Zadanie maturalne z geometrii analitycznej: znajdowanie trzeciego wierzchołka kwadratu
Wersja z 2015-04-04
W zadaniach z prędkości występujących na maturze spotykamy się najczęściej z ruchem jednostajnym prostoliniowym. Osobom niezbyt przekonanym do matematyki zadania te wydają się przerażające. Dzieje się tak dlatego, że nie da się ich zwykle rozwiązać w pamięci – zamiast tego trzeba naszą pracę zaplanować i podzielić na etapy. Choć zadanie może wyglądać okropnie, to jednak każdy z etapów może okazać się całkiem prosty. Inaczej mówiąc, zadań tego typu (ani zresztą żadnych innych) nie rozwiązujemy „na hurra”, ale posługujemy się właściwą metodą i analitycznymi umiejętnościami naszego umysłu.
Jeszcze przed przystąpieniem do rozwiązania zadania należy przypomnieć sobie z fizyki elementarnej wzór na drogę w takim ruchu:
| s = v · t |
|---|
gdzie s – droga, v – prędkość, t – czas. Jeśli nie uda nam się przypomnieć, która litera co oznacza lub która litera stoi na jakim miejscu, możemy także skojarzyć, że w życiu codziennym prędkość mierzymy w kilometrach na godzinę: `[text{km}/text{h}]`. W liczniku tej jednostki występują kilometry, którymi mierzymy drogę. W mianowniku występują godziny, w których mierzymy czas. Na tej podstawie możemy odtworzyć wzór: prędkość (v) równa jest drodze (s) podzielonej przez czas (t), czyli:
`text{prędkość}=text{droga}/text{czas}`
co zapisujemy symbolicznie:
`v=s/t`
Wzór w tej postaci zawiera ułamek, dlatego nie jest najwygodniejszy w obliczeniach. Wystarczy jednak obie strony pomnożyć przez mianownik (t):
`v=s/t` |`*t`
`vt=s`
i zmienić strony miejscami:
`s=vt`
by otrzymać wzór pozbawiony ułamków i identyczny z podanym na początku.
Ostatnio w niektórych szkolnych podręcznikach fizyki przyjęto dziwaczną konwencję nazewniczą, w której prędkość i szybkość oznaczają różne pojęcia. Jest to niezgodne zarówno z tradycją, jak i zdrowym rozsądkiem, a do tego nie jest zalecane przez fizyków. Odróżnianie szybkości od prędkości stanowi przykład bezmyślnego snobizmu – zrzynania pojęciowych absurdów od Amerykanów. Więcej na ten temat w słowniku poprawnej polszczyzny.
Rozwiązując takie zadanie, powinniśmy zrobić założenie, że `t!=0`. Biorąc jednak pod uwagę treść zadania, nie jest ono niezbędne. Wiemy przecież, że każda zmiana wymaga czasu, który, mówiąc językiem matematyki, musi być liczbą dodatnią. Na podobnej zasadzie będziemy też rozpatrywać wyłącznie dodatnie wartości prędkości i drogi (chyba że spotkamy się z sytuacją, gdy ciało spoczywa). W szczególności odrzucać będziemy ujemne wyniki, które będą pojawiać się w obliczeniach.
Po przypomnieniu sobie wzoru możemy przystąpić do analizy zadania. W zadaniach opisane są zwykle dwie sytuacje, na przykład rzeczywista (jak jest) i hipotetyczna (jak by mogło być). Zamiast tego mogą wystąpić dwa pojazdy pokonujące pewną drogę. Dane występujące w zadaniu najlepiej zebrać w tabelce takiej jak poniższa:
| droga | prędkość | czas | równanie | |
|---|---|---|---|---|
| sytuacja I | s1 | v1 | t1 | s1 = v1 · t1 |
| sytuacja II | s2 | v2 | t2 | s2 = v2 · t2 |
Zamiast oznaczeń s1, s2 itd. wpisujemy dane zadania. Nie musimy wpisywać jednostek, jeśli są takie same. Jeśli nie są, wpisujemy je i odpowiednio zamieniamy. Jeśli dana wartość jest szukana, możemy użyć liter x, y (wyjątkowo z, w, jeśli jest więcej szukanych). Natomiast jeśli wartość jest nieznana, ale nieistotna, możemy użyć też liter s, v, t często bez cyfrowych indeksów, zwłaszcza jeśli wiemy, że w drugiej sytuacji np. prędkość jest większa o podaną ilość kilometrów na godzinę. Taka praktyka nie jest konieczna, ale ułatwia rozwiązanie zadania.
