Wersja z 2017-04-07

Procenty i stężenia

Część poprzednia Spis treści Część następna

Procenty – zadania różne

21. W miasteczku są 3 szkoły średnie. Do jednej z nich uczęszcza 7/25 ogólnej liczby młodzieży uczącej się, do drugiej 1,5 raza więcej. Ile procent ogółu uczniów uczęszcza do każdej z tych szkół?

22. Po modernizacji produkcja w pewnej fabryce zwiększyła się 1,7 razy. O ile procent wzrosła?

23. W pewnej szkole liczba dziewcząt stanowi 62,5% liczby chłopców. Jaki jest stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców w tej szkoleż

24. Przy gotowaniu mięso traci 20% masy, a przy pieczeniu 25% masy. Pani domu w sobotę ugotowała 1,25 kg mięsa, a w niedzielę upiekła 1,5 kg mięsa. W którym dniu rodzina otrzymała większe porcje?

25. W szczelnej, ale nie hermetycznej cysternie przechowywano 255 l wody. Z powodu parowania po roku straty w wyniku parowania wyniosły 9%. W ciągu kolejnego roku znów 9% wody wyparowało. Ile wody pozostało? Jaki był procentowy ubytek wody po dwóch latach?

26. Uczeń rozsypał substancję do trzech pojemników. W pojemniku nr 1 umieścił 400 g substancji, w pojemniku nr 2 umieścił o 15% więcej tej substancji niż w pojemniku nr 1, wreszcie w ostatnim pojemniku umieścił o 15% mniej niż w pojemniku nr 2. Ile substancji znajduje się łącznie w trzech pojemnikach?

27. Przy otrzymywaniu pewnej substancji ze stanu naturalnego pozyskuje się ją ze skały, w której stanowi ona 20% masy. Po oddzieleniu cennej substancji odpady składuje się w postaci hałdy. Jaka będzie masa hałdy, gdy uzyskamy tą metodą 15 000 t substancji? Ile trzeba będzie przerobić skał?

28. Po 15-procentowej obniżce cen towar kosztuje o 12 zł mniej niż poprzednio. Jaka była cena tego towaru przed obniżką, a jaka jest obecnie?

29. Chleb waży o 24% więcej niż mąka wzięta do wypieku. Ile kg chleba otrzymamy z 400 kg mąki? Ile kg mąki trzeba zużyć na upieczenie 620 kg chleba?

30. Z 450 kg rudy miedzi otrzymano 68,5 kg metalu. Jaka jest procentowa zawartość miedzi w rudzie, przy założeniu 100% wydajności procesu otrzymywania miedzi?

31. Pewien proces chemiczny zachodzi z niezbyt wysoką wydajnością i pozwala otrzymać 9 kg produktu, zużywając średnio 10 kg głównego substratu. Tyle właśnie przewiduje zakładowa norma. Magister Kowalski opracował oszczędnościową metodę otrzymywania produktu, dzięki której udało mu się uzyskać 12 kg produktu z 10 kg głównego substratu. Magister Malinowski natomiast pracował dość niedbale, i do otrzymania 10 kg produktu zużył aż 12 kg głównego substratu. Jeśli przyjmiemy, że wydajność normatywna jest stuprocentowa, z iluprocentową wydajnością pracował Kowalski, a z iluprocentową Malinowski? Ile procent wyniosło odchylenie każdego z nich od normy?

32. W 120 g wodnego roztworu znajdują się 102 g czystego etanolu. Jaki procent masy roztworu stanowi woda? Jaki procent masy etanolu stanowi woda?

33. Aparat do otrzymywania wodoru pozwala uzyskiwać 75 m3 tego gazu na godzinę. Laboratorium zakupiło ostatnio drugi aparat, produkujący o 20% więcej gazu niż poprzedni. Ile godzin potrwa uzyskanie 5940 m3 wodoru, jeśli pracować będą oba aparaty?

34. Spółka Marka zarobiła ostatnio tysiąc złotych, z których 25% należy do niego. Od kwoty tej musi odprowadzić 20% podatku. Ile zarobi Marek?

