Grzegorz Jagodziński

Umiejętność obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności, oznaczanej u nas skrótem NWW, a w literaturze anglojęzycznej lcm (least common multiple), pozwala na sprawne sprowadzanie do wspólnego mianownika ułamków, których mianowniki się różnią. Musimy ją opanować, zanim będziemy mogli kontynuować rozważania na temat dodawania i odejmowania ułamków.

Weźmy liczby `2` i `3`. Jeśli pomnożymy je przez siebie, otrzymamy `6`. Liczba otrzymana jako wynik mnożenia dzieli się zarówno przez `2`, jak i przez `3`.

Weźmy teraz liczby `2` i `4`. Moglibyśmy oczywiście postąpić podobnie jak w poprzednim przykładzie, otrzymując `8`. Okazuje się jednak, że już `4` dzieli się zarówno przez `2`, jak i przez `4`. Jeśli zatem szukamy najmniejszej liczby, która dzieli się przez dwie inne, podane, to mnożenie przez siebie tych dwóch liczb nie zawsze jest najlepszym rozwiązaniem. Bywa bowiem i tak, że większa liczba dzieli się mniejszą (i oczywiście przez siebie samą).

Weźmy z kolei liczby `4` i `6`. Tutaj większa liczba nie dzieli się przez mniejszą, zatem to nie `6` jest najmniejszą liczbą, która dzieli się przez `4` i przez `6`. Ale mnożenie liczb przez siebie też nie prowadzi do celu, istnieje bowiem liczba o poszukiwanej właściwości, mniejsza niż wynik mnożenia, którym jest `24`. Liczbą tą jest `12`.

Można znaleźć ją w następujący sposób. Bierzemy jedną z podanych liczb, na przykład `4`, i próbujemy dzielić ją przez drugą, sprawdzając, czy otrzymamy wynik całkowity. Liczba `4/6 = 2/3` nie jest całkowita, szukamy więc dalej, mnożąc `4` przez kolejne liczby naturalne 2, 3, 4, … Iloczyn `4 * 2` daje `8`, które nie jest podzielne przez `6`. Ale iloczyn `4 * 3` daje `12`, które dzieli się przez `6` i jest poszukiwaną liczbą.

Mnożenie liczby przez kolejne liczby naturalne dodatnie prowadzi do otrzymania jej wielokrotności. Liczby `4`, `8`, `12`, `16`, `20`, `24` itd. są więc kolejnymi wielokrotnościami liczby `4`. Zauważmy teraz, że wielokrotnościami liczby `6` są kolejno `6`, `12`, `18`, `24` itd., oraz że w obu zestawach powtarzają się liczby `12` i `24` (i nieskończenie wiele innych, większych). Nazywamy je, co dość oczywiste, wspólnymi wielokrotnościami liczb `4` i `6`. Spośród nich najmniejsza jest liczba `12`, dlatego nazywamy ją najmniejszą wspólną wielokrotnością `4` i `6`. Piszemy: `NWW(4,6) = 12`.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze, omawiany przy okazji największego wspólnego dzielnika (NWD), pozwala bardzo łatwo znaleźć także najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW). Otóż aby znaleźć NWW, mnożymy jedną z liczb przez te czynniki pierwsze w rozkładzie drugiej liczby, które nie występują w rozkładzie pierwszej liczby.

Podobnie jak w wypadku NWW, obliczenia możemy wykonać na dwóch kreskach (metodą szkolną) lub na jednej kresce (metodą optymalną), która jest jeszcze łatwiejsza niż metoda znajdowania NWD na jednej kresce.

Omówimy najpierw metodę szkolną, mało racjonalną. Rozkład liczby `4` prowadzi do uzyskania czynników `2` i `2`. Rozkład liczby `6` prowadzi do czynników `2` i `3`. Jak widać, jedna dwójka powtarza się w obu rozkładach. Aby obliczyć NWW, pomnożymy wszystkie czynniki jednego rozkładu (czyli po prostu nierozłożoną liczbę) przez niesparowane czynniki w drugim rozkładzie. Jeśli za pierwszą liczbę przyjmiemy `4`, to przemnożymy ją przez `3` (bo `2` w rozkładzie liczby `6` nie jest niesparowane i ma swoją parę w rozkładzie liczby `4`), co daje `12`. Jeśli za pierwszą liczbę przyjmiemy `6`, to przemnożymy ją przez `2` (bo jedna z dwóch dwójek występujących w rozkładzie liczby `4` ma swoją parę w rozkładzie liczby `6`, podczas gdy druga dwójka nie ma pary), co także prowadzi do wyniku `12`.

