Zadania z prędkości

Zaczynamy od przeczytania całego zadania. Staramy się wyobrazić sobie opisany stan rzeczy. Powinniśmy od razu zwrócić uwagę, że opisano tu dwie sytuacje: rzeczywistą oraz hipotetyczną. Teraz odczytujemy kolejno jedno zdanie po drugim, i staramy się wyciągnąć z tych zdań poszczególne dane. Zauważamy, że droga mierzona jest tu w kilometrach, prędkość w kilometrach na godzinę, a czas w godzinach, zatem nie musimy zamieniać jednostek.

Wpisujemy do tabelki dane. Nie będziemy mieć żadnego problemu z drogą, która w obu sytuacjach jest taka sama (240 km). Aby wypełnić kolumnę „prędkość”, przyglądamy się jeszcze pytaniu. Zauważamy, że szukamy prędkości w sytuacji rzeczywistej. Szukaną prędkość v₁ oznaczamy przez x, a ponieważ prędkość w drugiej sytuacji jest o 20 km/h większa, oznaczamy ją przez x + 20. Czas nie jest podany, ale też nie jest szukany, dlatego użyjemy litery t dla sytuacji rzeczywistej, o której nie wiemy nic. W sytuacji hipotetycznej czas jest krótszy o godzinę, zatem oznaczymy go jako t − 1. Równania ułożymy, przepisując odpowiednie wartości z poprzednich kolumn tabelki:

Pozostaje nam teraz ułożyć układ równań i go rozwiązać:

Podajemy odpowiedź: samochód jechał z prędkością 60 km/h.

Uwaga: Formalnie rzecz biorąc, rozwiązując nasz układ równań powinniśmy założyć, że `x!=0`. Pisanie tego założenia można jednak uznać za niekonieczne, skoro `x` oznacza prędkość, która zgodnie z treścią zadania musi być dodatnia.

Zadanie rozwiązujemy podobnie jak poprzednie. Wypełniamy tabelkę, zauważając, że szukany jest czas (x), za to prędkość (v) jest nieistotna:

Rozwiązujemy układ równań (w tym zadaniu nie jest to szczególnie skomplikowane), zaczynając od wyliczenia i podstawienia nieistotnej wartości v:

Podajemy odpowiedź: autobus jechał 3 godziny.

Zadanie to różni się od poprzednich. Droga w sytuacji rzeczywistej jest inna niż w sytuacji hipotetycznej, za to czas jest taki sam. Autor zadaje nam aż dwa pytania. Rzeczywistą (szukaną) prędkość oznaczymy więc literą x, a czas (taki sam w obu sytuacjach) literą y. Zbierzmy to wszystko w tabelce:

Zauważmy, że drogę w sytuacji hipotetycznej możemy wyliczyć od razu. Piszemy i rozwiązujemy układ równań, pamiętając, że potrzebujemy obu niewiadomych:

Patrzymy teraz do treści zadania (aby odpowiedzieć na pytania) oraz do oznaczeń w tabelce, i formułujemy odpowiedź: samochód jechał z prędkością 65 km/h przez 2 godziny.

W zadaniach tego typu warto sprawdzić (choćby w pamięci), czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania. Rzeczywiście, jadąc 2 godziny z prędkością 65 km/h, przejedziemy 130 km. Jeśli zaś będziemy jechać z prędkością o 15 km/h większą, tj. z prędkością 80 km/h, wówczas przejedziemy 160 km. Wszystko zatem się zgadza!

Zadanie jest tego samego typu, co poprzednie. Komentarze nie będą więc chyba niezbędne.

Samochód jechał z prędkością 76 km/h przez 2 godziny.

