Wersja z 2014-12-11

Grzegorz Jagodziński

9. Dodawanie ułamków o jednakowym mianowniku

Pani Krupska podzieliła tort na 6 części. Przyszła jej córka Ania, i zjadła dwa kawałki. Chwilę później przyszedł jej brat Robert, i zjadł trzy kawałki. Jaką część tortu zjadły łącznie dzieci?

Zadanie to jest banalne, jeśli wczytamy się w treść, i nie będziemy się nadmiernie zastanawiać nad matematycznym zapisem wykonywanych operacji. Przecież jeśli pani Krupska podzieliła tort na 6 części, to na talerzu znalazło się łącznie 6 kawałków. Ania zjadła dwa kawałki, a Robert trzy kawałki, czyli łącznie pięć kawałków. Skoro zjedli pięć kawałków z istniejących sześciu, to znaczy, że łącznie zjedli `5/6` tortu.

Zauważmy, że Ania zjadła dwa kawałki, czyli `2/6` tortu, natomiast Robert zjadł trzy kawałki, czyli `3/6` tortu. Analizowaną sytuację można więc przedstawić w postaci obliczenia: `2/6 + 3/6 = 5/6`.

Sformułujmy zatem regułę dodawania ułamków o tym samym mianowniku. Jeśli dodawane ułamki mają taki sam mianownik, to dodajemy tylko liczniki, a jednakowy mianownik pozostawiamy bez zmian. Zatem `1/5 + 1/5` to nie dwie dziesiąte, ale `2/5`.

Pan Rzecki pokroił tort na 6 równych kawałków. Przyszedł jego syn Michał i zjadł 2 kawałki, a potem przyszła jego siostra Weronika, i zjadła jeszcze jeden kawałek. Jaka część tortu pozostała na talerzu?

Zadanie wydaje się niemal identyczne z poprzednim, ma jednak mały haczyk. Policzmy: `2/6 + 1/6 = 3/6`. No dobrze, ale czy nie da się tego zapisać prościej? Przecież jeśli jedno z dzieci zjadło 2 kawałki z 6, a drugie z dzieci jeden kawałek z 6, to oboje dzieci zjadły razem 3 kawałki, czyli połowę z ogólnej liczby sześciu kawałków! W życiu nie powiedzielibyśmy raczej, że zjadły trzy szóste tortu, ale po prostu, że zjadły pół tortu! Tak samo w matematyce, powinniśmy koniecznie skrócić utrzymany ułamek, i dlatego nasz zapis będzie wyglądać tak: `2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2`. I dopiero teraz rozwiązanie uznamy za poprawne i pełne.

Poprzedni przykład pokazuje, że po wykonaniu (dowolnego) działania na ułamkach powinniśmy skrócić wynik, chyba że w treści zadania wyraźnie zaznaczono, by tego nie robić.

Pani Żabińska kupiła dzieciom na kolację kilka pizz i podzieliła każdą z nich na cztery części. Każda rozkrojona w ten sposób pizza znajdowała się w osobnym pudełku. Dzieci otwierały kolejne pudełka i częstowały się kawałkami pizzy, a gdy nie zostało nic, otwierały następne pudełko. Staszek przyszedł do stołu pierwszy, zjadł dwa kawałki z pierwszego pudełka, dwa z drugiego, i jeszcze jeden kawałek z trzeciego. Ile pizzy zjadł Staszek?

Skoro każda pizza rozkrojona została na 4 części, oznacza to, że najpierw Staszek zjadł `2/4` pizzy. Uwaga: ułamków zwykle nie skracamy tak długo, jak długo wykonujemy na nich obliczenia. Od tej zasady są wyjątki, ale o nich później. Na razie przyjmujemy, że skracamy dopiero wynik, stąd pozostawiamy ułamek w postaci `2/4`. Po otwarciu drugiego pudełka Staszek znów zjadł `2/4` pizzy. Gdy otwarto trzecie pudełko, zdołał już zjeść tylko `1/4` pizzy. Łącznie zjadł więc `2/4 + 2/4 + 1/4 = 5/4` pizzy.

