Wersja z 2015-03-20

Część poprzednia Spis treści Część następna

Grzegorz Jagodziński

12. Rozszerzanie ułamków

Pani Kowalska pokroiła pizzę na cztery części i położyła je na stole. Przyszła jej córka Dorota i zjadła jeden kawałek. Jaka to część pizzy?

Zadanie jest proste – jego rozwiązanie wynika wprost ze sposobu rozumienia ułamków (zob. część pierwsza). Skoro jedną pizzę podzielono na cztery części, to każda z części stanowiła `1/4` część pizzy.

Pani Kowalska pokroiła drugą pizzę na 8 części zamiast na 4. Przyszła Beata i stwierdziła, że zje tyle samo, ile zjadła Dorota. Ile powinna zjeść kawałków? Jaką to będzie część drugiej pizzy?

Kawałki pierwszej pizzy to czwarte części, kawałki drugiej pizzy to części ósme. Aby z części czwartej zrobić część ósmą, trzeba część czwartą rozkroić na pół. W ten sposób z jednej czwartej robią się dwie ósme: `1/4 = 2/8`. Beata musi zatem zjeść dwa kawałki pizzy pokrojonej na 8 części, aby zjeść tyle samo, co Dorota. Zjedzona przez nią część pizzy to `2/8`, ale możemy też równie dobrze powiedzieć, że jest to `1/4`, bo przecież oba te ułamki są równe.


Operacja zamiany ułamka na inny, o większym mianowniku, nazywa się rozszerzaniem ułamków. W świecie fizycznym rozszerzanie ułamków to nic innego jak rozkrajanie kawałków pizzy na mniejsze części i branie wszystkich tych mniejszych części powstałych z większych. Na przykład jeśli podzieliliśmy pizzę na pół i wybraliśmy jedną połówkę (czyli `1/2`), to będzie to oznaczało to samo, co rozkrojenie pizzy na 8 części i wzięcie 4 z nich (czyli `4/8`). Zapiszemy: `1/2 = 4/8`. Tego rodzaju operacja może być potrzebna, aby dodać lub odjąć ułamki. Powiemy o tym w kolejnej części.

W podanym przykładzie naszym zadaniem jest, by z ułamka o mianowniku 2 zrobić ułamek o mianowniku 8. Co jednak wtedy dzieje się z licznikiem? Zobaczmy: `1/2 = ?/8`. Mianownik rośnie cztery razy, bo z 2 robi się 8. Otóż aby obliczenie było poprawne, licznik musi wzrosnąć tyle samo razy, zatem `1 * 4 = 4`. W puste miejsce równości wpisujemy więc 4, czyli końcowy ułamek to `4/8`.

W celu obliczenia nowego licznika niektórzy wolą nauczyć się następującego działania:

Zatem `1/2 = 4/8`. Proste? Zobaczymy, próbując poznane metody na innych przykładach.


Pan Dobrowolski ma 12 identycznych sztabek złota. Postanowił przekazać synowi trzecią część skarbu. Ile to będzie sztabek?

Zadanie jest proste: wystarczy przecież liczbę sztabek (12) podzielić na 3. Okaże się wówczas, że syn otrzyma `12 : 3 = 4` sztabki. Zauważmy przy okazji, że 1 sztabka to `1/12` część skarbu. Zatem 4 sztabki to `4/12`. A skoro jest to trzecia część skarbu, to `1/3 = 4/12`. Nawet w tak mało zdawałoby się związanym z ułamkami zadaniu doszukaliśmy się rozszerzania ułamków.


Pani Kowalska położyła na stole dwie pizze, przy czym jedną rozkroiła na cztery części, a drugą na osiem części. Przyszła Basia i zjadła trzy ćwiartki, a potem przyszła Kasia, i zaczęła jeść kawałki drugiej pizzy. Ile powinna ich zjeść, by obie dziewczyny zjadły tyle samo?

Zapiszmy odpowiednie równanie: `3/4 = x/8`. Wynik obliczymy na trzy sposoby.

Sposób pierwszy (logiczny). Jeśli rozkroimy nożem ćwiartkę na dwie części, to otrzymamy dwa kawałki takiej samej wielkości, jak dwa kawałki pizzy rozkrojonej na 8 części. Zatem `1/4 = 2/8`. Z rozcięcia trzech większych kawałków otrzymamy sześć mniejszych. Inaczej mówiąc, `3/4 = 6/8`. Kasia powinna zjeść sześć kawałków pizzy podzielonej na osiem części.

