dwunastościan pięciokrotny |
pentakis dodecahedron |
32 | |||||
| sześćdziesięciościan deltoidalny |
deltoidal hexecontahedron |
62 | |||||
| dwudziestościan sześciokrotny |
disdyakis triacontahedron |
62 | |||||
| sześćdziesięciościan pięciokątny |
pentagonal hexecontahedron |
92 | |||||
| wielokomórki – polychora (v − e + f − c = 0) | |||||||
| 5-komórka | 5-cell | 5 | |||||
| 8-komórka | 8-cell | 16 | |||||
| 16-komórka | 16-cell | 8 | |||||
| 24-komórka | 24-cell | 24 | |||||
| 120-komórka | 120-cell | 600 | |||||
| 600-komórka | 600-cell | 120 | |||||
Wielościany Catalana: Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
Catalan solids: The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.
| kąt | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| dwuścienny (ś-ś) |
w wierzchołku | ś-w-k | środkowy | bryłowy (naroże) |
|||||
| dihedral (f-e-f) |
vertex | f-v-e | edge central | vertex solid | |||||
| angle | |||||||||
| θ | Ω [sr] | ||||||||
| wielościany – polyhedra (v − e + f = 2) | |||||||||
| foremne – regular | |||||||||
| czworościan foremny |
4-hedron | arc sin 2√2/3 = 2 arc sin √3/3 = arc cos 1/3 = arc tg 2√2 ≈ 70.5288° = 70°31′44″ |
60° | arc sin √(2/3) = arc cos 1/√3 = arc tg √2 ≈ 54.7357° = 54°44′08″ |
π − 2 arc sin √3/3 = π − arc cos 1/3 = 2 arc tg √2 ≈ 109.471° = 109°28′16″ |
arc cos 23/27 ≈ 0.551286 |
|||
| sześcian | 6-hedron | π/2 = 90° | 90° | π/2 = 90° | arc sin 2√2/3 = 2 arc sin √3/3 = arc cos 1/3 = arc tg 2√2 ≈ 70.5288° = 70°31′44″ |
π/2 | |||
| ośmiościan foremny |
8-hedron | π − 2 arc sin √3/3 = π − arc cos 1/3 = 2 arc tg √2 ≈ 109.471° = 109°28′16″ |
60° | - | π/2 = 90° | 4 arc sin 1/3 = arc cos 17/81 ≈ 1.35935 |
|||
| 90° | |||||||||
| 12-ścian foremny |
12-hedron | π − arc sin 2/√5 = π − arc cos 1/√5 = π − arc tg 2 = 2 arc tg φ ≈ 116.565° = 116°33′54″ |
108° | π − arc cos (ξ/√5) ≈ 121.717° = 121°43′03″ |
arc sin 2/3 = arc cos √5/3 ≈ 41.8103° = 41°48′37″ |
π − arc cos (11√5/25) = π − arc tg 2/11 ≈ 2.96174 |
|||
| 20-ścian foremny |
20-hedron | π − arc sin 2/3 = π − arc cos √5/3 = π − arc tg 2/√5 = 2 arc tg φ2 ≈ 138.190° = 138°11′23″ |
60° | arc sin 2/√5 = arc cos 1/√5 = arc tg 2 ≈ 63.4350° = 63°26′06″ |
π − arc cos (95√5/243) = 2π − 5 arc sin 2/3 ≈ 2.63455 |
||||
| 108° | |||||||||
| półforemne – semiregular | |||||||||
| 4-ścian ścięty |
truncated 4-hedron |
3-6 | arc cos (−1/3) ≈ 109°28′16″ | 50°28′ | arc cos (−1/3) ≈ 1.91063 |
||||
| 6-6 | arc cos 1/3 ≈ 70°31′44″ | ||||||||
| 6-8-ścian | 6-8-hedron | 3-4 | arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ | 120° | 60° | arc cos (−7/9) ≈ 2.46192 |
|||
| 6-ścian ścięty |
truncated 6-hedron |
3-8 | arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ | arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ | 32°39′ | arc cos (−2√2/3) ≈ 2.80176 |
|||
| 8-8 | π/2 = 90° | ||||||||
| 8-ścian ścięty |
truncated 8-hedron |
4-6 | arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ | 36°52′ | arc cos (−1) = π ≈ 3.14159 |
||||
| 6-6 | arc cos (−1/3) ≈ 109°28′16″ | ||||||||
| 6-8-ścian rombowy (mały) |
rhombi- 6-8-hedron |
3-4 | arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ | 41°53′ | 2π − arc cos (−2√2/3) ≈ 3.48143 |
||||
| 4-4 | arc cos (−√2/3) = 135° | ||||||||