35. Paweł zarabia 80% tego, co Gaweł. Jaki procent zarobków Pawła otrzymuje Gaweł?

36. Sylwia zarabia o 30% mniej niż Magda. O ile procent więcej zarabia Magda niż Sylwia?

37. Michał pozostawił 15 g jodu na szkiełku zegarkowym. Po pewnym czasie wskutek sublimacji masa próbki zmalała o 100%. Ile wówczas wynosiła?

38. Andrzej pozostawił na szkiełku zegarkowym 15 g substancji silnie chłonącej wodę. Po pewnym czasie masa próbki wzrosła o 100% wskutek wchłonięcia pary wodnej. Ile wówczas wynosiła?

39. Alchemik otrzymał pewna ilość złota, następnego dnia zwiększył zasób posiadanego kruszcu o 10%, a kolejnego dnia o 12%. Ostatecznie uzyskał 4,5 kg złota. Ile złota wyprodukował pierwszego dnia?

40. Sporządzono mieszaninę 3 składników, które wzięto w stosunku masowym 3 : 4 : 5. Ile procent (masowych) każdego ze składników zawiera mieszanina?

41. W oberży „Pod Czerwonym Kogutem” nocleg kosztuje 45 zł, a w zajeździe „Pod Kulawym Bażantem” – 50 zł. O ile złotych i o ile procent nocleg w zajeździe jest droższy niż w oberży? O ile złotych i o ile procent nocleg w oberży jest tańszy niż w zajeździe?

42. O ile punktów procentowych i o ile procent gorzej zdała maturę Basia od Ani, jeśli Basia uzyskała 66%, a Ania 90%? O ile procent lepiej zdała Ania od Basi?

43. Sprzedaż pewnego towaru wzrosła w ciągu roku o 1000%. Ile procent obecnej sprzedaży stanowiła sprzedaż rok temu? Obecnie udaje się sprzedać 99% produkcji. Gdyby przed rokiem produkcja była na tym samym poziomie co obecnie, o ile punktów procentowych byłaby mniejsza sprzedaż?

44. Sznurek podzielono na trzy części w stosunku 3 : 5 : 7. (a) Ile procent pierwotnej długości sznurka stanowią poszczególne części? (b) Ile procent długości części najkrótszej stanowi część najdłuższa? (c) Ile procent długości części najdłuższej stanowi część najkrótsza? (d) O ile procent dłuższa jest część najdłuższa od części najkrótszej? (e) O ile procent krótsza jest część najkrótsza od części najdłuższej?

45. Bank proponował klientowi lokatę oprocentowaną 7% w skali roku, ale po roku obniżył oprocentowanie o 2 punkty procentowe. O ile procent mniejsze odsetki otrzyma teraz klient?

46. Antykwariat zakupił dwa przedmioty za łączną kwotę 2050 zł, a następnie zyskał 30% na ich sprzedaży. Jakie były ceny każdego z tych przedmiotów, jeśli zysk ze sprzedaży pierwszego wynosił 33,2%, a ze sprzedaży drugiego 25%?

47. Ania zdecydowała się na kupno bluzki za 75 zł. Gdy weszła do sklepu, okazało się, że interesujący ją towar został przeceniony o 20%. Ile pieniędzy zaoszczędziła?

48. W lutym narty kosztowały 825 zł. W marcu ich cenę obniżono o 30%, a w kwietniu o dalsze 20%. (a) Ile kosztują narty po dwóch obniżkach? (b) Ile kosztowałyby narty, gdyby cenę od razu obniżono o 50%? (c) O ile procent łącznie obniżono cenę nart?

49. Cenę pewnego towaru obniżono o 1/5 na czas promocji, a następnie powrócono do ceny poprzedniej. (a) O ile procent obniżono cenę na czas promocji? (b) O ile procent podniesiono cenę promocyjną przy powrocie do ceny pierwotnej? (c) Ile procent ceny normalnej stanowiła cena promocyjna? (d) Ile procent ceny promocyjnej stanowi cena normalna?