Sposób drugi (matematyczny). Jeśli mianownik 4 pierwszego ułamka pomnożymy przez 2, to dostaniemy taki sam mianownik, jak w drugim ułamku (8). Aby działanie było poprawne, tyle samo razy (czyli też dwa razy) musimy zwiększyć licznik. Zatem `3/4 = 6/8`.

Sposób trzeci (automatyczny). Piszemy `3/4 = x/8` (zamiast `x` możemy zostawić wolne miejsce). Dzielimy nowy mianownik (8) przez stary (4), a wynik (2) mnożymy przez stary licznik (3), otrzymując nowy licznik (6). Zatem `3/4 = 6/8`.


Istnieją dwa zasadnicze typy zadań z rozszerzania ułamków. Pierwszy typ polega na tym, by rozszerzyć dany ułamek przez daną liczbę.

Np. mamy rozszerzyć `3/4` przez 3. W tym celu mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez podaną liczbę: `3/4 = (3*3)/(4*3) = 9/12`.

Wyjątkowo proste jest rozszerzanie przez 10, 100, 1000 itd. – musimy po prostu dopisać w liczniku i w mianowniku tyle zer, ile jest ich w liczbie, przez którą rozszerzamy. Np. mamy rozszerzyć `2/3` przez 100. Piszemy `2/3 = 200/300`.

Drugi typ zadań to doprowadzenie ułamka to postaci o podanym mianowniku, zwykle będącym wielokrotnością starego mianownika. Np. mamy rozszerzyć `1/5` tak, by otrzymać ułamek o mianowniku `20`. Piszemy `1/5 = ?/20`. Stosując podaną wyżej metodę automatyczną, obliczamy `20 : 5 * 1 = 4 * 1 = 4` i piszemy `1/5 = 4/20`.


Nic nie stoi na przeszkodzie, by rozszerzać ułamki o mianowniku 1. Operacja rozszerzenia przez dwa: `2/1 = 4/2` odpowiada przekrojeniu każdej z dwóch pizz na dwie części, tak by otrzymać łącznie 4 połówki. Możemy też rozszerzyć `2/1` do ułamka o mianowniku 4: `2/1 = 8/4`. Odpowiada to przekrojeniu każdej z dwóch pizz na cztery części, w wyniku której otrzymujemy osiem kawałków.

Zamiast ułamka możemy mieć podaną także liczbę całkowitą. Pamiętajmy, że dowolną liczbę całkowitą możemy przedstawić jako ułamek o mianowniku 1, np. `2 = 2/1` lub `87 = 87/1`. To sprawia, że rozszerzanie liczb całkowitych ma sens.

Przykład zadania pierwszego typu: rozszerzyć liczbę 5 przez 3. Piszemy `5 = 5/1 = (5*3)/(1*3) = 15/3`. Przy odrobinie sprytu możemy oczywiście napisać od razu: `5 = 15/3`. Podobnie postąpimy, rozszerzając 10 przez 10: `10 = 100/10` (w postaci rozpisanej: `10 = 10/1 = (10*10)/(1*10) = 100/10`.

Przykład zadania drugiego typu: rozszerzyć liczbę 2 tak, by otrzymać ułamek o mianowniku 3. Piszemy `2 = 2/1 = x/3` (zamiast `x` można zostawić wolne miejsce) i wyliczamy niewiadomą jedną z trzech metod, np. automatycznie: `3 : 1 * 2 = 3 * 2 = 6`. Zatem `2 = 2/1 = 6/3`. Etap środkowy można oczywiście pominąć. Podobnie postąpimy, rozszerzając `1` do ułamka o mianowniku `100`: `1 = 100/100`.


Rozszerzanie ułamków wydaje się działaniem trochę nonsensownym, skoro na ogół wymagamy, by w wynikach obliczeń ułamki skracać. Faktycznie ma ono jednak głęboki sens, bo umożliwia dodawanie i odejmowanie ułamków, o czym będzie mowa w kolejnej części kursu.

Rozszerzanie nie zawsze jest wykonalne, np. `1/2` nie da się rozszerzyć do ułamka o mianowniku `3`. Warto więc zauważyć, że:

Jako zwykły ułamek dziesiętny uda się zapisać `1/2`, `2/5` lub `7/20`, ale nie `1/15`. Dzieje się tak, bo np. `20 = 2 * 2 * 5`, ale `15 = 3 * 5` (w rozkładzie na czynniki występuje 3). Dla porządku policzymy ułamki dziesiętne odpowiadające podanym przykładom. Będą to `1/2 = 5/10`, `2/5 = 4/10`, `7/20 = 35/100`.