Zadanie to jest już nieco trudniejsze niż poprzednie. Naszą tabelkę wypełnimy, czytając uważnie kolejno każde zdanie treści zadania. Pierwsze zdanie jest o tyle kłopotliwe, że na razie niczego konkretnego nie możemy z niego wywnioskować. Wiemy jedynie, że mamy tu co prawda tylko jedną sytuację, ale dwa różne pojazdy, to znaczy pociąg zmierzający z `A` do `B` oraz pociąg zmierzający z `B` do `A`. Tak też opiszemy dwa wiersze w naszej tabelce. Interesuje nas to, co działo się od momentu wyjazdu pociągów aż do momentu ich spotkania na trasie. Odległość między miastami `A` i `B` na razie nas nie będzie interesować. Zauważmy bowiem, że żaden z pociągów nie przebył tej odległości w całości.

Zdanie drugie mówi, że średnia prędkość pierwszego pociągu (z `A` do `B`) była o 10 km/h większa niż prędkość pociągu drugiego (z `B` do `A`). Obie prędkości są szukane. W odpowiednie rubryki wpiszemy więc x + 10 oraz x.

Ze zdania trzeciego dowiadujemy się, że miejsce spotkania leży 270 km od miasta `A`. Tyleż kilometrów przejechał pociąg pierwszy (z `A` do `B`), i tę wartość drogi wpisujemy do tabelki. Ile jednak przejechał pociąg drugi (z `B` do `A`)? Skoro cała trasa ma długość 510 km, a do przejechania (od miejsca spotkania do miasta `A`) zostało jeszcze 270 km, więc pociąg drugi przejechał 510 km − 270 km, i to właśnie wpisujemy do tabelki (bez jednostek, które w tym zadaniu nie są potrzebne, bo nie musimy ich przeliczać):

Z pierwszego zdania wiemy, że pociągi wyruszyły równocześnie. A więc od momentu odjazdu do spotkania upłynęło dla obu pociągów tyle samo czasu. Czas ten jest szukany, oznaczymy go więc literą y. Możemy już też napisać oba równania, pamiętając o obliczeniu drogi przebytej przez drugi pociąg. Ostatecznie nasza tabelka wyglądać będzie tak:

Pozostaje nam już tylko rozwiązać układ równań, pamiętając jednak o tym, że do odpowiedzi potrzebować będziemy obu prędkości oraz czasu.

Czytamy raz jeszcze pytanie i formułujemy odpowiedź, zaglądając do tabelki.

Średnia prędkość pociągu jadącego z `A` do `B` wynosiła 90 km/h, zaś pociągu jadącego z `B` do `A` wynosiła 80 km/h. Od wyjazdu obu pociągów do ich spotkania upłynęły 3 godziny.

Sprawdźmy na koniec, że pierwszy pociąg przejechał 3 · 90 = 270 km, a drugi 3 · 80 = 240 km. Zgadza się to całkowicie z danymi, zadanie zostało więc rozwiązane poprawnie.

Mamy tu zadanie jeszcze innego typu niż poprzednie, w dodatku znacznie trudniejsze, gdyż wymagające sprytu i domyślności. Interesuje nas bowiem co prawda tylko jeden pojazd, za to doświadczający różnych perypetii na trasie. Czas wyrażono tu w minutach, w tablece będziemy zatem musieli wypisywać jednostki i przeliczać je odpowiednio.

Całą historię podzielimy na 3 odcinki. Pierwszy odcinek to jednocześnie pierwszy etap podróży. Drugi odcinek to postój konieczny dla usunięcia awarii. Trzeci odcinek to jednocześnie drugi etap podróży. Zauważmy jednak (do tego właśnie potrzebny jest spryt), że na drugim etapie pociąg nadrobił opóźnienie. Słowo „nadrobił” jest tu kluczem – oznacza ono bowiem, że gdyby nie doszło do awarii, pociąg dojechałby do celu w tym samym czasie, w którym dojechał rzeczywiście. Choć więc nie jest to podane wprost, mamy tu sytuację rzeczywistą i hipotetyczną. Nasza tabela będzie więc zawierać łącznie 4 wiersze (nie licząc nagłówka).