Jednak taki zapis znów niewiele nam mówi, choć tym razem ułamek jest nieskracalny. Przecież cztery kawałki utworzyłyby całą pizzę! W życiu codziennym nie mówimy przecież „trzy drugie”, ale „półtora” (co oznacza „jeden i pół”), i tak samo nie powiemy „pięć czwartych”, ale „jeden i jedna czwarta”. I choć nie wszyscy matematycy zwracają na to uwagę, lepiej jest wyłączyć całości, jeśli to tylko możliwe, dlatego też zapiszemy ostatecznie `2/4 + 2/4 + 1/4 = 5/4 = 1 1/4`. Staszek zjadł `1 1/4` pizzy, co możemy przeczytać (lub zapisać słowami): jedną pizzę i ćwierć.

Umawiamy się więc, że wykonaniu (dowolnego) działania na ułamkach powinniśmy wyłączyć całości, chyba że w treści zadania wyraźnie zaznaczono, by tego nie robić. Innymi słowy: wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnego ułamka właściwego lub liczby mieszanej z takim ułamkiem.

Na targu w Kaczych Dołach kupić można ozdoby choinkowe szczególnego rodzaju, o postaci pojedynczych ramion gwiazdy magów. Można je wieszać osobno, podobnie jak bombki, można też złożyć z nich całą gwiazdę i zawiesić ją na czubku bożonarodzeniowego drzewka. Na przedświąteczne zakupy wybrało się pięcioro rodzeństwa: Asia, Kasia, Mateusz, Jaś i Marysia. Dziewczęta kupiły po 4 ramiona gwiazdy, każdy z chłopców kupił natomiast trzy ramiona. Ile gwiazd mogą złożyć z posiadanych części?

Musimy zacząć od wyjaśnienia, że gwiazda magów to zwyczajowa nazwa gwiazdy siedmioramiennej, przypisywanego jako symbol kapłanom chaldejskim czyli babilońskim (zwykle tego typu informacje zawarte są w treści zadania) – zatem ramię stanowi `1/7` gwiazdy. Przy okazji: gwiazda pięcioramienna zwana jest gwiazdą mędrców, filozofów lub gwiazdą pitagorejską, gwiazda ośmioramienna to gwiazda Lakszmi, hinduskiej bogini szczęścia i pomyślności, zwłaszcza materialnej, sześcioramienna to gwiazda Dawida, a dziewięcioramienna – gwiazda Goliata.

Wróćmy jednak do zadania. Na targ poszły trzy dziewczynki (uwaga! w poleceniu nie są wymienione po kolei!) i dwaj chłopcy, zatem w sumie dzieci kupiły `4/7 + 4/7 + 4/7 + 3/7 + 3/7` gwiazdy. Aby szybko i sprawnie obliczyć wynik, zauważmy, że `4 + 3` daje `7`, a `7/7` to przecież po prostu `1`. Wykorzystujemy tu elementarną właściwość dodawania zwaną łącznością: jeśli mamy dodać kilka kolejno następujących po sobie liczb, możemy to zrobić w dowolnej kolejności. Przy okazji możemy też zmieniać kolejność dodawanych liczb, wykorzystując z kolei przemienność dodawania. Zapiszemy więc: `4/7 + 4/7 + 4/7 + 3/7 + 3/7 = 4/7 + 3/7 + 4/7 + 3/7 + 4/7 = 1 + 1 + 4/7 = 2 4/7`. Sprytny zabieg pozwolił nam uniknąć w ogóle zapisu wyniku w postaci ułamka niewłaściwego, ponieważ całości wyłączaliśmy w trakcie obliczeń, dodając do siebie ułamki w odpowiedniej kolejności.

Jeśli to możliwe, dodajemy ułamki tak, by obliczenia były jak najprostsze. Pamiętajmy, że matematyka jest często sztuką poszukiwania najprostszych sposobów obliczeń. Im bardziej bowiem złożone rachunki, tym większa możliwość popełnienia błędu.