Innym przykładem niech będzie para `1260` i `2100`; rozkład tych liczb na czynniki przedstawiono w części 8. kursu. Obliczyliśmy wówczas, że `1260 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7` oraz że `2100 = 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 7`. Niech pierwszą liczbą będzie `1260`. Widzimy, że spośród liczb 2, 2, 3, 5, 5, 7 występujących w rozkładzie `2100` sparowane są niemal wszystkie z wyjątkiem jednej piątki. Zatem `NWW(1260,2100) = 1260 * 5 = 6300`.

Aby łatwiej znaleźć czynniki niesparowane, możemy podkreślić te, które tworzą pary. Na początku mamy więc liczby (2, 2, 3, 3, 5, 7) i (2, 2, 3, 5, 5, 7).

W rozkładzie liczby `1260` niesparowana pozostała tylko trójka, a w rozkładzie liczby `2100` – piątka. Zatem `NWW(1260,2100) = 1260 * 5` lub `NWW(1260,2100) = 2100 * 3`. Oba wyniki muszą być takie same; jeśli nie są, do naszych obliczeń zakradł się błąd.

Znacznie łatwiej jest posługiwać się obliczeniami NWW na jednej kresce, których z niezrozumiałych powodów nie przedstawia się w podręcznikach szkolnych. Zaczniemy od znalezienia `NWW(4,6)`.

4, 6	4, 6 \| 2 2, 3	4, 6 \| 2 2, 3 \| 2 1, 3	4, 6 \| 2 2, 3 \| 2 1, 3 \| 3 1, 1
a	b	c	d

wypisujemy liczby 4 i 6;
rysujemy pionową kreskę, a następnie znajdujemy wspólny czynnik, 2, pod spodem piszemy wyniki dzielenia: 2 i 3;
pierwsza z tych liczb znów dzieli się przez 2, dlatego przedłużamy kreskę i po prawej stronie piszemy kolejną dwójkę, a pod spodem wynik dzielenia: 1; ponieważ liczba 3 nie dzieli się przez 2, przepisujemy ją bez zmian;
żadna z liczb nie dzieli się przez 2, a tylko 3 dzieli się przez 3, zatem przedłużamy kreskę, piszemy po prawej 3, a pod spodem przepisujemy 1 oraz wpisujemy wynik dzielenia 3 przez 3, czyli 1.

Obliczamy `NWW(4,6)`, mnożąc liczby otrzymane po prawej stronie kreski, najlepiej od dołu do góry: `3 * 2 * 2 = 6 * 2 = 12`.

Teraz z kolei pokażemy sposób obliczenia `NWW(1260,2100)` z wykorzystaniem pojedynczej kreski.

1260, 2100

1260, 2100 | 2
 630, 1050

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525 | 3
 105,  175

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525 | 3
 105,  175 | 3
  35,  175

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525 | 3
 105,  175 | 3
  35,  175 | 5
   7,   35

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525 | 3
 105,  175 | 3
  35,  175 | 5
   7,   35 | 5
   7,    7

1260, 2100 | 2
 630, 1050 | 2
 315,  525 | 3
 105,  175 | 3
  35,  175 | 5
   7,   35 | 5
   7,    7 | 7
   1,    1

wypisujemy liczby 1260 i 2100;
rysujemy pionową kreskę, a następnie znajdujemy wspólny czynnik, 2, pod spodem piszemy wyniki dzielenia: 630 i 1050;
okazuje się, że obie te liczby znów dzielą się przez 2, dlatego przedłużamy kreskę, po prawej piszemy kolejną dwójkę, a pod spodem piszemy wyniki dzielenia: 315 i 525;
żadna z liczb nie dzieli się przez 2, ale obie dzielą się przez 3, piszemy więc po prawej 3, a pod spodem wyniki dzielenia: 105 i 175;
tym razem tylko pierwsza liczba dzieli się przez 3, więc piszemy 3 po prawej, a pod spodem wynik dzielenia 105 przez 3, czyli 35, zaś drugą liczbę, 175, przepisujemy bez zmian;
obie liczby dzielą się przez 5, co zapisujemy z prawej strony, a wynikami dzielenia są 7 i 35, co zapisujemy pod spodem;
tylko druga liczba dzieli się przez 5, zatem z prawej piszemy 5, a pod spodem przepisujemy 7 i piszemy wynik dzielenia 35 przez 5, czyli też 7;
obie (identyczne) liczby dzielą się przez 7, z prawej piszemy 7, a pod spodem wyniki dzielenia, czyli dwie jedynki, które kończą rozkład.

