Wersja z 2015-03-20

Część poprzednia Spis treści Część następna

Grzegorz Jagodziński

13. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
mających wspólny dzielnik

Pani Kowalska pokroiła pizzę na cztery części i położyła je na stole, a potem wzięła jeszcze jedną pizzę i przekroiła ją na pół. Przyszedł jej syn Michał, zjadł pół pizzy, a potem jeszcze jeden kawałek pizzy przekrojonej na 4 części. Ile pizzy zjadł Michał?

Michał zjadł połówkę i ćwiartkę pizzy, zatem zjadł `1/2 + 1/4` pizzy. Trochę trudno nam opisać, ile to właściwie jest razem, zauważmy jednak, że byłoby o wiele łatwiej, gdyby połówkę pizzy przekroić na dwie części, czyli zrobić z niej dwie ćwiartki. Wówczas Michał zjadłby `2/4 + 1/4` pizzy – a to już umiemy dodać. Bez problemu ustalimy zatem, że zjadł `3/4` pizzy.

Zapiszmy zatem: `1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4`.


Operacja rozkrajania połówki na dwie ćwiartki, przedstawiona w powyższym zadaniu, to nic innego jak przykład sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika. Jest to operacja potrzebna do tego, by dodać lub odjąć ułamki. Wyobraźmy ją sobie jako rozcinanie kawałków pizzy o różnej wielkości na mniejsze w taki sposób, by otrzymać wszystkie kawałki o tej samej wielkości.

Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW). Dla mianowników 2 i 4 najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 4. Dzieje się tak, bo 4 dzieli się przez 2.

Naszym zadaniem jest więc to, by z ułamka o mianowniku 2 zrobić ułamek o mianowniku 4. Co jednak wtedy dzieje się z licznikiem? Zobaczmy: `1/2 = x/4`. Mianownik rośnie dwa razy, z 2 robi się 4. Licznik musi wzrosnąć tyle samo razy, zatem `1 * 2 = 2`. Naszym iksem jest więc 2, czyli końcowy ułamek to `2/4`.

W celu obliczenia nowego licznika niektórzy wolą nauczyć się następującego działania:

Proste? Zobaczymy, próbując poznane metody na innym przykładzie.


Pani Kowalska położyła na stole dwie pizze, przy czym jedną rozkroiła na cztery części, a drugą na osiem części. Przyszła Basia i zjadła jedną ćwiartkę, a potem jeszcze trzy kawałki pizzy rozkrojonej na 8 części. Ile pizzy zjadła Basia?

Zapiszmy odpowiednie działanie: `1/4 + 3/8`. Wynik obliczymy na trzy sposoby.

Sposób pierwszy (logiczny). Jeśli rozkroimy nożem ćwiartkę na dwie części, to okaże się, że są one takiej samej wielkości, jak trzy pozostałe kawałki pizzy (tej rozkrojonej na 8). Łącznie będziemy mieć więc 5 równych kawałków, czyli `5/8` pizzy.

Sposób drugi (matematyczny). Nie wiemy, jak dodać bezpośrednio `1/4 + 3/8`, ale wiemy, że gdyby mianownik 4 pomnożyć przez 2, to dostalibyśmy taki sam mianownik, jak w drugim ułamku (8). Aby działanie było poprawne, tyle samo razy (czyli też dwa razy) musimy zwiększyć licznik. Zatem `1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8`.

Sposób trzeci (automatyczny). Piszemy `1/4 + 3/8 = x/8 + 3/8` (zamiast `x` możemy zostawić wolne miejsce). Dzielimy nowy mianownik (8) przez stary (4), a wynik (2) mnożymy przez stary licznik (1), otrzymując nowy licznik (2). Zatem `1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8`.


Rozwiążmy kolejny problem. W sytuacji takiej samej jak wyżej (pizza rozkrojona na 4 części i pizza rozkrojona na 8 części) zjawił się Michał i zjadł dwie ćwiartki i pięć kawałków pizzy podzielonej na 8. Jaka to łącznie część pizzy?

Zadanie rozwiążemy sposobem automatycznym, ale oczywiście możliwe jest zastosowanie któregokolwiek z dwóch pozostałych. Mamy więc `2/4 + 5/8 = x/8 + 5/8`. Liczymy: `8 : 4 = 2, 2 * 2 = 4`, zatem `2/4 + 5/8 = 4/8 + 5/8 = 9/8`. Zgodnie z wcześniejszą umową, tak jednak wyniku nie zostawimy – wyłączymy całości: `9/8 = 1 1/8`. Okazuje się, że żarłok Michał zjadł jedną całą pizzę i jeszcze ósmą część drugiej.