| 6-8-ścian rombowy wielki |
truncated 6-8-hedron |
4-6 | arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ | 24°55′ | 2π − arc cos (−√2/2) = 5π/4 ≈ 3.92699 |
||||
| 4-8 | arc cos (−√2/3) = 135° | ||||||||
| 6-8 | arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ | ||||||||
| 6-ścian przycięty |
snub 6-hedron |
3-3 | arc cos ((1 − 2τ)/3) ≈ 153°14′04″ | arc cos (−t) ≈ 114°48′43″ |
arc cos (t/(1 − t)) ≈ 43°41′27″ |
3 arc cos (−(1 + 4t)/3) + 2 arc cos ((1 − 2√(1 + t))/√3) − 3π ≈ 3.58963 |
|||
| 3-4 | arc cos (−√(1 − 2/(3τ))) ≈ 142°59′00″ | arc cos ((1 − 2√t)/(√2(1 − √t))) ≈ 126°24′12″ |
|||||||
| 20-12-ścian | 20-12-hedron | 3-5 | arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ | 36° | 2π − arc cos ((−3 − 16√5)/45) ≈ 3.67375 |
||||
| 12-ścian ścięty |
truncated 12-hedron |
3-10 | arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ | arc cos (−φ/√3) ≈ 159°05′41″ |
19°24′ | 2π − arc cos (−√5/3) ≈ 3.87132 |
|||
| 10-10 | arc cos (−1/√5) ≈ 116°33′54″ | ||||||||
| 20-ścian ścięty |
truncated 20-hedron |
5-6 | arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ | 23°17′ | 2π − arc cos (−√5/5) ≈ 4.24874 |
||||
| 6-6 | arc cos (−√5/3) ≈ 138°11′23″ | ||||||||
| 20-12-ścian rombowy (mały) |
rhombi- 20-12-hedron |
3-4 | arc cos (−φ/√3) ≈ 159°05′41″ | 25°52′ | 2π − arc cos ((5−4√5)/15) ≈ 4.44631 |
||||
| 4-5 | arc cos (−1/ξ) ≈ 148°16′57″ | ||||||||
| 20-12-ścian rombowy wielki |
truncated 20-12-hedron |
4-6 | arc cos (−φ/√3) ≈ 159°05′41″ | 15°06′ | 2π − arc cos 0 = 1.5π | ||||
| 4-10 | arc cos (−1/ξ) ≈ 148°16′57″ | ||||||||
| 6-10 | arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ | ||||||||
| 12-ścian przycięty |
snub 12-hedron |
3-3 | arc cos (−(1 + 4s)/3) ≈ 164°10′31″ | arc cos (−s) ≈ 118°08′12″ |
26°49′ | 3 arc cos (−(1 + 4s)/3) + 2 arc cos p − 3π ≈ 4.50969 |
|||
| 3-5 | arc cos p ≈ 152°55′53″ | arc cos (−4s/√(10 − 2√5)) ≈ 143°20′58″ |
|||||||
| wielościany Catalana – Catalan polyhedra | |||||||||
| czworościan potrójny |
triakis tetrahedron |
arc cos (−7/11) ≈ 129°31′16″ | |||||||
| dwunastościan rombowy |
rhombic dodecahedron |
arc cos (−1/2) = 120° | |||||||
| ośmiościan potrójny |
(small) triakis octahedron |
arc cos (−(3 + 8√2)/17) ≈ 147°21′00″ | |||||||
| sześcian poczwórny |
tetrakis hexahedron |
arc cos (−4/5) ≈ 143°07′48″ | |||||||
| dwudziesto- czworościan deltoidalny |
deltoidal icositetrahedron |
arc cos (−(7 + 4√2)/17) ≈ 138°07′05″ | |||||||
| ośmiościan sześciokrotny |
disdyakis dodecahedron (hexakis octahedron) |
arc cos (−(71 + 12√2)/97) ≈ 155°04′56″ | |||||||
| dwudziesto- czworościan pięciokątny |
pentagonal icositetrahedron |
arc cos q ≈ 136°18′33″ | |||||||
| trzydziestościan rombowy |
rhombic triacontahedron |
arc cos (−φ/2) = arc cos (−(1 + √5)/4) = 144° | |||||||
| dwudziestościan potrójny |
triakis icosahedron |
arc cos (−3(8 + 5√5)/61) ≈ 160°36′45″ | |||||||
| dwunastościan pięciokrotny |
pentakis dodecahedron |
arc cos (−(80 + 9√5)/109) ≈ 156°43′07″ | |||||||
| sześćdziesięciościan deltoidalny |
deltoidal hexecontahedron |
arc cos (−(19 + 8√5)/41) ≈ 154°07′17″ | |||||||
| dwudziestościan sześciokrotny |
disdyakis triacontahedron |
arc cos (−(179 + 24√5)/241) ≈ 164°53′16″ | |||||||
| sześćdziesięciościan pięciokątny |