Trzej chłopcy: Franek, Antek i Tadek wzięli na wycieczkę 5 drożdżówek. Każdy z chłopców zjadł po jednej drożdżówce, a pozostałe dwie postanowili podzielić każdą na 4 równe części. Franek zjadł dodatkowo trzy ćwiartki, Antek tylko dwie, a Tadek zjadł resztę. Ile drożdżówek zjedli razem Franek i Tadek?

Nie zapominajmy, że najpierw każdy z chłopców zjadł jedną drożdżówkę. Po rozkrojeniu każdej z dwóch drożdżówek na cztery części otrzymano osiem kawałków (każdy z nich stanowił ćwiartkę czyli `1/4` drożdżówki). Franek zjadł całą drożdżówkę i trzy ćwiartki, a więc `1 3/4`. Antek zjadł tylko dwie ćwiartki, czyli łącznie `1 2/4` drożdżówki (czyli `1 1/2`). Skoro z ośmiu ćwiartek trzy zostały zjedzone przez Franka, a dwie przez Antka, musiały pozostać jeszcze trzy, które zjadł Tadek. Łącznie z całą drożdżówką zjadł więc `1 3/4`, czyli dokładnie tyle, co Franek.

Ile zatem Franek i Tadek zjedli łącznie? Policzmy: `1 3/4 + 1 3/4`. W takich sytuacjach części całkowite dodajemy do części całkowitych, a części ułamkowe do ułamkowych. Powinniśmy więc napisać `1 3/4 + 1 3/4 = 2 6/4`. Jednak taki zapis nie przedstawia przecież typowej liczby mieszanej, bo część ułamkowa jest ułamkiem niewłaściwym. Niektórzy matematycy zapis taki uznaliby za błąd, dlatego lepiej go unikać, i to w niezwykle prosty sposób: po prostu w takich obliczeniach między całości a ułamek wstawiamy znak plus. Nasz rachunek wyglądać będzie zatem tak: `1 3/4 + 1 3/4 = 2 + 6/4`, i już żaden matematyk do tego się nie „przyczepi”.

Oczywiście rachunek nie jest zakończony! Otrzymany ułamek trzeba jeszcze skrócić, zamienić na liczbę mieszaną, i na końcu dodać całości. Piszemy więc: `1 3/4 + 1 3/4 = 2 + 6/4 = 2 + 3/2 = 2 + 1 1/2 = 3 1/2`.

Dwie pierwsze wymienione wyżej operacje możemy też równie dobrze wykonać w odwrotnej kolejności: `1 3/4 + 1 3/4 = 2 + 6/4 = 2 + 1 2/4 = 2 + 1 1/2 = 3 1/2`.

Możemy też odłożyć skracanie na sam koniec: `1 3/4 + 1 3/4 = 2 + 6/4 = 2 + 1 2/4 = 3 2/4 = 3 1/2`. Każdy z przedstawionych sposób jest dobry, warto więc poćwiczyć wszystkie możliwości.

Całości i ułamki dodajemy niezależnie od siebie. Na wszelki wypadek starajmy się w obliczeniach nie stosować zapisów typu „całość ułamek niewłaściwy”, bo są to zapisy nieformalne. W razie jakichkolwiek wątpliwości między całości a ułamek wstawiamy znak plus. Znak ten opuszczamy najlepiej dopiero wówczas, gdy ułamek został już skrócony i jest na pewno właściwy (licznik jest mniejszy niż mianownik).

Zadania

Jeśli to możliwe, w wynikach wszystkich zadań wyłącz całości i skróć ułamki. Inaczej mówiąc, wyniki przedstaw w postaci nieskracalnych ułamków właściwych lub liczb mieszanych z takimi ułamkami.

9.1. Oblicz:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

9.2. Oblicz, wyłączając całości:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

9.3. Oblicz, wyłączając całości:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

9.4. Oblicz, skracając ułamek w wyniku:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

9.5. Oblicz:

Pokaż Ukryj rozwiązanie