Obliczamy `NWW(1260,2100)`, mnożąc czynniki od dołu: `7 * 5 * 5 * 3 * 3 * 2 * 2 = 35 * 5 * 3 * 3 * 2 * 2 = 175 * 3 * 3 * 2 * 2 = 525 * 3 * 2 * 2 = 1575 * 2 * 2 = 3150 * 2 = 6300`. Mnożenie nie jest szczególnie trudne i nie wymaga nawet specjalnego sprytu. Część mnożeń odczytujemy po prostu z rozkładu, inne są łatwe do wykonania nawet bez pomocy kalkulatora.

Nie ma żadnych przeszkód, by posługując się jedną kreską obliczać największą wspólną wielokrotność trzech liczb czy też większej ich ilości (metoda szkolna na wielu kreskach robi się natomiast naprawdę niewygodna w stosowaniu w takich wypadkach). Obliczmy przykładowo `NWW(12,20,42)` z wykorzystaniem pojedynczej kreski.

12, 20, 42

12, 20, 42 | 2
 6, 10, 21

12, 20, 42 | 2
 6, 10, 21 | 2
 3,  5, 21

12, 20, 42 | 2
 6, 10, 21 | 2
 3,  5, 21 | 3
 1,  5,  7

12, 20, 42 | 2
 6, 10, 21 | 2
 3,  5, 21 | 3
 1,  5,  7 | 5
 1,  1,  7

12, 20, 42 | 2
 6, 10, 21 | 2
 3,  5, 21 | 3
 1,  5,  7 | 5
 1,  1,  7 | 7
 1,  1,  1

wypisujemy liczby 12, 20 i 42;
rysujemy pionową kreskę, a następnie znajdujemy wspólny czynnik, 2, pod spodem piszemy wyniki dzielenia: 6, 10 i 21;
okazuje się, że dwie pierwsze liczby znów dzielą się przez 2, dlatego przedłużamy kreskę, po prawej piszemy kolejną dwójkę, a pod spodem piszemy wyniki dzielenia: 3 i 5, oraz przepisujemy liczbę 21, która nie dzieli się przez 2;
żadna z liczb nie dzieli się przez 2, ale pierwsza i ostatnia dzielą się przez 3, piszemy więc po prawej 3, a pod spodem wyniki dzielenia tych dwóch liczb, natomiast liczbę 5 przepisujemy: 1, 5 i 7;
kolejną liczbą pierwszą, która jest dzielnikiem jednej z otrzymanych liczb, jest 5, zatem więc piszemy 5 po prawej, a pod spodem wynik dzielenia 5 przez 5, czyli 5, natomiast dwie pozostałe liczby, 1 i 7, przepisujemy bez zmian w odpowiednim miejscu;
ostatnią liczbą inną niż 1 jest 7 i jest to liczba pierwsza, zatem z prawej strony piszemy 7, a pod spodem przepisujemy dwie jedynki i dopisujemy wynik dzielenia 7 przez 7, czyli trzecią jedynkę, która kończy obliczenia.

Obliczamy `NWW(12,20,42)`, mnożąc czynniki od dołu: `7 * 5 * 3 * 2 * 2 = 35 * 3 * 2 * 2 = 105 * 2 * 2 = 210 * 2 = 420`.

Istnieją sytuacje, gdy mamy dwie liczby (lub większą ich ilość), i gdy nie tylko potrzebujemy obliczyć ich najmniejszą wspólną wielokrotność, ale interesuje nas też, jaką wielokrotnością każdej z liczb jest obliczona najmniejsza wspólna wielokrotność.