50. Woda płynąca z kranów A, B i C napełnia basen w ciągu 4 godzin. W ciągu godziny woda płynąca tylko z kranu A napełnia 10% basenu, a woda płynąca tylko z kranu B napełnia 1/12 basenu. (a) Jaki procent basenu napełnia w ciągu godziny woda płynąca tylko z kranu C? (b) Jak długo potrwa napełnianie basenu tylko z kranu C? (c) Jak długo potrwa napełnianie basenu tylko z kranów A i B? (d) Ile procent szybkości napełniania basenu z kranu A stanowi szybkość napełniania z kranu B, a ile z kranu C? (e) O ile procent szybciej lub wolniej napełnia basen woda płynąca tylko z kranu B niż woda tylko z kranu A? (f) O ile procent szybciej lub wolniej napełnia basen woda płynąca tylko z kranu C niż woda tylko z kranu A? (g) O ile procent dłuższy będzie czas napełniania basenu tylko z kranu B niż gdyby napełniano go tylko z kranu A? (h) O ile procent dłuższy będzie czas napełniania basenu tylko z kranu C niż gdyby napełniano go tylko z kranu A?


Odpowiedzi

21. Do pierwszej szkoły uczęszcza 7/25 · 100% = 7/1 · 4 % = 28% ogółu uczniów. Do drugiej szkoły uczęszcza 1,5 raza więcej, zatem 1,5 · 28% = 42% ogółu uczniów. Stąd wniosek, że do trzeciej szkoły uczęszcza 100% − (28% + 42%) = 100% − 70% = 30% ogółu uczniów.

22. Na początku produkcja wynosiła k, obecnie wynosi 1,7 · k. Wzrost (w stosunku do stanu poprzedniego) wynosił więc (1,7kk) / k = 0,7 · 100% = 70%. Produkcja wzrosła o 70%.

23. Jeśli chłopców jest c, to dziewcząt jest d = 62,5%·c. Stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi więc d/c = 62,5%·c/c = 0,625 = 625/1000 = 125/200 = 25/40 = 5/8. Stosunek dziewcząt do chłopców wynosi 5 : 8.

24. W sobotę po ugotowaniu zostało 1,25 − 20%·1,25 = 80%·1,25 = 0,8·1,25 = 1 kg mięsa. W niedzielę po upieczeniu pozostało 1,5 − 25%·1,5 = 0,75·1,5 = 1,125 kg mięsa. Większe porcje były więc w niedzielę.

25. Oczywiście ubytek nie wynosił 18%, bo jeśli nie podano inaczej, procenty liczymy względem aktualnej wartości, a nie względem wartości bazowej. Po pierwszym roku pozostało 255·(1 − 9%) = 255·91% = 232,05 litra wody. Po drugim roku pozostało 232,05·(1 − 9%) = 211,1655 l wody. Można to samo obliczyć szybciej: 255·(1 − 9%)2 = 255 · 0,912 = 211,1655. Procentowy ubytek wyniósł po dwóch latach względem wartości początkowej: (255 − 211,1655)/255 = 0,1719 = 17,19%.

26. W pojemniku nr 2 znajduje się 400·115% = 400·1,15 = 460 g substancji. W pojemniku nr 3 znajduje się 460·(100% − 15%) = 460·85% = 391 g substancji. Łącznie w trzech pojemnikach znajduje się 400 + 460 + 391 = 1251 g substancji.

27. Cenna substancja stanowi 20% masy skały, wobec tego odpady stanowią 80%. Na każde 20 t uzyskanej substancji przypada więc 80 t odpadów. Na 15 000 t substancji przypada x odpadów. Zatem x = 80·15000/20 = 4·15000 = 60000. Masa hałdy wyniesie więc 60 000 t. Masa przerobionych skał to 15 000 + 60 000 = 75 000 t.

28. Z treści zadania widać, że 15% pierwotnej ceny to 12 zł. Zatem k = 12/15% = 1200/15 = 400/5 = 80. Stara cena to 80 zł, obecna cena to 80 − 12 = 68 zł.

29. Z 400 kg mąki otrzymamy 400 · 124% = 496 kg chleba. Ab y upiec 620 kg chleba, potrzeba 620/124% = 62000/124 = 500 kg mąki.