Jeśli dany ułamek spełnia podany warunek i można go zapisać jako zwykły ułamek dziesiętny, wówczas najmniejszy możliwy mianownik dziesiętny zależy od tego, jaka liczba jest w mianowniku rozszerzanego ułamka. Jeśli liczbę tę można zapisać jako iloczyn pewnej ilości dwójek i pewnej ilości piątek, to liczba zer ułamka dziesiętnego musi być równa co najmniej większej z tych dwóch liczb. Np. ułamek o mianowniku `4` da się rozszerzyć do ułamka dziesiętnego o mianowniku `100`, bo sto ma dwa zera, a cztery to iloczyn dwóch dwójek.

Z kolei jeśli mianownik ułamka równy jest `40`, to da się on rozłożyć na jedną piątkę i trzy dwójki (`40 = 5 * 2 * 2 * 2`). Większą z tych liczb jest trzy (w rozkładzie występują trzy dwójki). Zatem najmniejszym mianownikiem ułamka dziesiętnego będzie `1000` (czyli jedynka i trzy zera).

Jeszcze jeden przykład dla pełnej jasności. Niech dany ułamek ma mianownik `250`. Rozkładamy tę liczbę na czynniki: `250 = 5 * 5 * 5 * 2`. W rozkładzie występuje pięć piątek i jedna dwójka. Piątek jest więcej, bo aż trzy, więc to ich ilość decyduje. Ułamek dziesiętny musi mieć trzy zera, będzie nim więc liczba `1000` (lub większa).

Pamiętajmy, że wszelkie rozważania na temat możliwości rozszerzenia danego ułamka do dziesiętnego należy przeprowadzać dopiero po doprowadzeniu tego ułamka do postaci nieskracalnej. Weźmy np. ułamek niewłaściwy `9/6`. Ponieważ `6 = 2 * 3`, czyli ponieważ w rozkładzie mianownika na czynniki występuje trójka, ułamek nie powinien dać się rozszerzyć do dziesiętnego. Tak jednak nie jest, ponieważ `9/6 = 3/2`, a w mianowniku tego ułamka występuje liczba `2`, która jest pierwsza. Jest tylko jedna, więc ułamek dziesiętny może mieć w mianowniku jedno zero, zatem liczbę `10`. I rzeczywiście, `9/6 = 3/2 = 15/10`. Fakt, że ułamek jest niewłaściwy (licznik nie jest mniejszy niż mianownik), nie ma żadnego znaczenia. Ułamki niewłaściwe też można rozszerzać do dziesiętnych, o ile spełniony jest podany wyżej warunek (obecność w rozkładzie mianownika na czynniki tylko dwójek lub piątek).

Sam fakt, że ułamek jest skracalny, nie wpływa jeszcze na możliwość jego rozszerzenia do ułamka dziesiętnego. Np. ułamki `1/6` i `5/6` są nieskracalne i nierozszerzalne do ułamka dziesiętnego, ułamki `2/6` i `4/6` da się skrócić (odpowiednio do `1/3` i `2/3`), ale nie da się rozszerzyć do ułamków dziesiętnych, natomiast ułamek `3/6` można skrócić do `1/2` i rozszerzyć do `5/10`.

Rozszerzenia dziesiętne niektórych ułamków warto zapamiętać. Zebrano je poniżej.

  `1/2 = 5/10`  
`1/4 = 25/100`   `3/4 = 75/100`
`1/5 = 2/10` `2/5 = 4/10` `3/5 = 6/10` `4/5 = 8/10`
`1/8 = 125/1000` `3/8 = 375/1000` `5/8 = 625/1000` `7/8 = 875/1000`
Zadania

12.1. Rozszerz następujące ułamki:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

12.2. Rozszerz następujące ułamki:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

12.3. Rozszerz następujące liczby do ułamków:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

12.4. Jeśli to możliwe, zapisz podane ułamki jako zwykłe ułamki dziesiętne o możliwie najmniejszym mianowniku:

`1/4`, `2/5`, `7/14`, `8/14`,
`5/2`, `8/3`, `5/4`, `7/16`,
`1/9`, `2/10`, `3/25`, `3/50`,
`1/20`, `3/12`, `12/60`, `9/72`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

Część poprzednia Spis treści Część następna