Przy odrobinie praktyki równań nie musimy wypisywać w tabelce. Jednak zawsze po wypełnieniu tabelki tworzymy układ równań:
`{(s_1=v_1*t_1),(s_2=v_2*t_2):}`
Ostatni etap naszej pracy polegać będzie na rozwiązaniu tego układu i udzieleniu odpowiedzi na pytanie, które zadał nam autor zadania. Pamiętajmy, by w pierwszym kroku wyeliminować wartości nieistotne (oznaczone s, v, t).
Uwaga: za pełne rozwiązanie zadania tego typu otrzymujemy kilka punktów. Jednak już za samo wypisanie danych, na przykład w tabelce takiej jak podana wyżej, możemy otrzymać jakiś punkt. Zadań tego typu nie należy się bać, trzeba próbować zrobić tyle z podanych etapów, ile się uda.
Jak zrobić to w praktyce? Najlepiej przeanalizować krok po kroku podane rozwiązania zadań.
Nieco innym typem zadań są takie, w których trzeba wykonać jakieś zadanie (np. napełnić basen wodą lub przewieźć turystów w określone miejsce), przy czym mogą to zrobić różne osoby, pracujące z różną wydajnością, lub też można to zrobić przy pomocy różnych narzędzi. Rozważamy przy tym także sytuacje, gdy dwie lub więcej osób pracuje jednocześnie, lub też w użyciu jest więcej iż jedno narzędzie.
Przykłady takich problemów znajdziemy np. w zadaniach 7–14 (ale też w innych). Tu rozpatrzymy zadania sformułowane bardziej ogólnie, bez konkretnych danych liczbowych.
Do rozwiązania tych zadań można się posłużyć nieco zmodyfikowanym schematem opartym o równanie drogi w ruchu jednostajnym prostoliniowym, omówionym wyżej. Modyfikacja polega na tym, że odpowiednikiem drogi s staje się całkowita praca do wykonania, a odpowiednikiem prędkości staje się norma czyli ilość pracy wykonanej w jednostce czasu. Można tez rozumieć normę jako odwrotność czasu wykonania całej pracy. Normy różnych osób czy narzędzi pracy możemy dodawać, co pomaga w znalezieniu rozwiązania.
Czy problemy takie jak plewienie ogródka czy malowanie pokoju lub domu przez osoby pracujące z różną szybkością również dadzą się jakoś powiązać z równaniem drogi w ruchu jednostajnym prostoliniowym s = v · t? Co jest w nich odpowiednikiem drogi s? Zwróćmy uwagę, że przebycie całej drogi s jest celem podróży, podobnie jak napełnienie całej objętości basenu V jest celem nalewania wody (stąd równanie V = k · t, gdzie k jest wydajnością kranu), i podobnie jak celem przedsiębiorstwa transportowego jest przewóz n osób środkami transportu o zdolności przewozowej p zgodnie z równaniem n = p · t. W zadaniach, w których celem jest wykonanie całości określonej pracy (pomalowanie domu, wyplewienie ogródka) nie mamy podanej wartości liczbowej związanej z całością tej pracy (nie wiemy, ile metrów kwadratowych ma ogródek, ani jaka jest powierzchnia ścian do pomalowania), dlatego posługujemy się tu pojęciami całość pracy i część pracy. Liczbowo całość to 1, część to określony ułamek właściwy. Równanie, z którego korzystamy, ma tu więc postać 1 = n · t, gdzie n oznacza normę, czyli wyraża, jaką część całej pracy zdolna jest wykonać dana osoba w jednostce czasu.
W zadaniu podane mamy zwykle czasy wykonania całego zadania przez poszczególne osoby `t_1`, `t_2`, itd. Z podanego równania wyliczamy normy tych osób, np. `n_1 = 1/t_1`, `n_2 = 1/t_2`, itd. Jeśli pracują jednocześnie dwie osoby, np. pierwsza i druga, wówczas równanie przybiera postać `1 = (n_1 + n_2) * t_(1+2)`; mając wyliczone wcześniej normy, z równania tego wyliczymy czas wykonania zadania przez te dwie osoby jednocześnie. Analogicznie postępujemy w wypadku trzech osób.