pentagonal hexecontahedron |
arc cos r ≈ 153°10′43″ | |||||||
Dokładne wartości kątów:
Kąty skręcenia
Dokładne długości promieni:
| promień sfery | stosunek | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| wpisanej | pośredniej | opisanej | dopisanej | ||||||||
| radius of | proportion | ||||||||||
| in- | mid- | circum- | ex- | ||||||||
| -sphere | |||||||||||
| r | ρ | R | r/ρ | r/R | ρ/r | ρ/R | R/r | R/ρ | |||
| 4-ścian | 4-hedron | 1/√24 = √6/12 ≈ 0.204124 |
1/√8 = √2/4 ≈ 0.353553 |
√6/4 ≈ 0.612372 |
1/√6 = √6/6 ≈ 0.408248 |
1/√3 = √3/3 ≈ 0.577350 |
1/3 = 0.333333 |
√3 ≈ 1.73205 |
1/√3 = √3/3 ≈ 0.577350 |
3 | √3 ≈ 1.73205 |
| sześcian | 6-hedron | 1/2 = 0.5 |
1/√2 = √2/2 ≈ 0.707107 |
√3/2 ≈ 0.866025 |
1/2 = 0.5 |
1/√2 = √2/2 ≈ 0.707107 |
1/√3 = √3/3 ≈ 0.577350 |
√2 ≈ 1.41421 |
√(2/3) = √6/3 ≈ 0.816497 |
√3 ≈ 1.73205 |
√(3/2) = √6/2 ≈ 1.22474 |
| 8-ścian | 8-hedron | 1/√6 = √6/6 ≈ 0.408248 |
1/2 = 0.5 |
1/√2 = √2/2 ≈ 0.707107 |
√(2/3) = √6/3 ≈ 0.816497 |
1/√3 = √3/3 ≈ 0.577350 |
√(3/2) = √6/2 ≈ 1.22474 |
1/√2 = √2/2 ≈ 0.707107 |
√3 ≈ 1.73205 |
√2 ≈ 1.41421 |
|
| 12-ścian | 12-hedron | φ2/(2ξ) = φ2/(2√(3 − φ)) = √(10 + 22/√5)/4 = √((25 + 11√5)/40) ≈ 1.11352 |
φ2/2 = (3 + √5)/4 ≈ 1.30902 |
(√3/2)φ = (√3/4)(1 + √5) ≈ 1.40126 |
1/ξ = √(φ/√5) = √((1 + φ2)/5) = √((5 + √5)/10) ≈ 0.850651 |
φ/(√3ξ) = √((5 + 2√5)/15) ≈ 0.794654 |
ξ = √((5 − √5)/2) ≈ 1.17557 |
φ/√3 = √((3 + √5)/6) ≈ 0.934172 |
√3ξ/φ = √(3(5 − 2√5)) ≈ 1.25841 |
√3/φ = √(3(3 − √5)/2) ≈ 1.07047 |
|
| 20-ścian | 20-hedron | φ2/(2√3) = (√3/12)(3 + √5) ≈ 0.755761 |
φ/2 = (1 + √5)/4 ≈ 0.809017 |
ξφ/2 = (√(φ√5))/2 = √(1 + φ2)/2 = (√2/4)√(5 + √5) ≈ 0.951057 |
1/(2√3φ2) = 1/((3 + √5)√3) ≈ 0.110264 |
φ/√3 = √((3 + √5)/6) ≈ 0.934172 |
φ/(√3ξ) = √((5 + 2√5)/15) ≈ 0.794654 |
√3/φ = √(3(3 − √5)/2) ≈ 1.07047 |
1/ξ = √(φ/√5) = √((1 + φ2)/5) = √((5 + √5)/10) ≈ 0.850651 |
√3ξ/φ = √(3(5 − 2√5)) ≈ 1.25841 |
ξ = √((5 − √5)/2) ≈ 1.17557 |
| promień sfery | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| pośredniej | opisanej | stycznej ze środkiem ścian | |||||||
| radius of | |||||||||
| mid- | circum- | the sphere tangent to the face centroid |
|||||||
| -sphere | |||||||||
| ρ | R | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | ||
| 4-ścian ścięty |
truncated 4-hedron |
3√2/4 ≈ 1.06066 |
√22/4 ≈ 1.17260 |
5√6/12 ≈ 1.02062 |
√6/4 ≈ 0.612372 |
||||
| 6-8-ścian | 6-8-hedron | √3/2 ≈ 0.866025 |
1 | √6/3 ≈ 0.816497 |
√2/2 ≈ 0.707107 |
||||
| 6-ścian ścięty |
truncated 6-hedron |
1 + √2/2 ≈ 1.70711 |
√(7 + 4√2)/2 ≈ 1.77882 |
(3√3 + 2√6)/6 = √3(3 + 2√2)/6 = √((17 + 12√2)/3)/2 ≈ 1.68252 |
(1 + √2)/2 ≈ 1.20711 |
||||
| 8-ścian ścięty |
truncated 8-hedron |
3/2 = 1.5 | √10/2 ≈ 1.58114 |
√2 ≈ 1.41421 |
√6/2 ≈ 1.22474 |
||||
| 6-8-ścian rombowy (mały) |
rhombi- 6-8-hedron |
√(2(2 + √2))/2 ≈ 1.30656 |
√(5 + 2√2)/2 ≈ 1.39897 |
(3√3 + √6)/6 = √3(3 + √2)/6 = √((11 + 6√2)/3)/2 ≈ 1.27427 |
(1 + √2)/2 ≈ 1.20711 |
||||
| 6-8-ścian rombowy wielki |
rhombi- truncated 6-8-hedron |
√(6(2 + √2))/2 ≈ 2.26303 |
√(13 + 6√2)/2 ≈ 2.31761 |
(3 + √2)/2 ≈ 2.20711 |
(√3 + √6)/2 = √3(1 + √2)/2 ≈ 2.09077 |
(1 + 2√2)/2 ≈ 1.91421 |
|||
| 6-ścian przycięty |
snub 6-hedron |
√(1/(4(2 − τ))) ≈ 1.24722 |
√((3 − τ)/(4(2 − τ))) ≈ 1.34371 |
√((τ + 1)/(12(2 − τ))) ≈ 1.21336 |