Informacja w zdaniu pierwszym na razie do niczego nam się nie przyda. Drugie zdanie informuje nas o drodze przebytej w ciągu pierwszego etapu oraz o czasie, w którym pociąg się nie poruszał (czyli gdy jego prędkość wynosiła 0 km/h, przebyta droga także wyniosła 0 km). Wpisujemy te informacje do tabeli:

Wróćmy teraz do zdania pierwszego. Jeśli pociąg miał do przebycia łącznie 100 km, to w czasie drugiego etapu podróży musiał przebyć resztę (100 km − 20 km). Prędkość na pierwszym etapie podróży jest szukana, oznaczmy ją zatem przez x. Prędkość na drugim etapie podróży była w rzeczywistości 1,2 razy większa, wynosiła zatem 1,2x. Gdyby jednak nie doszło do awarii, byłaby ona równa x, i tego również musimy się domyślić. Czas pierwszego i drugiego etapu podróży nie został podany, ale też jego znajomość nie będzie nam potrzebna do odpowiedzi. Użyjemy więc standardowych oznaczeń t₁ i t₂. Zauważmy jeszcze, że 10 min to jedna szósta część godziny. Gdyby nie doszło do awarii, drugi etap podróży trwałby o 10 min dłużej. Wszystkie te informacje umieścimy w tabelce:

Zwróćmy teraz uwagę, że równanie w wierszu „postój” nie wnosi niczego do rozwiązania zadania. Natomiast pierwsze, trzecie i czwarte równanie zawierają łącznie trzy niewiadome. Jest to sytuacja właściwa: niewiadomych powinno być tyle samo, co równań.

W tym momencie przyda się bardzo spryt i spostrzegawczość. Otóż niewiadoma t₁ występuje tylko w pierwszym równaniu i nie jest nam do niczego potrzebna, dlatego równanie to możemy całkowicie pominąć. Rówanie trzecie i czwarte zawierają łącznie niewiadome x oraz t₂; zatem tylko te dwa równania wykorzystamy do obliczeń.

Bardziej sprytni dostrzegą, że analiza pierwszego etapu podróży nie była nam w istocie potrzebna. W istocie bowiem w zadaniu rozpatrujemy tylko dwie sytuacje: rzeczywistą, w której pociąg po awarii porusza się szybciej niż w rozkładzie jazdy, i dojeżdża do celu planowo, oraz hipotetyczną, w której nie dochodzi do awarii i pociąg jedzie cały czas zgodnie z rozkładem.

Rozwiązujemy układ równań:

Korzystając z tabelki, udzielamy odpowiedzi do zadania: pierwszą część trasy pociąg przejechał z prędkością 80 km/h.

Na koniec sprawdźmy jeszcze nasze obliczenia. Pierwsze 20 km pociąg jechał z prędkością 80 km/h, co zajęło mu 15 minut. Po 10 minutach przymusowego postoju pociąg ruszył z prędkością 1,2 razy większą, czyli z prędkością 96 km/h. Pozostałe 80 km przejachał z tą prędkością w ciągu 50 minut (5/6 godziny). Gdyby nie doszło do awarii, to 80 km pociąg przejachałby z prędkością 80 km/h, a więc jechałby przez pełną godzinę. Dokładnie tyle samo czasu zajął łącznie dziesięciominutowy postój w celu usunięcia awarii plus 50 minut podróży ze zwiększoną prędkością. Zadanie zostało więc rozwiązane poprawnie.

Zadanie to dotyczy także prędkości, ale jest innego typu niż poprzednie, a do tego jest naprawdę trudne. Można je rozwiązać na dwa sposoby.

Sposób pierwszy jest podobny, jak w wypadku zadań dotąd analizowanych. Rozpatrujemy tu bowiem nie prędkość ruchu, ale prędkość wykonania jakiejś pracy. Zasada jednak jest taka sama: całkowite zadanie do wykonania odpowiada drodze s, prędkość v oznacza, ile pracy wykonano w jednostce czasu t (a więc na przykład w ciągu 1 dnia). Przy takich oznaczeniach wciąż obowiązuje ten sam wzór s = vt. Podstawowa różnica dotyczy prędkości: jeśli dwie osoby (czy dwie firmy) pracują jednocześnie, ich prędkości się dodają, bo w danym czasie każda z nich wykona „swoją” pracę.