Postać taką, jak zadania grupy trzeciej (z normami), mogą przyjąć także zadania dotyczące napełniania basenu, wykopywania rowów lub przewozu osób, jeśli nie podano w nich, jaka jest pojemność do napełnienia czy liczba osób do przewiezienia, a jedynie to, ile litrów wody może przepłynąć przez kran w ciągu minuty, lub ilu pasażerów można przewieźć dostępnym środkiem transportu w ciągu godziny. Wówczas także przyjmujemy, że wartość odpowiadająca drodze w równaniu ruch wynosi u nas 1.
Np. Jak długo trzeba wykopywać rów przy użyciu dwóch koparek, jeśli wiadomo, że przy użyciu tylko większej z nich zajęłoby to 24 godziny, a przy użyciu mniejszej 40 godzin? Norma godzinowa większej koparki w tej sytuacji to `1/24` (taką część całej pracy wykona większa koparka w ciągu jednej godziny), a norma mniejszej to `1/40`. Gdy będą pracować obie, norma wyniesie `1/24 + 1/40 = 5/120 + 3/120 = 8/120 = 4/60 = 2/30 = 1/15`. Gdy będą pracować razem, koparki w ciągu godziny wykonają `1/15` pracy. Zatem cały rów zostanie wykopany w ciągu `15` godzin.
Zadania z prędkością średnią stwarzają różne pułapki rozwiązującym. Aby zobrazować te zagrożenia, rozwiążmy następujące zadanie. Samochód przejechał połowę trasy z prędkością 80 km/h, potem jednak kierowca wjechał na autostradę i zwiększył prędkość do 120 km/h. Jaka była prędkość średnia samochodu na całej trasie?
Z pozoru wydawałoby się oczywiste, że średnia prędkość na całej trasie wyniosła 100 km/h, bo przecież `(120 + 80)/2 = 200/2 = 100`. Okazuje się jednak, że średnia prędkość nie zawsze oznacza średnią arytmetyczną! I tak dokonane obliczenie jest niestety niepoprawne…
Najpierw przekonajmy się, że wynik rzeczywiście jest zły. Pamiętamy równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego `s = v*t`, z którego łatwo ustalić wzór na prędkość: `v = s/t`. Przypuśćmy teraz, że cała droga, którą przejechał kierowca, miała długość 160 km. Połowę, czyli 80 km, kierowca przejechał z prędkością 80 km/h, co zajęło mu oczywiście 1 godzinę. Drugą połowę, czyli pozostałe 80 km, kierowca przejechał z prędkością 120 km/h. Ile czasu zajął przejazd? Podstawmy dane do równania ruchu: `80 = 120*t`. Stąd `t = 80/120 = 8/12 = 4/6 = 2/3`godziny, czyli `40` minut. Obliczmy teraz średnią prędkość na całej trasie. Cała droga miała długość 160 km, a cały czas podróży to 1 godzina i 40 minut czyli `1 2/3 = 5/3` godziny. Podstawmy to do wzoru `v = s/t = 160/(5/3) = 160*3/5 = 32*3 = 96` km/h. Jak więc widać, wynik 100 km/h był naprawdę niepoprawny.
Rozważmy teraz przypadek ogólny: przez połowę drogi kierowca poruszał się z prędkością v1, przez drugą połowę z prędkością v2. Mamy więc `s/2 = v_1*t_1` oraz `s/2 = v_2*t_2`, skąd `t_1 = s/(2v_1)` oraz `t_2 = s/(2v_2)`. Prędkość średnia na całej trasie wyniesie `v = s/t = s/(t_1 + t_2)`. Z równania tego wyeliminujemy czasy:
`v = s/(s/(2v_1) + s/(2v_2))`,
`v = s/(s/2(1/v_1 + 1/v_2))`,
`v = 1/(1/2(1/v_1 + 1/v_2))`,
`v = 2/(1/v_1 + 1/v_2)`,
co można też zapisać:
`1/v = (1/v_1 + 1/v_2)/2`.