Aby to obliczyć, dzielimy `NWW(4,6)` kolejno przez `4` i `6`: `12 : 4 = 3`, `12 : 6 = 2`. Równie dobrze możemy dzielenia zapisać w postaci ułamków niewłaściwych (zob. druga część kursu): `12/4 = 3`, `12/6 = 2`. Zatem liczba `12`, będąca najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb `4` i `6`, jest trzykrotnością liczby `4` i dwukrotnością liczby `6`.

W starożytności ludzie miewali problemy z dzieleniem, dlatego właśnie w cywilizacji Międzyrzecza (stworzonej przez Sumerów i rozwiniętej przez Babilończyków) opracowano system liczenia i mierzenia, który umożliwiał łatwy podział większej jednostki na dwie, trzy, cztery, pięć lub sześć części. Najmniejszą liczbą o takiej właściwości jest `NWW(2,3,4,5,6) = 5 * 3 * 2 * 2 = 60` (rozkład na czynniki i odszukanie NWW należy sprawdzić samodzielnie na kartce, posługując się jedną kreską tak, jak to opisano wyżej). Sumeryjsko-babiloński sposób liczenia przetrwał do dziś: dzięki niemu mamy bowiem podział godziny na 60 minut, a minuty na 60 sekund. W geometrii stopień dzieli się także na 60 minut kątowych, a każda z minut na 60 sekund kątowych. Co więcej, do niedawna dzielono także sekundę (zarówno tą czasową, jak i kątową) na 60 tercji (a nawet dalej: tercję dzielono na 60 kwart).

Obliczanie ilości minut jest trochę niewygodne, ale z drugiej strony dzięki Sumerom i Babilończykom możemy łatwo podzielić godzinę na dwie, trzy, cztery, pięć lub sześć części. Przydaje się to w praktyce. Oto bowiem nowo wybudowane osiedle połączono linią autobusową z centrum miasta. Początkowo autobusy wykonywały dwa kursy na godzinę. Z czasem przepełnienie wymusiło na przedsiębiorstwie komunikacyjnym zwiększenie częstotliwości do 3 kursów na godzinę, później do 4 kursów, 5 kursów, wreszcie 6 kursów na godzinę. Co ile minut kursowały autobusy w każdym z rozkładów jazdy?

Dzięki sześćdziesiątkowemu systemowi liczenia kursy autobusów odbywały się o pełnych minutach w każdym z rozkładów jazdy. A czy byłoby możliwe dalsze zwiększenie częstotliwości kursowania autobusów tak, by odjazdy w dalszym ciągu odbywały się o pełnych minutach?

Okazuje się, że tak. Liczba `60` ma bowiem pokaźny zbiór naturalnych dzielników: `{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}` (są to wszystkie liczby naturalne, przez które `60` dzieli się bez reszty). Autobusy mogą więc (przynajmniej teoretycznie) kursować także 10 razy na godzinę (co 6 minut), 12 razy na godzinę (co 5 minut), 15 razy na godzinę (co 4 minuty), 20 razy na godzinę (co 3 minuty), 30 razy na godzinę (co 2 minuty), a nawet 60 razy na godzinę (co minutę).

Podział dnia i nocy na 60 godzin byłby dość niepraktyczny, dlatego Sumerowie i Babilończycy zrezygnowali z możliwości podziału dnia na 5 części wyrażonych „okrągłymi” godzinami. Podział dnia na dwie, trzy, cztery lub sześć części zapewni `NWW(2,3,4,6) = 3 * 2 * 2 = 12` godzin – i taka właśnie liczba się przyjęła w rachubie czasu stosowanej do dziś. Kiedyś 12 godzin dnia i 12 godzin nocy wyróżniano niezależnie (i ze względu na pory roku godziny dnia i godziny nocy na ogół różniły się długością). Później długości godzin wyrównano, dlatego dziś doba składa się z 24 równych godzin.