W naszym zadaniu drodze odpowiada ilość przyciętych drzewek owocowych; ponieważ nie musimy ilości tej podawać w odpowiedzi, oznaczymy ją literą s. Drugie zdanie informuje nas, że firma KOPEREK wykonałaby pracę w szukanym czasie x dni, natomiast firma PYRY w czasie x + 5 dni. Fiirma ANANAS wykonałaby pracę w czasie 2(x + x + 5) + 2 dni. Wyrażenie to można uprościć: 2(x + x + 5) + 2 = 2(2x + 5) + 2 = 4x + 10 + 2 = 4x + 12. Wiemy wreszcie, że wszystkie trzy firmy, pracując razem (z prędkością równą sumie prędkości poszczególnych firm), wykonałyby pracę w ciągu dwóch dni. Nasza tabelka będzie więc zawierała 4 wiersze (nie licząc nagłówka):

Otrzymaliśmy układ 4 równań z 5 niewiadomymi, z których jednak łatwo można całkowicie wyrugować s. Układ ma więc rozwiązanie. Poniżej pokażemy drugi sposób rozwiązania, w którym nie wystąpi tego rodzaju problem. Ilością równań nie warto się przejmować. W obliczeniach milcząco przyjmujemy, że wszystkie mianowniki muszą być dodatnie.

Odpowiedź: Pracując osobno, firma PYRY wykonałaby pracę w ciągu 8 dni, firma KOPEREK w ciągu 3 dni, firma ANANAS w ciągu 24 dni.

Sposób drugi korzysta z pojęcia normy dziennej. Przez pojęcie to rozumiemy odwrotność czasu wykonania całej pracy. Normy dzienne możemy dodawać. Zauważmy, że skoro firma KOPEREK wykonałaby pracę w ciągu `x` dni, to dziennie przycięłaby łącznie `1/x` wszystkich drzewek. Jest to właśnie norma dzienna firmy KOPEREK. Dla firmy PYRY normą dzienną jest `1/(x+5)`, a dla firmy ANANAS jest to `1/(4x+12)`. Pracując łącznie, wszystkie trzy firmy potrzebują do wykonania pracy 2 dni, zatem ich sumaryczna norma dzienna wynosi `1/2`.

Skoro norma sumaryczna równa jest sumie norm składowych, możemy napisać, że `1/2=1/(x+5)+1/x+1/(4x+12)`. Równanie to rozwiązujemy podobnie jak w metodzie pierwszej. Dzięki wykorzystaniu pojęcia normy dziennej unikamy odstraszających układów równań i nadmiarowych niewiadomych, wciąż jednak musimy rozwiązać równanie stopnia trzeciego. Rozwiązanie `x=3` odgadujemy, podstawiając za `x` do wyrażenia `2x^3+7x^2-19x-60` kolejno podzielniki wyrazu wolnego 60, czyli liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60, i sprawdzając każdorazowo, czy wychodzi 0 w wyniku. Okazuje się, że liczba 3 spełnia ten warunek. Po jej odszukaniu nie sprawdzamy już następnych dzielników.

Jeśli uda nam się odnaleźć to rozwiązanie, możemy obyć się bez umiejętności dzielenia wielomianów. Zauważmy bowiem, że w takim wypadku `2x^3+7x^2-19x-60=(x-3)(ax^2+bx+c)`. Od razu widać, że `a=2` oraz `c=20`, bo tylko wtedy otrzymamy pierwszy i ostatni wyraz wyjściowego czwórmianu. Rozumujemy więc następująco:

`2x^3+7x^2-19x-60=(x-3)(ax^2+bx+c)`,
`2x^3+7x^2-19x-60=(x-3)(2x^2+bx+20)`,
`2x^3+7x^2-19x-60=2x^3+bx^2+20x-6x^2-3bx-60`,
`7x^2-19x=bx^2+20x-6x^2-3bx`,
`7x^2-19x=(b-6)x^2+(20-3b)x`.
Współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być równe, zatem `7=b-6` oraz `-19=20-3b`,
`-b=-6-7` oraz `3b=20+19`,
`b=13` oraz `b=13`,
co ostatecznie wskazuje, że `2x^3+7x^2-19x-60=(x-3)(2x^2+13x+20)`

Dalej rozumujemy jak w metodzie pierwszej, licząc deltę i sprawdzając, że oba pierwiastki trójmianu są ujemne. Tym sposobem bez umiejętności dzielenia wielomianów, jedynie odszukując rozwiązanie `x=3` metodą prób i błędów, udało nam się rozwiązać to trudne zadanie do końca.

Zadanie jest podobnego typu jak poprzednie. Rozwiążemy je, korzystając z pojęcia normy dziennej, przy którym tabelka nie jest potrzebna. Oznaczmy jedynie czas dla ciężarówek Beta jako `x`, dla ciężarówek Alfa jako `x-4`, dla ciężarówek Gamma jako `x-4+9` (tu musimy uważać, do których ciężarówek odnosi się właściwie nasza niewiadoma!), czyli `x+5`. Pamiętając, że normy są odwrotnościami czasów i że wolno je sumować, piszemy równanie i je rozwiązujemy:

`1/3=1/(x-4)+1/x+1/(x+5)`
`1=3/(x-4)+3/x+3/(x+5)`
`x-4=3+(3(x-4))/x+(3(x-4))/(x+5)`
`(x-4)x=3x+3(x-4)+(3(x-4)x)/(x+5)`
`(x-4)x(x+5)=3x(x+5)+3(x-4)(x+5)+3(x-4)x`
`x^3+5x^2-4x^2-20x=3x^2+15x+3x^2+15x-12x-60+3x^2-12x`
`x^3+x^2-20x=9x^2+6x-60`
`x^3-8x^2-26x+60=0`

W tym momencie musimy znów spróbować odgadnąć rozwiązanie wśród podzielników wyrazu wolnego 60. Zauważmy, że musi to być liczba większa od 4, skoro czas dla ciężarówek Alfa wynosi `x-4`. Rozwiązaniem tym jest 10: sprawdzamy, że `10^3-8*10^2-26*10+60=1000-800-260+60=200-200=0`. Rozkład czwórmianu przeprowadzimy taką samą metodą jak wyżej.

`x^3-8x^2-26x+60=(x-10)(ax^2+bx+c)`,
`x^3-8x^2-26x+60=ax^3+bx^2+cx-10ax^2-10bx-10c`,
`x^3-8x^2-26x+60=ax^3+(b-10a)x^2+(c-10b)x-10c`.
Porównujemy współczynniki:
`1=a`, `-8=b-10a`, `-26=c-10b`, `60=-10c`, skąd `a=1`, `c=-6`,
`-8=b-10`, `-26=-6-10b`,
`-b=8-10`, `10b=-6+26`,
`b=-2`, `b=-2` (nie ma błędu).
Zatem ostatecznie: `x^3-8x^2-26x+60=(x-10)(x^2-2x-6)`.

Liczymy wyróżnik trójmianu: `Delta=(-2)^2-4*1*(-6)=4+24=28`, a następnie jego miejsca zerowe: `x_1=(2-sqrt(28))/2<0`, `x_2=(2+sqrt(28))/2`. Pierwsze miejsce zerowe jest ujemne, drugie natomiast jest mniejsze od 4 (pierwiastek z 28 jest większy od 5, ale mniejszy od 6, zatem licznik ułamka jest większy od 7, ale mniejszy od 8, z czego wynika, że wartość całego ułamka leży między 3,5 a 4), zatem także nie spełnia warunków zadania (wówczas bowiem czas dla ciężarówek Alfa byłby ujemny). Jedynym rozwiązaniem jest więc `x=10`.