Odwrotność średniej prędkości jest więc średnią arytmetyczną odwrotności prędkości na poszczególnych odcinkach drogi. Taka średnia stworzona z odwrotności nazywa się średnią harmoniczną.
Warunek zastosowania wyprowadzonego wzoru jest taki, że odcinki drogi, na których auto porusza się z poszczególnymi prędkościami, są tej samej długości. W naszym zadaniu warunek ten jest spełniony. I rzeczywiście, `1/v = (1/80 + 1/120)/2 = (3/240 + 2/240)/2 = (5/240)/2 = (1/48)/2 = 1/96`, zatem `v = 96` km/h, tak jak obliczyliśmy wcześniej.
Zatem gdy w zadaniu mowa o odcinkach drogi, które przebywa kierowca z określoną prędkością, wówczas średnia prędkość jest średnią harmoniczną. Gdy jednak w zadaniu mowa o odcinkach czasu, a nie o odcinkach drogi, które kierowca przebywa z określoną prędkością, wówczas prędkość średnia jest średnią arytmetyczną, a nie harmoniczną.
Załóżmy na przykład, że dany jest czas podróży 1 godzina 40 minut, oraz wiadomo, że przez połowę tego czasu (przez pierwsze 50 minut) kierowca jechał z prędkością 80 km/h, a przez pozostałą połowę z prędkością 120 km/h. W pierwszej fazie podróży przejechał `80*50/60 = 40*5/3 = 200/3 = 66 2/3` km (korzystamy z wzoru s = v · t), w drugiej zaś fazie `120*50/60 = 120*5/6 = 60*5/3 = 20*5 = 100` km. Łącznie przejechał zatem `166 2/3` km (czyli `500/3` km) w ciągu 1 godziny i 40 minut (czyli w ciągu `5/3` godziny). Średnia prędkość wyniosła zatem `v = (500/3)/(5/3) = 500/5 = 100` km/h. Jak widać, przy podanych czasach przejazdu z określonymi prędkościami, średnia prędkość jest rzeczywiście średnią arytmetyczną tych prędkości.
Zastanowimy się jeszcze, jak policzyć średnią prędkość, jeśli odcinek s1 przejechano z prędkością v1, odcinek s2 z prędkością v2 itd., przy czym odcinki te niekoniecznie były równej długości. Najpierw wyliczymy czasy przejazdu poszczególnych odcinków: `t_1 = s_1/v_1`, `t_2 = s_2/v_2` itd. Średnia prędkość wyniosła zatem:
`v = s/t`,
`v = s/(t_1 + t_2 + …)`,
`v = s/(s_1/v_1 + s_2/v_2 + …)`.
Wzór ten można uprościć w niektórych sytuacjach. Jeśli na przykład całkowita droga przejazdu składała się z trzech równych odcinków, przejeżdżanych z prędkościami v1, v2 i v3, wówczas średnia prędkość to:
`v = s/((s/3)/v_1 + (s/3)/v_2 + (s/3)/v_3)`,
`v = s/(s/3(1/v_1 + 1/v_2 + 1/v_3))`,
`v = 3/(1/v_1 + 1/v_2 + 1/v_3)`.
Jest to więc znów średnia harmoniczna, tym razem z trzech wartości.
Jeśli wiemy, że przez czas t1 podróżowano z prędkością v1, przez czas t2 z prędkością v2 itd., wówczas prędkość średnią obliczymy w sposób następujący:
`v = s/t`,
`v = (v_1*t_1 + v_2*t_2 + …)/t`.
W konkretnych sytuacjach wzór ten uprości się. Jeśli na przykład podróżowano przez pierwszą część czasu podróży z prędkością v1, przez drugą równą część czasu z prędkością v2 i przez trzecią równą część z prędkością v3, to:
`v = (t/3(v_1+v_2+v_3))/t`,
`v = (v_1+v_2+v_3)/3`.
Jest to więc ponownie średnia arytmetyczna, tym razem z trzech wartości.
Jak więc widać, jeśli chcemy korzystać z gotowych wzorów na prędkość średnią, rzeczywiście nie jest tak prosto ustalić, których wzorów użyć. Najrozsądniej byłoby trzymać się podstawowego równania s = v · t, i korzystać z niego w zależności od konkretnego zadania.