30. Zawartość miedzi to 68,5/450 · 100% = 6850/450 = 15,(2)%.

31. Wynik 9 kg produktu / 10 kg substratu oznacza 100% normy. Kowalski uzyskał 12 kg produktu z 10 kg substratu, tj. wykonał 12/9 · 100% = 4/3 · 100% = 133,(3)% normy. Tym samym przekroczył normę o 33,(3)%. Być może słuszniej byłoby powiedzieć, że wydajność jego pracy była o 1/3 większa niż przewiduje norma. Malinowski natomiast uzyskał 10 kg produktu z 12 kg substratu, co oznacza, że z 10 kg substratu uzyskałby 10·10/12 = 8,(3) kg produktu. Wykonał w ten sposób 8,(3)/9 · 100% = 92,(592)% normy. Tym samym jego ujemne odchylenie od normy wyniosło 100% − 92,(592)% = 7,(407)% (wbrew pozorom nie tak dużo).

32. W 120 g wodnego roztworu znajdują się 102 g czystego etanolu, zatem woda waży 18 g. Stanowi tym samym 18/120 · 100% = 300/20 % = 15% masy roztworu. Względem etanolu stanowi to 18/102 · 100% = 1800/102 % = 900/51 = 300/17 ≈ 17,65%.

33. Pierwszy aparat produkuje 75 m3 wodoru na godzinę. Drugi aparat produkuje 75·120% = 90 m3 wodoru na godzinę. Oba aparaty razem produkują 165 m3 wodoru na godzinę. Wyprodukowanie 5940 m3 wodoru zajmie więc 5940/165 = 36 godzin.

34. Obliczenie jest następujące (pamiętajmy o zakazie mnożenia procentów i konieczności zamiany ich na ułamki): 1000 · 25% · (1 − 20%) = 1000 · 25% · 80% = 1000 · 0,25 · 0,8 = 200. Marek zarobi 200 zł.

35. Niech zarobki Pawła wynoszą p, a zarobki Gawła g. Wiemy, że p = 80%·g, skąd g = p /80%. Jednak procent musi się znaleźć w liczniku, dlatego mianownik wyrażamy ułamkiem dziesiętnym, a całość mnożymy przez 100%: g = p /80% = p·100%/0,8 = p·1000%/8 = p·125%. Zarobki Gawła stanowią 125% zarobków Pawła.

36. Oznaczmy zarobki Sylwii przez s, a Magdy przez m. Wiemy, że s = m − 30%·m = 70%·m. Stąd wyliczamy m = s/70% = s·100%/0,7 = s·1000%/7 = s·142,(857142)% ≈ s·142,86%. Magda zarabia o około 42,86% więcej niż Sylwia.

37. Zmniejszenie się masy o 100% oznacza, że nic nie zostało.

38. Wzrost o sto procent oznacza podwojenie masy, zatem masa próbki wynosiła 30 g.

39. Układamy równanie: x · (1 + 10%) · (1 + 12%) = 4,5, następnie je rozwiązujemy: x · 1,1 · 1,12 = 4,5, skąd x = 4,5 : (1,1 · 1,12) = 4,5 : 1,232 ≈ 3,65. Alchemikowi udało się 1. dnia otrzymać ok. 3,65 kg złota.

40. Stosunek 3 : 4 : 5 oznacza, że na 3 + 4 + 5 = 12 części mieszaniny 3 stanowi składnik pierwszy, 4 stanowi składnik drugi, 5 stanowi składnik trzeci. Pierwszy składnik stanowi zatem 3/12 = 1/4 · 100% = 25% mieszaniny, drugi składnik 4/12 = 1/3 · 100% = 33,(3)% mieszaniny, trzeci składnik stanowi 5/12 · 100% = 250/6 % = 125/3 % = 41,(6)% mieszaniny. Udział trzeciego składnika policzymy szybciej tak: 100% − (25% + 33,(3)%) = 100% − 58,(3)% = 99,(9)% − 58,(3)% = 41,(6)%. Uwaga: zamiana 100 na 99,(9) ułatwia odejmowanie ułamków okresowych.