Obliczamy jeszcze `x-4=6` oraz `x+5=15`, i podajemy odpowiedź: Czas rozwozu komputerów przy pomocy tylko ciężarówek Alfa wyniósłby 6 dni, przy pomocy tylko ciężarówek Beta wyniósłby 10 dni, przy pomocy tylko ciężarówek Gamma wyniósłby 15 dni.

W tym zadaniu mamy podaną liczebność grupy narciarzy, dlatego rozwiążemy je, korzystając z tabelki. Czas wyjazdu narciarzy wyciągiem krzesełkowym oznaczymy literą t, wtedy czas wyjazdu wyciągiem gondolowym wyniesie t − 2. Używamy tu litery t, ponieważ niewiadomą zawartą w pytaniu jest prędkość, a nie czas. Prędkość wyciągu orczykowego oznaczymy literą x, wówczas prędkość wyciągu gondolowego wyniesie 3x. Nieznaną i poszukiwaną prędkość wyciągu krzesełkowego oznaczymy literą y. Jeśli wszystkie wyciągi są czynne, łączna prędkość się sumuje i wynosi `3x+y+x`. Znamy jeszcze czas wyjazdu, gdy działają wszystkie 3 wyciągi, nie znamy natomiast czasu wyjazdu, gdy czynny jest tylko wyciąg orczykowy – użyjemy tu litery z. Wpisujemy wszystkie te dane do tabelki i układamy równania:

Zauważmy, że do odpowiedzi nie jest nam w ogóle potrzebna znajomość czasu wyjazdu wyciągiem orczykowym, oznaczonym literą z. Niewiadoma ta występuje tylko w trzecim równaniu, które właśnie dlatego możemy opuścić. Pozostałe 3 równania zawierają łącznie 3 niewiadome: x, y, t, co jest podstawą do podejrzeń, że utworzony z nich układ uda się rozwiązać. Spróbujmy.

Odpowiedź formułujemy, korzystając z tabelki: W ciągu godziny wyciągiem gondolowym wyjeżdża na szczyt 300 narciarzy, wyciągiem krzesełkowym 200 narciarzy, wyciągiem orczykowym 100 narciarzy.

Możemy jeszcze sprawdzić, że łącznie w ciągu godziny wyciągi wwiozą na szczyt 300 + 200 + 100, czyli 600 narciarzy. A zatem rzeczywiście, w ciągu 2 godzin wwiozą 1200 narciarzy.

Zadanie można łatwo rozwiązać, posługując się pojęciem normy, por. zad. 7. Pan Piotr potrzebuje 8 godzin na pomalowanie domu, zatem jego norma godzinowa to `1/8` domu. Norma godzinowa Krzysia to `1/16` domu. Norma łącznej pracy `N` jest równa sumie norm. Obliczmy:

`N=1/8+1/16=2/16+1/16=3/16`

Czas potrzebny do pomalowania całego domu jest odwrotnością normy, zatem jest równy `t=16/3` godziny. Oznacza to `5 1/3` godziny, czyli 5 godzin i 20 minut. To jest właśnie odpowiedź do zadania.

Zadanie rozwiążemy, korzystając z pojęcia normy dziennej. Dla firmy PRACES wynosi ona `1/4`, dla firmy NOLAR normą jest `1/6`, dla firmy ARGON norma to `1/12`. Obliczmy normę łączną:

`N=1/4+1/6+1/12=3/12+2/12+1/12=6/12=1/2`

Wynik ten oznacza, że jeśli wszystkie 3 firmy będą pracować wspólnie, to w ciągu jednego dnia wykonają połowę pracy. Zatem całą pracę wykonają za 2 dni.