A gdyby teraz spytać, jaka część pizzy została na stole po posiłku Michała? Możemy obliczyć to w dość złożony sposób (metoda pierwsza), analizując kolejne czynności osób uczestniczących w zdarzeniu. Najpierw pani Kowalska rozkraja pizzę na 4 części, na talerzu leżą więc cztery kawałki czyli `4/4` pizzy (co oczywiście oznacza jedną pizzę). Michał zjada dwa z tych kawałków, zatem pozostaje `4/4 - 2/4 = 2/4` pizzy.

Do tego dochodzi druga pizza. Pani Kowalska rozkraja ją na osiem części i kładzie na talerzu `8/8` (czyli całą pizzę podzieloną na 8 kawałków), a Michał zjada pięć części czyli `5/8`. Z drugiej pizzy pozostaje `8/8 - 5/8 = 3/8`.

Łącznie pozostaje więc `2/4` (z pierwszej pizzy) i `3/8` (z drugiej pizzy), czyli `2/4 + 3/8 = 4/8 + 3/8 = 7/8` pizzy.

Spróbujmy teraz to samo policzyć inaczej (metoda druga). Pani Kowalska położyła na stole łącznie 2 pizze. Michał zjadł łącznie `1 1/8` pizzy, co policzyliśmy wyżej. Zatem pozostało `2 - 1 1/8`. Jak to obliczyć?

Mówiliśmy w poprzednich częściach, że liczbę mieszaną możemy rozbić, i że używamy do tego takiego znaku, jaki stoi przed nią (jeśli stoi plus lub nie stoi nic, to używamy znaku plus, ale jeśli stoi minus, to używamy znaku minus). Możemy więc zapisać `2 - 1 1/8 = 2 - 1 - 1/8`. Pierwsze odejmowanie jest banalne: `2 - 1 - 1/8 = 1 - 1/8`. Ale co zrobić dalej?

Odpowiedź jest prosta: rozkroić pizzę na osiem części! No tak, to oczywiste, żeby z jednej pizzy zjeść jedną ósmą, trzeba przecież najpierw pizzę rozkroić na osiem kawałków. Matematycznie oznacza to zapisanie `8/8` zamiast `1`. Zatem `1 - 1/8 = 8/8 - 1/8`, a to już proste: `8/8 - 1/8 = 7/8`. Ponownie okazało się, że zostało `7/8` pizzy.


Zapamiętajmy: jeśli mamy odjąć ułamek od liczby 1, zamieniamy tę jedynkę na ułamek o takim samym liczniku i mianowniku. Np. `1 - 1/3 = 3/3 - 1/3 = 2/3`. Albo `1 - 2/5 = 5/5 - 2/5 = 3/5`. Albo `1 - 3/4 = 4/4 - 3/4 = 1/4`.

Czy tak samo jest z dodawaniem? No cóż, niekoniecznie. Przecież `1 + 1/3 = 1 1/3`. W takich wypadkach wystarczy ominąć znak plus. A jeśli z jakichkolwiek powodów musimy wynik wyrazić jako ułamek niewłaściwy, to przecież wiemy, jak to zrobić: `1 1/3 = 4/3`.

A co jeśli mamy ułamek odjąć od liczby całkowitej? Wtedy możemy tę liczbę rozbić na sumę jedynki i liczby o 1 mniejszej, a dalej wykorzystać poznane już metody. Np. `3 - 2/3 = 2 + 1 - 2/3 = 2 + 3/3 - 2/3 = 2 + 1/3 = 2 1/3`. Albo `10 - 6 5/6 = 10 - 6 - 5/6 = 4 - 5/6 = 3 + 1 - 5/6 = 3 + 6/6 - 5/6 = 3 + 1/6 = 3 1/6`.

Pożytecznie jest nauczyć się rozmieniania jednej całości na ułamek o żądanym mianowniku i takim samym liczniku bezpośrednio, a więc na przykład tak: `10 = 9 + 2/2`, lub `2 = 1 + 7/7`, lub `23 = 22 + 10/10`. Taka nietrudna przecież sztuczka pozwala nieco przyśpieszyć obliczenia, np. `3 - 2/3 = 2 + 3/3 - 2/3 = 2 + 1/3 = 2 1/3`. Albo `9 - 3/16 = 8 + 16/16 - 3/16 = 8 13/16` (etap ze znakiem plus między całościami a częścią ułamkową możemy przecież też sobie darować). Albo `8 - 2 1/8 = 6 - 1/8 = 5 + 8/8 - 1/8 = 5 7/8`.


Zadania

13.1. Oblicz:

`1/2 + 3/8`, `2/3 + 2/9`, `2/3 + 2/6`, `3/5 + 6/15`, `4/5 + 3/10`, `3/4 + 1/2`,
`1/6 + 1/3`, `1/5 + 3/10`, `2/5 + 4/15`, `2/5 + 17/20`, `50/51 + 1/17`, `5/6 + 2/3`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

Część poprzednia Spis treści Część następna