√((1 − τ)/(4(τ − 2))) ≈ 1.14261 |
||||
| 20-12-ścian | 20-12-hedron | √(5 + 2√5)/2 ≈ 1.53884 |
φ = (√5 + 1)/2 ≈ 1.61803 |
(3√3 + √15)/6 = √3(3 + √5)/6 = √((7 + 3√5)/6) ≈ 1.51152 |
√(5(5 + 2√5))/5 = √((5 + 2√5)/5) ≈ 1.37638 |
||||
| 12-ścian ścięty |
truncated 12-hedron |
(5 + 3√5)/4 ≈ 2.92705 |
√(2(37 + 15√5))/4 ≈ 2.96945 |
(9√3 + 5√15)/12 = √3(9 + 5√5)/12 ≈ 2.91278 |
√(2(25 + 11√5))/4 ≈ 2.48990 |
||||
| 20-ścian ścięty |
truncated 20-hedron |
3φ/2 = 3(1 + √5)/4 ≈ 2.42705 |
√(1 + 9φ2)/2 = √(10 + 9φ)/2 = √(2(29 + 9√5))/4 ≈ 2.47802 |
√(10(125 + 41√5))/20 = √((125 + 41√5)/10)/2 ≈ 2.32744 |
(3√3 + √15)/4 = √3(3 + √5)/4 = √(3(7 + 3√5)/2)/2 ≈ 2.26728 |
||||
| 20-12-ścian rombowy (mały) |
rhombi- 20-12-hedron |
√(2(5 + 2√5))/2 ≈ 2.17625 |
√(11 + 4√5)/2 ≈ 2.23295 |
(3√3 + 2√15)/6 ≈ 2.15702 |
(2 + √5)/2 ≈ 2.11803 |
3√(5(5 + 2√5))/10 ≈ 2.06457 |
|||
| 20-12-ścian rombowy wielki |
rhombi- truncated 20-12-hedron |
√(6(5 + 2√5))/2 ≈ 3.76938 |
√(31 + 12√5)/2 ≈ 3.80239 |
(3 + 2√5)/2 ≈ 3.73607 |
(2√3 + √15)/2 = √3(2 + √5)/2 ≈ 3.66854 |
√(5(5 + 2√5))/2 ≈ 3.44095 |
|||
| 12-ścian przycięty |
snub 12-hedron |
φ√(ψ(ψ + φ) + 1)/2 ≈ 2.09705 |
φ√(ψ(ψ + φ) + (3 − φ))/2 ≈ 2.15584 |
ψφ√(3(ψ(ψ + φ) + 1))/6 ≈ 2.07709 |
√(20(5(ψ + 1/ψ)(2φ + 1) + (11φ + 12)))/20 ≈ 1.98092 |
||||
Dokładne długości promieni:
Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.
| wielościany Catalana |
Catalan polyhedra |
promień sfery | promień wierzchołkowy | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| wpisanej | pośredniej | |||||
| radius of | vertex radius | |||||
| in- | mid- | |||||
| -sphere | ||||||
| r | ρ | n | ||||
| czworościan potrójny |
triakis tetrahedron |
9/(2√22) = 9√22/44 ≈ 0.959403 |
3√2/4 ≈ 1.06066 |
3 | 4 | 9√6/20 ≈ 1.10227 |
| 6 | 4 | 3√6/4 ≈ 1.83712 | ||||
| dwunastościan rombowy |
rhombic dodecahedron |
3/4 = 0.75 |
√3/2 ≈ 0.866025 |
3 | 8 | 3√6/8 ≈ 0.918559 |
| 4 | 6 | 3√2/4 ≈ 1.06066 | ||||
| ośmiościan potrójny |
(small) triakis octahedron |
√((23 + 16√2)/17) = √(17(23 + 16√2))/17 = (5 + 2√2)√(7 + 4√2)/17 ≈ 1.63828 |
1 + √2/2 ≈ 1.70711 |
3 | 8 | √3 ≈ 1.73205 |
| 8 | 6 | 1 + √2 ≈ 2.41421 | ||||
| sześcian poczwórny |
tetrakis hexahedron |
9/(2√10) = 9√10/20 ≈ 1.42302 |
3/2 = 1.5 | 4 | 6 | 9√2/8 ≈ 1.59099 |
| 6 | 8 | 3√6/4 ≈ 1.83711 | ||||
| dwudziesto- czworościan deltoidalny |
deltoidal icositetrahedron |
√(2(7 + 4√2)/17) = √(34(7 + 4√2))/17 = (6 + √2)√(5 + 2√2)/17 ≈ 1.22026 |
√(2(2 + √2))/2 ≈ 1.30656 |
3 | 8 | (4√3 + √6)/7 = √3(4 + √2)/7 ≈ 1.33967 |
| 4 | 18 | √2 ≈ 1.41421 | ||||
| ośmiościan sześciokrotny |
disdyakis dodecahedron (hexakis octahedron) |
3√(2(15 + 8√2)/97) = √(1746(15 + 8√2))/97 = 3(14 + √2)√(13 + 6√2)/97 ≈ 2.20974 |
√(6(2 + √2))/2 ≈ 2.26303 |
4 | 12 | 3(4 + √2)/7 ≈ 2.32038 |
| 6 | 8 | √6 ≈ 2.44949 | ||||
| 8 | 6 | 3(2 + 3√2)/7 ≈ 2.67542 | ||||
| dwudziesto- czworościan pięciokątny |
pentagonal icositetrahedron |
p ≈ 1.15766 |
1/(2√(1 − 2t)) = √(1/(4(2 − τ))) ≈ 1.24722 |
3 | 32 | √(2(6 + ∛(6(9 + √(33))) + ∛(6(9−√(33)))))/4 ≈ 1.28204 |
| 4 | 6 | √(6(14 + ∛(2(1777 + 33√(33))) + ∛(2(1777−33√(33)))))/12 ≈ 1.36141 | ||||
| trzydziestościan rombowy |
rhombic triacontahedron |
(5 + 3√5)/8 ≈ 1.46353 |
√(5 + 2√5)/2 ≈ 1.53884 |
3 | 20 | (5√3 + √15)/8 = √3(5 + √5)/8 ≈ 1.56665 |