Podział kwoty wynagrodzenia powinien odzwierciedlać ilość włożonej pracy. Firma PRACES wykona w ciągu jednego dnia `1/4` całej pracy, zatem za dwa dni wykona `1/2` całej pracy, dlatego też powinna otrzymać połowę kwoty wynagrodzenia. Firma NOLAR w ciągu jednego dnia wykona `1/6` całego zamówienia, czyli w ciągu dwóch dni wykona `1/3` pracy, powinna też otrzymać takąż część wynagrodzenia. Firma ARGON jest w stanie wykonać `1/12` zamówienia w ciągu jednego dnia, czyli w ciągu dwóch dni wykona `1/6`. Należy jej się taki właśnie ułamek kwoty wynagrodzenia.

Sprawdźmy: `1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=1`, więc nasze obliczenia są poprawne (zsumowane ułamki dają razem całe wynagrodzenie). Zamiast mówić, że firmy powinny zainkasować odpowiednio `1/2`, `1/3` i `1/6` część wynagrodzenia, można też odpowiedzieć, że wynagrodzenie należy podzielić w stosunku `3 : 2 : 1` (takie są liczniki ułamków o mianowniku 6). To znaczy, że jeśli kwotę wynagrodzenia podzielimy na 6 równych części, wówczas firma PRACES otrzyma 3 z tych części, firma NOLAR otrzyma 2 części, wreszcie firma ARGON otrzyma 1 część.

Także i w tym zadaniu wykorzystamy pojęcie normy. Zacznijmy od wypisania danych i szukanych. Czas drukowania drugiej drukarki (wyrażony w godzinach) oznaczmy jako `x`, wówczas czas pracy pierwszej drukarki będzie równy `x+1`. Norma godzinowa pierwszej drukarki jest więc równa `1/(x+1)`, norma drugiej drukarki to `1/x`. Norma łączna równa jest sumie norm, a więc `1/(x+1)+1/x`.

Czas pracy obu drukarek razem wynosi 1 godzinę i 12 minut, a więc `1 12/60` godziny, po skróceniu `1 1/5` godziny, co w końcu można przedstawić jako `6/5` godziny (pamiętajmy, że w tym zadaniu jednostką jest godzina, a nie minuta, stąd konieczność zamiany). Norma to odwrotność czasu pracy, jest więc równa `5/6`. Ale wiemy też, że ta norma równa jest `1/(x+1)+1/x`. Mamy więc:

`5/6=1/(x+1)+1/x`,
`5=6/(x+1)+6/x`,
`5(x+1)=6+(6(x+1))/x`,
`5(x+1)x=6x+6(x+1)`,
`5x^2+5x=6x+6x+6`,
`5x^2+5x-12x-6=0`,
`5x^2-7x-6=0`.
`Delta=(-7)^2-4*5*(-6)=49+120=169`,
`sqrt Delta=13`,
`x_1=(7-13)/(2*5)<0` (odrzucamy),
`x_2=(7+13)/(2*5)=20/10=2`.

Obliczmy jeszcze `x+1=3`. Gdyby drukarki pracowały oddzielnie, wówczas czas pracy pierwszej drukarki wyniósłby 3 godziny, zaś czas pracy drugiej drukarki 2 godziny.

Uwaga: formalnie rzecz biorąc, w zadaniu powinno się zaznaczyć, że `x!=0` oraz `x!=-1`, inaczej równanie, które rozwiązujemy, nie miałoby sensu liczbowego. Niewiadoma `x` oznacza jednak czas drukowania, który musi być dodatni, dlatego pisanie założeń nie jest tu niezbędnie konieczne.

Zadanie rozwiążemy, korzystając z pojęcia normy. Czas pracy Zenona wynosi 8 godzin, zatem jego norma godzinowa to `1/8`. Czas pracy Józefa jest szukany, możemy więc oznaczyć go przez `x`. Norma godzinowa Józefa wynosi zatem `1/x`. Czas pracy obu panów łącznie to 6 godzin, zatem ich norma godzinowa to `1/6`. Jednocześnie jednak wiemy, że łączna norma jest sumą norm:

`1/6=1/8+1/x`,
`1=3/4+6/x`,
`4=3+24/x`,
`4x=3x+24`,
`x=24`.

Sam Józef umyłby okna na tej ścianie w 24 godziny.