41. Różnica cen wynosi 50 − 45 = 5 zł, zatem nocleg w zajeździe jest o 5 zł droższy niż w oberży, z czego wynika, że nocleg w oberży jest o 5 zł tańszy niż w zajeździe. Z procentami jest już trochę inaczej, bo liczymy je względem wartości bazowej. Nocleg w zajeździe jest więc o (50 − 45)/45 = 5/45 = 1/9 · 100% = 11,(1)% droższy niż w oberży, natomiast nocleg w oberży jest o (50 − 45)/50 = 5/50 = 1/10 · 100% = 10% tańszy niż w zajeździe.

42. Różnica punktów procentowych wyników obu dziewcząt wynosi 90 − 66 = 24. Basia zdała gorzej od Ani o (90 − 66)/90 = 24/90 = 12/45 = 4/15 · 100% = 26,(6)%. Ania zdała natomiast lepiej od Basi o (90 − 66)/66 = 24/66 = 4/11 · 100% = 36,(36)%.

43. Niech sprzedaż rok temu wynosi k. Skoro obecnie wzrosła ona o 1000%, to wynosi k + 1000%·k = k + 10k = 11k, jest więc jedenaście razy większa. Sprzedaż rok temu stanowiła k/11k czyli 1/11 czyli 9,(09)% tego, co obecnie. Resztę zadania najłatwiej zrobić, korzystając z proporcji.

sprzedaż 11k stanowi 99% produkcji
sprzedaż k stanowiłaby x[%] produkcji

Zatem x = 99%·k/(11·k) = 99%/11 = 9%. Gdyby przed rokiem produkcja była na tym samym poziomie co obecnie, sprzedawano by (przy ówczesnej sprzedaży) tylko 9% wyprodukowanego towaru.

44. Umówmy się, że najkrótsza część ma długość 3 jednostek, średnia część 5 jednostek, najdłuższa część 7 jednostek. Obliczenie zaczniemy od obliczenia, ile jednostek długości miał cały sznurek: 3 + 5 + 7 = 15. (a) Najkrótsza część stanowi 3/15 = 1/5 = 20% pierwotnej długości sznurka, część średnia stanowi 5/15 = 1/3 = 33,(3)% pierwotnej długości, część najdłuższa stanowi 100% − (20% + 33,(3)%) = 100% − 53,(3)% = 99,(9)% − 53,(3)% = 46,(6)% pierwotnej długości sznurka. (b) Część najdłuższa stanowi 46,(6)/20 = 23,(3)/10 · 100% = 233,(3)% części najkrótszej. Równie dobrze obliczenia można przeprowadzić na jednostkach długości: 7/3 · 100% = 233,(3)%. (c) Część najkrótsza stanowi 3/7 · 100% = 42,(857142)% części najdłuższej. (d) Część najdłuższa jest dłuższa o (46,(6) − 20)/20 = 26,(6)/20 = 13,(3)/10 · 100% = 133,(3)% od części najkrótszej. (e) Część najkrótsza jest krótsza o (46,(6) − 20)/46,(6) = 26,(6)/46,(6) = 80/140 = 4/7 · 100% = 57,(142857)% od części najdłuższej.

45. Po obniżce o 2 punkty procentowe odsetki wynoszą 5% (zamiast 7%). Odsetki będą więc mniejsze o (7 − 5)/7 = 2/7 · 100% = 28,(571428)%.

46. Oznaczmy ceny zakupu pierwszego przedmiotu przez x, drugiego przez y. Wówczas x + y = 2050 zł. Ceny sprzedaży wynosiły odpowiednio x + 33,2%·x oraz y + 25%·y, a łączna cena sprzedaży 2050 zł + 30%·2050 zł. Po uproszczeniu możemy zapisać 133,2%·x + 125%·y = 130%·2050 zł lub 1,332·x + 1,25·y = 1,3·2050 zł. Z pierwszego równania wyliczamy y = 2050 zł − x i wstawiamy do drugiego równania, otrzymując 1,332·x + 1,25·(2050 zł − x) = 1,3·2050 zł czyli 1,332·x − 1,25·x = 1,3·2050 zł − 1,25·2050 zł czyli 0,082·x = 0,05·2050 zł. Ostatecznie x = 0,05·2050/0,082 zł = 1250 zł oraz y = 2050 zł − 1250 zł = 800 zł.

47. Mimo nietypowego sformułowania problemu, w zadaniu chodzi tylko o obliczenie procenta z danej liczby: 20%·75 = 15. Ania zaoszczędziła więc 15 zł.