| 5 | 12 | √(5(5 + 2√5))/4 ≈ 1.72048 | ||||
| dwudziestościan potrójny |
triakis icosahedron |
5√((41 + 18√5)/61)/2 = 5√(61(41 + 18√5))/122 ≈ 2.88526 |
(5 + 3√5)/4 ≈ 2.92705 |
3 | 20 | 5(3√3 + 2√15)/22 = 5√3(3 + 2√5)/22 ≈ 2.94139 |
| 10 | 12 | √(5(5 + 2√5))/2 ≈ 3.44095 | ||||
| dwunastościan pięciokrotny |
pentakis dodecahedron |
9√((17 + 6√5)/109)/2 = 9√(109(17 + 6√5))/218 ≈ 2.37713 |
3φ/2 = 3(1 + √5)/4 ≈ 2.42705 |
5 | 12 | 9√(65 + 22√5)/38 ≈ 2.53093 |
| 6 | 20 | 3√3/2 ≈ 2.59808 | ||||
| sześćdziesięciościan deltoidalny |
deltoidal hexecontahedron |
√(205(19 + 8√5))/41 = √(5(19 + 8√5)/41) = (15 + 2√5)√(11 + 4√5)/41 ≈ 2.12099 |
√(2(5 + 2√5))/2 = √(10 + 4√5)/2 ≈ 2.17625 |
3 | 20 | (5√3 + 4√15)/11 ≈ 2.19565 |
| 4 | 30 | √5 ≈ 2.23607 | ||||
| 5 | 12 | √(5(5 + 2√5))/3 ≈ 2.29397 | ||||
| dwudziestościan sześciokrotny |
disdyakis triacontahedron |
3√(5(39 + 16√5)/241) = √(10845(39 + 16√5))/241 ≈ 3.73665 |
√(6(5 + 2√5))/2 ≈ 3.76938 |
4 | 30 | 3(5 + 4√5)/11 ≈ 3.80298 |
| 6 | 20 | √15 ≈ 3.87298 | ||||
| 10 | 12 | 3√(5(5 + 2√5))/5 ≈ 4.12915 | ||||
| sześćdziesięciościan pięciokątny |
pentagonal hexecontahedron |
q ≈ 2.03969 | φ√(ψ(ψ + φ) + 1)/2 ≈ 2.09705 |
3 | 80 | √(3(xφ + φ + 1 + (1/x)))/2 ≈ 2.11722 |
| 5 | 12 | √((x2)(1067φ + 1009) + x(2259φ + 1168) + (941φ + 1097))/62 ≈ 2.22000 | ||||
Dokładne długości promieni:
| przekątna | wys. | k-k | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ściany | bryły | |||||||||
| face | space | height | e2e | |||||||
| diagonal | ||||||||||
| 1 | 2 | 3 | ||||||||
| n | n | n | ||||||||
| 4-ścian | 4-hedron | — | — | — | — | — | — | — | √(2/3) = √6/3 ≈ 0.816497 |
1/√2 = √2/2 ≈ 0.707107 |
| sześcian | 6-hedron | √2 ≈ 1.41421 |
√3 ≈ 1.73205 |
4 | — | — | — | — | 1 | √2 ≈ 1.41421 |
| 8-ścian | 8-hedron | — | √2 ≈ 1.41421 |
3 | — | — | — | — | ||
| 12-ścian | 12-hedron | φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.61803 |
√3φ = (√3/2)(1 + √5) ≈ 2.80252 |
10 | φ2 = (3 + √5)/2 ≈ 2.61803 |
30 | √2φ = (√2/2)(1 + √5) ≈ 2.28825 |
60 | ||
| 20-ścian | 20-hedron | — | √(1 + φ2) = (√2/2)√(5 + √5) ≈ 1.90211 |
6 | φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.61803 |
30 | — | — | ||
| powierzchnia | objętość | |||
|---|---|---|---|---|
| ściany | całk. | |||
| face | surface | volume | ||
| area | ||||
| a2 | a2 | a3 | ||
| wielościany – polyhedra (v − e + f = 2) | ||||
| foremne – regular | ||||
| czworościan foremny | 4-hedron | √3/4 ≈ 0.433013 | √3 ≈ 1.73205 | √2/12 ≈ 0.117851 |
| sześcian | 6-hedron | 1 | 6 | 1 |
| ośmiościan foremny | 8-hedron | √3/4 ≈ 0.433013 | 2√3 ≈ 3.46410 | √2/3 ≈ 0.471405 |
| dwunastościan foremny | 12-hedron | (5φ)/(4ξ) = √(2 + φ)3/4 = √(25 + 10√5)/4 = √(5(5 + 2√5))/4 ≈ 1.72048 |
15φ/ξ = 3√(2 + φ)3 = 3√(25 + 10√5) = 3√(5(5 + 2√5)) ≈ 20.6457 |
(5φ3)/(2ξ2) = (7φ + 4)/2 = (15 + 7√5)/4 ≈ 7.66312 |
| dwudziestościan foremny | 20-hedron | √3/4 ≈ 0.433013 | 5√3 ≈ 8.66025 | 5φ2/6 = 5(3 + √5)/12 ≈ 2.18169 |
| półforemne – semiregular | ||||
| 4-ścian ścięty | truncated 4-hedron | 7√3 ≈ 12.1244 | 23√2/12 ≈ 2.71058 | |
| 6-8-ścian | 6-8-hedron | 6 + 2√3 = 2(3 + √3) ≈ 9.46410 | 5√2/3 ≈ 2.35702 | |
| 6-ścian ścięty | truncated 6-hedron | 2(6 + 6√2 + √3) ≈ 32.4347 | (21 + 14√2)/3 = 7(3 + 2√2)/3 ≈ 13.5997 | |