A gdyby jednak ktoś koniecznie chciał podzielić dzień (tj. okres 12 godzin) na 5 równych części? No cóż, tak rozumiany dzień liczy 12 godzin, każda zaś godzina liczy 60 minut. Łącznie mamy więc `12 * 60` minut w ciągu dnia (i mnożenia tego nie opłaca się wykonywać!). Podzielmy tę liczbę przez `5`: `12 * 60 : 5` = `12 * 60/5` = `12 * 12` (lepiej przecież skrócić ułamek `60/5` do całości niż wykonywać niepotrzebnie mnożenie `12 * 60`), co daje ostatecznie `144`. Tyle minut liczy piąta część dwunastogodzinnego dnia. Ponieważ `60` minut to godzina, a `120` minut to dwie godziny, piąta część dnia liczy dwie godziny i `144 - 120 = 24` minuty. Jeśli ktoś koniecznie musi dzielić dzień na pięć równych części, nie jest więc tak do końca bezradny: każda część trwa 2 h 24 min.

Aby obliczyć NWW, nie musimy rozkładać liczb na czynniki, co czasami bywa kłopotliwe. Możemy bowiem wykorzystać fakt, że iloczyn obu sprawdzanych liczb równy jest iloczynowi ich NWD przez ich NWW: `a b = NWW(a,b) * NWD(a,b)`. Wynika stąd, że `NWW(a,b) = (a b) / (NWD(a,b))`. Aby sprawnie policzyć NWW tą metodą, dzielimy większą z liczb przez ich NWD (obliczone w dowolny sposób, np. algorytmem Euklidesa, czyli bez rozkładu na czynniki), a wynik mnożymy przez drugą, mniejszą liczbę.

Obliczmy na przykład `NWW(986,748)`, wiedząc, że `NWD(986,748) = 34`. Mamy zatem: `NWW(986,748) = (986*748)/(NWD(986,748)) = (986*748)/34 = 29*748 = 21692`.

Największą wspólną wielokrotność (NWW) dwóch lub większej ilości liczb obliczamy, korzystając z rozkładu tych liczb na czynniki. Wbrew powszechnej praktyce szkolnej, najlepiej jest używać metody rozkładu z użyciem jednej kreski. Metoda ta jest szczególnie wygodna, gdy trzeba obliczyć NWW z kilku liczb.

Jeśli liczby są względnie pierwsze, tj. gdy w ich rozkładzie nie występują wspólne czynniki, wówczas NWW obliczamy, mnożąc te liczby przez siebie.

Gdy musimy obliczyć, jaką wielokrotność każdej z liczb stanowi ich najmniejsza wspólna wielokrotność. W tym celu dzielimy NWW przez tę liczbę.

Zadania

11.2. Agata przygotowuje skromne przyjęcie urodzinowe i spodziewa się przyjaciółek. Chce przed ich przybyciem pokroić tort tak, by każda osoba mogła zjeść tyle samo. Nie jest jednak pewna, ilu gości powinna się spodziewać. Na ile kawałków powinna pokroić tort, jeśli spodziewa się, że:

Uwaga ogólna: Agata nie będzie siedzieć i patrzeć, jak jej goście objadają się tortem, ale zechce zjeść go wspólnie z nimi.

Jeśli ma przyjść jedna lub dwie przyjaciółki, to przy stole znajdą się dwie lub trzy osoby. Tort należy podzielić na `NWW(2,3) = 2 * 3 = 6` kawałków. Wówczas jeśli przyjdzie jedna przyjaciółka, to i ona, i Agata zjedzą po trzy kawałki. Jeśli przyjdą dwie przyjaciółki, przy stole zasiądą łącznie trzy dziewczyny, i każda zje po dwa kawałki tortu.
Jeśli mają przyjść trzy lub cztery przyjaciółki, to przy stole znajdzie się cztery lub pięć osób. Tort należy podzielić na `NWW(4,5) = 4 * 5 = 20` kawałków. Jeśli przyjdą trzy przyjaciółki, każda z 4 osób przy stole dostanie po 5 kawałków. Jeśli przyjdą cztery przyjaciółki, przy stole znajdzie się pięć osób, i każda otrzyma po 4 kawałki.

Podział tortu na 20 równych części może się jednak okazać się przedsięwzięciem dość trudnym, dlatego Agata chyba wstrzyma się z krojeniem do czasu, gdy już wszyscy gości przybędą na uroczystość. Wtedy zaś podzieli tort na 4 lub na 5 części, w zależności od tego, czy przyjdą 3 czy 4 przyjaciółki.

11.3. Głębokie otchłanie kosmosu zamieszkują trzy rozumne cywilizacje: Bargainowie, Sensibowie i Bizarowie. Każda z nich, podobnie jak Ziemianie, mierzy czas w dobach i godzinach.