48. (a) Cena nart w kwietniu wyniosła 825·(1 − 30%)·(1 − 20%) = 825·0,7·0,8 = 462 zł. (b) Gdyby cenę od razu obniżono o 50%, narty kosztowałyby 825·(1 − 50%) = 50%·825 = 412,50 zł. (c) Cenę nart obniżono o (825 − 462)/825 = 363/825 · 100% = 121/275 · 100% = 11/25 · 100% = 44%.

49. (a) Na czas promocji cenę obniżono o 1/5 · 100% = 20%. (b) Oznaczmy cenę pierwotną przez c; wówczas cena promocyjna p = (1 − 20%)·c = 80%·c. Zatem c = p /80% = p /0,8 · 100% = 10p /8 · 100% = 1000%·p /8 = 125%·p. Wzrost ceny wynosił więc 125% − 100% = 25%. Szybszy rachunek będzie, gdy założymy, że pierwotną ceną było 100, a obniżoną 80. Wówczas wzrost ceny to (100 − 80)/80 = 20/80 = 1/4 · 100% = 25%. (c) Cena promocyjna stanowiła 80/100 = 0,8 = 80% ceny normalnej. (d) Cena normalna stanowi 100/80 = 1,25 = 125% ceny promocyjnej.

50. Woda płynąca z kranów A, B i C napełnia basen w ciągu 4 godzin, zatem w ciągu godziny napełnianych jest 25% basenu. Przy tym woda płynąca tylko z kranu A napełnia 10% basenu, a woda płynąca tylko z kranu B napełnia 1/12 · 100% = 50/6 % = 25/3 % = 8,(3)% basenu. (a) Woda płynąca tylko z kranu C napełnia w ciągu godziny 25% − (10% + 8,(3)%) = 24,(9)% − 18,(3)% = 6,(6)% basenu. (b) Czas napełniania jest odwrotnością szybkości napełniania czyli części napełnionej w ciągu jednostki czasu. Napełnianie basenu tylko z kranu C potrwa więc 1/6,(6)% = 1/0,0(6) = 3/0,2 = 15/1 = 15 godzin. (c) Napełnianie basenu tylko z kranów A i B potrwa 1/(10% + 1/12) = 1/(0,1 + 0,08(3)) = 1/0,18(3) = 3/0,55 = 300/55 = 60/11 = 5 5/11 godziny. Tę samą wartość można wyrazić w ułamku dziesiętnym jako 5,(45) lub jako 5 h 27 min 16,(36) s. (d) Szybkość napełniania można wyrazić jako procent basenu napełnionego w ciągu godziny. Zatem szybkość napełniania tylko z kranu B wynosi 8,(3)%, a szybkość napełniania tylko z kranu A wynosi 10%. Szybkość napełniania z kranu B stanowi 8,(3)%/10% · 100% = 83,(3)% szybkości napełniania z kranu A. Szybkość napełniania z kranu C wynosi 6,(6)% i stanowi 6,(6)%/10% · 100% = 66,(6)% szybkości napełniania basenu z kranu A. (e) Woda płynąca tylko z kranu B napełni basen o (10% − 8,(3)%)/10% = 1,(6)/10 · 100% = 16,(6)% procent wolniej niż woda płynąca tylko z kranu A. (f) Woda płynąca tylko z kranu C napełni basen o (10% − 6,(6)%)/10% = 3,(3)/10 · 100% = 33,(3)% procent wolniej niż woda płynąca tylko z kranu A. (g) Czas napełniania basenu z kranu B wyniesie 12 godzin (odwrotność 1/12), a z kranu A wyniesie 10 godzin (odwrotność 10% = 1/10). Zatem czas napełniania basenu tylko z kranu B będzie dłuższy o (12 − 10)/10 = 1/5 · 100% = 20% niż gdyby napełniano go tylko z kranu A. (h) Czas napełniania basenu tylko z kranu C wyniesie 15 godzin (zob. punkt b), zatem będzie dłuższy o (15 − 10)/10 = 5/10 = 50% niż gdyby napełniano go tylko z kranu A.

Część poprzednia Spis treści Część następna