| 8-ścian ścięty | truncated 8-hedron | 6 + 12√3 = 6(1 + 2√3) ≈ 26.7846 | 8√2 ≈ 11.3137 | |
| 6-8-ścian rombowy (mały) | rhombi-6-8-hedron | 18 + 2√3 = 2(9 + √3) ≈ 21.4641 | (12 + 10√2)/3 = 2(6 + 5√2)/3 ≈ 8.71405 | |
| 6-8-ścian rombowy wielki | rhombitruncated 6-8-hedron |
12(2 + √2 + √3) ≈ 61.7552 | 22 + 14√2 ≈ 41.7990 | |
| 6-ścian przycięty | snub 6-hedron | 2(3 + 4√3) ≈ 19.8564 | (3√(2t) + 4√(2 + 2t))/(3√(1 − 2t)) = √((613τ + 203)/(9(35τ − 62))) ≈ 7.88948 |
|
| 20-12-ścian | 20-12-hedron | 5√3 + 3√(5(5 + 2√5)) ≈ 29.3060 | (45 + 17√5)/6 ≈ 13.8355 | |
| 12-ścian ścięty | truncated 12-hedron | 5(√3 + 6√(5 + 2√5)) ≈ 100.991 | 5(99 + 47√5)/12 ≈ 85.0397 | |
| 20-ścian ścięty | truncated 20-hedron | 3(10√3 + √(5(5 + 2√5))) ≈ 72.6073 | (125 + 43√5)/4 ≈ 55.2877 | |
| 20-12-ścian rombowy (mały) | rhomb-20-12-hedron | 30 + 5√3 + 3√(5(5 + 2√5)) ≈ 59.3060 | (60 + 29√5)/3 ≈ 41.6153 | |
| 20-12-ścian rombowy wielki | rhombitruncated 20-12-hedron |
30(1 + √3 + √(5 + 2√5)) ≈ 174.292 | 5(19 + 10√5) ≈ 206.803 | |
| 12-ścian przycięty | snub 12-hedron | 20√3 + 3√(25 + 10√5) ≈ 55.2867 | (12ψ2(3φ + 1) − ψ(36φ + 7) − (53φ + 6))/η ≈ 37.6166 | |
Dokładne wartości objętości:
Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.
| wielościany Catalana |
Catalan polyhedra |
objętość |
|---|---|---|
| czworościan potrójny |
triakis tetrahedron |
81√2/20 ≈ 5.72756 |
| dwunastościan rombowy |
rhombic dodecahedron |
27√2/16 ≈ 2.38649 |
| ośmiościan potrójny |
(small) triakis octahedron |
4(3 + 2√2) ≈ 23.3137 |
| sześcian poczwórny |
tetrakis hexahedron |
81√2/8 ≈ 14.3189 |
| dwudziesto- czworościan deltoidalny |
deltoidal icositetrahedron |
16(1 + 2√2)/7 ≈ 8.75069 |
| ośmiościan sześciokrotny |
disdyakis dodecahedron (hexakis octahedron) |
144(1 + √2)/7 ≈ 49.6638 |
| dwudziesto- czworościan pięciokątny |
pentagonal icositetrahedron |
√(6(113 + ∛(1327067 + 1419√33) + ∛(1327067−1419√33)))/6 ≈ 7.44740 |
| trzydziestościan rombowy |
rhombic triacontahedron |
25(5 + 2√5)/16 ≈ 14.8002 |
| dwudziestościan potrójny |
triakis icosahedron |
125(19 + 9√5)/44 ≈ 111.149 |
| dwunastościan pięciokrotny |
pentakis dodecahedron |
405(9 + √5)/76 ≈ 59.8764 |
| sześćdziesięciościan deltoidalny |
deltoidal hexecontahedron |
100(5 + 4√5)/33 ≈ 42.2554 |
| dwudziestościan sześciokrotny |
disdyakis triacontahedron |
180(5 + 4√5)/11 ≈ 228.179 |
| sześćdziesięciościan pięciokątny |
pentagonal hexecontahedron |
5√(x(x2(11405φ + 287) + x(14528φ + 8265) + (2363φ + 13146)))/62 ≈ 37.5884 |
| wielokomórki – polychora (v − e + f − c = 0) | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-komórka | 5-cell | |||||||||||||||
| 8-komórka | 8-cell | |||||||||||||||
| 16-komórka | 16-cell | |||||||||||||||
| 24-komórka | 24-cell | |||||||||||||||
| 120-komórka | 120-cell | |||||||||||||||
| 600-komórka | 600-cell | |||||||||||||||
| α | 0° | 15° | 18° | 22.5° | 30° | 36° | 45° | α | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | π/12 | π/10 | π/8 | π/6 | π/5 | π/4 | ||||
| sin α | 0 | (√6 − √2)/4 | 1/(2φ) | (√5 − 1)/4 | √(2 − √2)/2 | 1/2 | ξ/2 | √((5 − √5)/8) | 1/√2 | cos β |
| √(10 − 2√5)/4 | √2/2 | |||||||||
| 0.258819 | 0.309017 | 0.382683 | 0.5 | 0.587785 | 0.707107 | |||||