Doba u Bargainów składa się z pięciu równych okresów: poranek, przedpołudnie, popołudnie, wieczór i noc. Jednak ich religia każe im dzielić dobę na 4 równe okresy: czas snu, czas przebudzenia, czas aktywności i czas wyciszenia.

Społeczeństwo Sensibów prowadzi aktywność całodobową i dzieli dobę na równe części tak, by każdy pracujący członek ich społeczeństwa mógł pracować przez jedną trzecią doby, a wypoczywać przez dwie trzecie. Innymi słowy, pracują na 3 zmiany. Jednakże w zawodach kwalifikowanych, wymagających szczególnego wysiłku lub szczególnej uwagi, czas pracy jest krótszy i wynosi czwartą część doby, co pociąga za sobą pracę na 4 zmiany. Odróżniają poza tym czas dzienny i czas nocny, a każdy z nich dzielą na cztery równe okresy: początkowy, wczesny, późny i końcowy.

Bizarowie wyznają podobną religię co Bargainowie, i zgodnie z jej regułami wyróżniają cztery równe okresy w ciągu doby. Wszyscy pracują na trzy zmiany, przez jedną trzecią doby. Oprócz tego mają jednak swoją własną rachubę czasu, ponieważ dzielą dobę na dzień i noc, a każdy z tych okresów dzielą dalej na siedem równych odcinków, odpowiadających siedmiu głównym gwiazdozbiorom na ich niebie.

Mędrcy każdej z tych trzech cywilizacji wymyślili podział doby na godziny w taki sposób, by każdy z wyróżnianych okresów zaczynał się i kończył o pełnej godzinie, i by godzin nie było więcej niż potrzeba. Ile godzin liczy doba u Bargainów, ile u Sensibów, a ile u Bizarów? Ile godzin trwa każdy z okresów?
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Bargainowie dzielą dobę na pięć okresów oraz na cztery okresy, dlatego ich mędrcy podzielili ją na `NWW(5,4) = 5 * 4 = 20` godzin. Poranek, przedpołudnie, popołudnie, wieczór i noc trwają każdy po `20/5 = 4` godziny. Czasy snu, przebudzenia, aktywności i wyciszenia trwają po `20/4 = 5` godzin.
Sensibowie dzielą dobę na trzy zmiany zwykłej pracy, na cztery zmiany pracy kwalifikowanej, na dwa okresy: dnia i nocy, a poza tym na osiem okresów (cztery części dnia i cztery części nocy). Ich mędrcy podzielili dobę na `NWW(3,4,2,8) = 3 * 2 * 2 * 2 = 24` godziny. Zmiana zwykłego pracownika trwa `24/3 = 8` godzin. Pracownik kwalifikowany pracuje przez `24/4 = 6` godzin. Dzień i noc trwają po `24/2 = 12` godzin. Początkowy, wczesny, późny i końcowy okres dnia i nocy trwają po `24/8 = 3` godziny.
Bizarowie dzielą dobę na cztery okresy związane z religią, na trzy okresy związane z pracą, na dwa okresy: dzień i noc, oraz łącznie na czternaście okresów (po siedem w ciągu dnia i nocy) związanych z obserwacjami astronomicznymi. Mędrcy Bizarów zmuszeni byli więc podzielić dobę na `NWW(4,3,2,14) = 84` godziny. Czasy snu, przebudzenia, aktywności i wyciszenia trwają każdy po `84/4 = 21` godzin, zmiana w ich pracy trwa `84/3 = 28` godzin, dzień i noc liczą po `84/2 = 42` godziny, a każda z gwiezdnych części dnia i nocy trwa `84/14 = 42/7 = 6` godzin.

Bargainowie są chyba niezbyt pracowici, skoro po pięciogodzinnym śnie potrzebują aż pięciu godzin na przebudzenie się… Czy podział czasu u Sensibów czegoś nam nie przypomina? A co do Bizarów, to chyba nigdy nie używali zegarków z cyferblatami, co najwyżej wielkie zegary, na których mieściło się wiele niezbędnych symboli związanych z ich sposobem odmierzania czasu…

11.4. Planetę Beronia zamieszkują trzy całkiem różne cywilizacje. Ferhungowie dzielą rok na 8 równych miesięcy (liczących po tyle samo dni), Kanainowie na 9 równych miesięcy, zaś Dekemowie na 10 równych miesięcy. Ile dni liczy rok na Beronii? Wiadomo, że jest to najmniejsza liczba umożliwiająca takie podziały roku na miesiące. Po ile dni liczą miesiące? Jakie inne podziały roku na równe miesiące (liczące całkowita ilość dni) byłyby możliwe na tej planecie?
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Skoro miesiące są równej długości u każdej z trzech cywilizacji, to minimalna długość roku wynosi `NWW(8,9,10) = 5 * 3 * 3 * 2 * 2 * 2 = 15 * 3 * 2 * 2 * 2 = 45 * 2 * 2 * 2 = 90 * 2 * 2 = 180 * 2 = 360` dni. Miesiąc Ferhungów liczy `360/8 = 45` dni, miesiąc Kanainów liczy `360/9 = 40` dni, wreszcie miesiąc Dekemów liczy `360/10 = 36` dni.

Możliwe podziały roku wyznacza zbiór dzielników naturalnych liczby `360`. Aby go ustalić, będziemy próbowali dzielić `360` przez kolejne liczby, i zapisywać do zbioru zarówno dzielniki, jak i wyniki dzielenia.

`360` dzieli się oczywiście przez `1`, a wynikiem dzielenia jest `360`. Zapisujemy zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, …, 360}`.
`360` dzieli się przez `2`, wynikiem dzielenia jest `180`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, …, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `3`, wynikiem dzielenia jest `120`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, …, 120, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `4`, wynikiem dzielenia jest `90`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, …, 90, 120, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `5`, wynikiem dzielenia jest `72`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, …, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `6`, wynikiem dzielenia jest `60`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` nie dzieli się przez `7`.
`360` dzieli się przez `8`, wynikiem dzielenia jest `45`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, …, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `9`, wynikiem dzielenia jest `40`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, …, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` dzieli się przez `10`, wynikiem dzielenia jest `36`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, …, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` nie dzieli się przez `11`.
`360` dzieli się przez `12`, wynikiem dzielenia jest `30`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, …, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` nie dzieli się przez `13`.
`360` nie dzieli się przez `14`.
`360` dzieli się przez `15`, wynikiem dzielenia jest `24`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, …, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` nie dzieli się przez `16`.
`360` nie dzieli się przez `17`.
`360` dzieli się przez `18`, wynikiem dzielenia jest `20`. Zbiór już znalezionych dzielników `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, …, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.
`360` nie dzieli się przez `19`, co kończy obliczenia, bo dalsze liczby już mamy w zbiorze dzielników: `D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}`.

Jak widać, rok na Beronii można podzielić na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 lub 180 miesięcy, o ile przyjmiemy, że miesiąc to okres o innej długości niż dzień i innej niż rok (bo w ogólności rok można podzielić także na 1 lub 360 równych okresów).

Wielka liczba dzielników sprawiła zapewne, że liczbę `360` przyjęto jako liczbę stopni w kącie pełnym. Z treści zadania wynika też, że wystarczy żądanie, by koło dało się podzielić na 8, 9 oraz 10 części. W rzeczywistości liczba `360` jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb `5`, `8` i `9` (zatem automatycznie także `4` i `2` oraz `3`). Niejako przy okazji dzieli się ona także przez inne liczby z podanej wyżej listy.

Uzupełnienie…

`360` dzieli się przez liczby od jednego do sześciu, ale nie dzieli się przez `7`. Najmniejszą liczbą, która dzieli się przez liczby od `1` do `7` jest `NWW(1,2,3,4,5,6,7) = 7 * 5 * 3 * 2 * 2 = 420`, ale nie ma ona innych, wyższych dzielników, które ma `360`, takich jak `8`. Najmniejszą liczbą podzielną przez każdą z liczb od `1` do `10` (a także przez wiele innych) jest `2520`. Użycie tej liczby np. do mierzenia kątów byłoby jednak dość niewygodne.

4, 6	4, 6 \| 2 2, 3	4, 6 \| 2 2, 3 \| 2 1, 3	4, 6 \| 2 2, 3 \| 2 1, 3 \| 3 1, 1
a	b	c	d

11. Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Zadania