| cos α | 1 | (√6 + √2)/4 | √5/(2ξ) | √((5 + √5)/8) | √(2 + √2)/2 | √3/2 | φ/2 | (√5 + 1)/4 | 1/√2 | sin β |
| √(10 + 2√5)/4 | √2/2 | |||||||||
| 0.965926 | 0.951057 | 0.923880 | 0.866025 | 0.809017 | 0.707107 | |||||
| tg α | 0 | 2 − √3 | ξ/(√5φ) | √(1 − 2/√5) | √2 − 1 | 1/√3 | ξ/φ | √(5 − 2√5) | 1 | ctg β |
| (√5ξ)/(5φ) | √(25 − 10√5)/5 | √3/3 | ||||||||
| 0.267949 | 0.324920 | 0.414214 | 0.577350 | 0.726543 | ||||||
| ctg α | | | 2 + √3 | √5φ/ξ | √(5 + 2√5) | √2 + 1 | √3 | φ/ξ | √(1 + 2/√5) | 1 | tg β |
| √(25 + 10√5)/5 | ||||||||||
| 3.73205 | 3.07768 | 2.41421 | 1.73205 | 1.37638 | ||||||
| sec α | 1 | √6 − √2 | 2ξ/√5 | √(2 − 2/√5) | √(2(2 − √2)) | 2√3/3 | 2/φ | √5 − 1 | √2 | csc β |
| 2√5ξ/5 | √(50 − 10√5)/5 | |||||||||
| 1.03528 | 1.05146 | 1.08239 | 1.15470 | 1.23607 | 1.41421 | |||||
| csc α | | | √6 + √2 | 2φ | √5 + 1 | √(2(2 + √2)) | 2 | 2/ξ | √(2 + 2/√5) | √2 | sec β |
| √(50 + 10√5)/5 | ||||||||||
| 3.86370 | 3.23607 | 2.61313 | 1.70130 | 1.41421 | ||||||
| β | 90° | 75° | 72° | 67.5° | 60° | 54° | 45° | β | ||
| π/2 | 5π/12 | 2π/5 | 3π/8 | π/3 | 3π/10 | π/4 | ||||
| α | 0° | 11.5370° | 14.0362° | 14.4775° | 18.4349° | 19.4712° | 20.9052° | 23.5782° | 26.5651° | 30° | α | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11°32′13″ | 14°02′10″ | 14°28′39″ | 18°26′06″ | 19°28′16″ | 20°54′19″ | 23°34′41″ | 26°33′54″ | |||||
| sin α | 0 | 1/5 | √17/17 | 1/4 | √10/10 | 1/3 | 1/(√3φ) | √3(√5 − 1)/6 | 2/5 | √5/5 | 1/2 | cos β |
| 0.2 | 0.242536 | 0.25 | 0.316228 | 0.333333 | 0.356822 | 0.4 | 0.447214 | 0.5 | ||||
| cos α | 1 | 2√6/5 | 4√17/17 | √15/4 | 3√10/10 | 2√2/3 | φ/√3 | √3(√5 + 1)/6 | √21/5 | 2√5/5 | √3/2 | sin β |
| 0.979796 | 0.970143 | 0.968246 | 0.948683 | 0.942809 | 0.934172 | 0.916515 | 0.894427 | 0.866025 | ||||
| tg α | 0 | √6/12 | 1/4 | √15/15 | 1/3 | √2/4 | 1/φ2 | (3 − √5)/2 | 2√21/21 | 1/2 | √3/3 | ctg β |
| 0.204124 | 0.25 | 0.258199 | 0.333333 | 0.353553 | 0.381966 | 0.436436 | 0.5 | 0.577350 | ||||
| ctg α | | | 2√6 | 4 | √15 | 3 | 2√2 | φ2 | (3 + √5)/2 | √21/2 | 2 | √3 | tg β |
| 4.89898 | 4 | 3.87298 | 3 | 2.82843 | 2.61803 | 2.29129 | 2 | 1.73205 | ||||
| sec α | 1 | 5√6/12 | √17/4 | 4√15/15 | √10/3 | 3√2/4 | √3/φ | √3(√5 − 1)/2 | 5√21/21 | √5/2 | 2√3/3 | csc β |
| 1.02062 | 1.03078 | 1.03280 | 1.05409 | 1.06066 | 1.07047 | 1.09109 | 1.11803 | 1.15470 | ||||
| csc α | | | 5 | √17 | 4 | √10 | 3 | √3φ | √3(√5 + 1)/2 | 5/2 | √5 | 2 | sec β |
| 5 | 4.12311 | 4 | 3.16228 | 3 | 2.80252 | 2.5 | 2.23607 | 2 | ||||
| β | 90° | 78.4630° | 75.9638° | 75.5225° | 71.5651° | 70.5288° | 69.0948° | 66.4218° | 63.4349° | 60° | β | |
| 78°27′47″ | 75°57′50″ | 75°31′21″ | 71°33′54″ | 70°31′44″ | 69°05′41″ | 66°25′19″ | 63°26′06″ | |||||
| α | 30° | 31.7175° | 33.6901° | 35.2644° | 36.8699° | 37.3774° | 40.8934° | 41.4096° | 41.8103° | 45° | α | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 31°43′03″ | 33°69′01″ | 35°15′52″ | 36°52′12″ | 37°22′39″ | 40°53′36″ | 41°24′35″ | 41°48′37″ | ||||||
| sin α | 1/2 | ξ/√5 | √((5 − √5)/10) | 2√13/13 | √3/3 | 3/5 | 2/(√3ξφ) | √(2(5 − √5)/15) | √21/7 | √7/4 | 2/3 | √2/2 | cos β |
| 0.5 | 0.525731 | 0.554700 | 0.577350 | 0.6 | 0.607062 | 0.654654 | 0.661438 | 0.666667 | 0.707107 | ||||
| cos α | √3/2 | 1/ξ | √((5 + √5)/10) | 3√13/13 | √6/3 | 4/5 | φ/(√3ξ) | √((5 + 2√5)/15) | 2√7/7 | 3/4 | √5/3 | √2/2 | sin β |
| 0.866025 | 0.850651 | 0.832050 | 0.816497 | 0.8 | 0.794654 | 0.755929 | 0.75 | 0.745356 | 0.707107 | ||||
| tg α | √3/3 | 1/φ | (√5 − 1)/2 | 2/3 | √2/2 | 3/4 | 2/φ2 | 3 − √5 | √3/2 | √7/3 | 2√5/5 | 1 | ctg β |
| 0.577350 | 0.618034 | 0.666667 | 0.707107 | 0.75 | 0.763932 | 0.866025 | 0.881917 | 0.894427 | |||||
| ctg α | √3 | φ | (√5 + 1)/2 | 3/2 | √2 | 4/3 | φ2/2 | (3 + √5)/4 | 2√3/3 | 3√7/7 | √5/2 | 1 | tg β |
| 1.73205 | 1.61803 | 1.5 | 1.41421 | 1.33333 | 1.30902 | 1.15470 | 1.13389 | 1.11803 | |||||
| sec α | 2√3/3 | ξ | √((5 − √5)/2) | √13/3 | √6/2 | 5/4 | √3ξ/φ | √(3(5 − 2√5)) | √7/2 | 4/3 | 3√5/5 | √2 | csc β |
| 1.15470 | 1.17557 | 1.20185 | 1.22474 | 1.25 | 1.25841 | 1.32288 | 1.33333 | 1.34164 | 1.41421 | ||||
| csc α | 2 | √5/ξ | √((5 + √5)/2) | √13/2 | √3 | 5/3 | √3ξφ/2 | √(3(5 + √5)/8) | √21/3 | 4√7/7 | 3/2 | √2 | sec β |
| 2 | 1.90211 | 1.80278 | 1.73205 | 1.66667 | 1.64728 | 1.52753 | 1.51186 | 1.5 | 1.41421 | ||||
| β | 60° | 58.2825° | 56.3099° | 54.7356° | 53.1301° | 52.6226° | 49.1066° | 48.5904° | 48.1897° | 45° | β | ||
| 58°16′57″ | 56°18′36″ | 54°44′08″ | 53°07′48″ | 52°37′21″ | 49°06′24″ | 48°35′25″ | 48°11′23″ | ||||||
Zob. także / See also Wielościany Platona / Platonic Solids • Wielościany Archimedesa / Archimedean Solids • Wielościany Catalana / Catalan Solids
P – permutacje
P+ – permutacje parzyste
P* – permutacje parzyste z parzystą permutacją znaków
Px – parzyste permutacje z parzystą ilością plusów oraz nieparzyste permutacje z nieparzystą ilością plusów
φ = (1 + √5)/2 = 2 cos π/5 ≈ 1.61803
ξ = √((5 − √5)/2) = 2 sin π/5 = √(√5/φ) ≈ 1.17557
ψ = ∛((φ + √(φ − 5/27))/2) + ∛((φ − √(φ − 5/27))/2) ≈ 1.71556
A1 = √((4 − B1 + B2)/3) ≈ 0.675508
A2 = √((2 + B1 − B2)/3) ≈ 1.24245
A3 = √((4 + B3 + B4)/3) ≈ 2.28523
B1 = ∛(17 + 3√33) ≈ 3.24702
B2 = ∛(−17 + 3√33) ≈ 0.615950
B3 = ∛(199 + 3√33) ≈ 6.00216
B4 = ∛(199 − 3√33) ≈ 5.66462
C0 = φ√(3 − ψ2) ≈ 0.385787
C1 = ψφ√(3 − ψ2) ≈ 0.661842
C2 = φ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 0.749643
C3 = ψ2φ√(3 − ψ2) ≈ 1.13543
C4 = ψφ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 1.28606
C5 = φ√(1 − ψ + (φ + 1)/ψ) ≈ 1.45667
C6 = φ√(ψ − φ + 1) ≈ 1.69510
C7 = ψ2φ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 2.20631
C8 = ψφ√(1 − ψ + (φ + 1)/ψ) ≈ 2.49901
C9 = √((ψ + 2)φ + 2) ≈ 2.83053
C10 = ψ√(ψ(φ + 1) − φ) ≈ 2.90805
C11 = √(ψ2(2φ + 1) − φ) ≈ 3.29384
C12 = φ√(ψ2 + ψ) ≈ 3.49237
C13 = φ2√(ψ(ψ + φ) + 1)/ψ ≈ 3.95568
C14 = φ√(ψ(ψ + φ) + 1) ≈ 4.19411
α = ψ − 1/ψ ≈ 1.13266
β = ψφ + φ2 + φ/ψ ≈ 6.33702
η = 6√(3 − ψ2)3 ≈ 0.0813266
p = ((1 − 2s)√(5 + 2√5) − 2√((1 + s)(5s + (2s − 1)√5)))/√15 ≈ −0.890451
s = (∛(44 + 12φ(9 + √(81φ − 15))) + ∛(44 + 12φ(9 − √(81φ − 15))) − 4)/12 ≈ 0.471576 {rzeczywiste rozwiązanie równiania 8s3 + 8s2 − φ2 = 0}
τ = (∛(19 + 3√33) + ∛(19 − 3√33) + 1)/3 ≈ 1.83929 {stała „Tribonacciego” – the “Tribonacci” constant; rzeczywiste rozwiązanie równań τ3 − τ2 − τ − 1 = 0, (τ + 1)(τ − 1)2 = 2 oraz τ + 1/τ3 = 2}
t = (∛(19 + 3√33) + ∛(19 − 3√33) − 2)/6 = (τ − 1)/2 ≈ 0.419643 {rzeczywiste rozwiązanie równiania 4t3 + 4t2 − 1 = 0}
v = 1/τ = (B1 − B2 − 1)/3 ≈ 0.543689
w = √(4/3 − 32/(6 ∛2x) + (6 ∛2x)/9) ≈ 1.60972
x = ∛(13 + 3√33) ≈ 3.11528
Skróty: