Wersja z 2014-01-13

Część poprzednia Spis treści Część następna

Grzegorz Jagodziński

7. Ułamki o liczniku równym mianownikowi i ułamki o mianowniku 1

Poprzedni rozdział był dość obszerny, teraz więc na odmianę zajmiemy się o wiele prostszym zagadnieniem.


Najpierw przyjrzymy się ułamkom niewłaściwym, które mają licznik równy mianownikowi, jak `5/5`. Ponieważ są to ułamki skracalne, nie można ich zostawiać w takiej postaci w zadaniach. Można oczywiście bawić się w próbę skracania przez 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, tak jak podano to w poprzednim rozdziale, warto jednak zapamiętać gotową regułę mówiącą, że takie ułamki są równe 1. Będziemy zatem pisać od razu `5/5 = 1`, nie bawiąc się w próby skracania dotychczas poznanymi metodami.

Przecież rzeczywiście, jeśli pan Kowalczyk, który ma pięcioro dzieci, kupił 5 bułek, to jest oczywiste bez jakichkolwiek obliczeń, że każde dziecko dostanie po jednej bułce. Matematyka nie jest sztuką dla sztuki, wymyślono ją po to, by pomagała nam w życiu codziennym (a także po to, by rozwijała nasz intelekt i stymulowała go do większego wysiłku). Przecież nie użyjemy raczej komputera do wbijania gwoździa, podobnie nieracjonalne byłoby skracanie ułamków tam, gdzie ich wartość jest oczywista. Zapamiętajmy zatem ważną regułę:

`a/a = 1`

Ułamek, który ma taki sam licznik i mianownik, skracamy do liczby 1

Dla porządku tylko przypomnimy, że `a` oznacza tu liczbę naturalną dodatnią, bo takie założenie zrobiliśmy w rozdziale pierwszym i na razie pozostaje ono w mocy. W szczególności `a` nie może być więc równe zeru.


Przyjrzyjmy się teraz państwu Kosowskim, którzy mają tylko jedno dziecko. Obojętnie ile kupią dla niego cukierków, to nie będzie się ono musiało nimi dzielić z rodzeństwem, i dostanie wszystkie (chyba że zechce poczęstować rodziców, co by na pewno było mile widziane, ale nie należy do naszego zadania). Jeśli więc dwa cukierki podzielimy przez jedno dziecko, to wynikiem będą dwa cukierki (`2 : 1 = 2/1 = 2`), jeśli pięć cukierków podzielimy przez jedno dziecko, to wynikiem będzie pięć cukierków (`5 : 1 = 5/1 = 5`), jeśli `a` cukierków podzielimy przez jedno dziecko, to wynikiem będzie `a`. Zatem:

`a/1 = a`

Jeśli mianownik jest równy 1, to go opuszczamy (razem z kreską ułamkową)

Uwaga: pod żadnym pozorem nie można nigdy opuszczać licznika! `1/5` to `1/5`, a nie `5`! Podobnie pół tysiąca długu nie oznacza, że ktoś winny jest dwa tysiące!


Przypomnijmy tylko dla porządku, że `1/1` to `1`, co wynika z każdej z obu podanych tu reguł. Ułamek taki odczytujemy jedna pierwsza. Podobnie `2/1` to dwie pierwsze, `10/1` to dziesięć pierwszych itd.


A jak zapisać najprościej ułamek `6/2`? Możemy go oczywiście skrócić przez dwa: `6/2 = 3/1`, z czego wynika ostatecznie na mocy podanej wyżej reguły, że `6/2 = 3/1 = 3`.

Czy jednak nie byłoby prościej po prostu podzielić licznik przez mianownik? Z rozdziału pierwszego wiemy, że ułamek można i należy rozumieć jako zapis dzielenia. Zwykle to dzielenie zamienialiśmy na ułamek, jak na przykład w przykładzie `1 : 3 = 1/3`. Mało to, ułamek taki nazywaliśmy najprostszą postacią wyniku.

Jednak w wypadku ułamka `6/2` prościej jest zrobić odwrotnie. Jeśli zauważamy, że licznik dzieli się przez mianownik, to dzielenie takie wykonujemy. Zatem `6/2 = 6 : 2 = 3`. Obyło się bez skracania, wyciągania całości i innych operacji, związanych z ułamkami.

Warto pamiętać, że kreska ułamkowa to znak dzielenia. Przypomina nam o tym prawie każdy kalkulator. Nie musimy wcale zapisywać ułamka jako dzielenia ze znakiem dwukropka. Nie musimy nawet zamieniać poziomej kreski ułamkowej na ukośną. Wystarczy, jeśli napiszemy `6/2 = 3`.

W ten sam sposób, bez żadnych dodatkowych reguł, możemy rozumieć także ułamki typu `5/5` oraz `5/1`. Z elementarnej nauki dzielenia wiemy przecież, że `5 : 5 = 1` oraz że `5 : 1 = 5`. To samo musi przecież zachodzić, gdy zamiast dwukropka napiszemy kreskę ułamkową, bo ułamki to także zapis dzielenia. Właśnie dlatego `5/5 =1` i `5/1 = 5`!

Zadania

7.1. Zapisz w najprostszej postaci:

`1/1`, `2/1`, `2/2`, `4/2`, `12/2`, `100/2`,
`1/3`, `3/1`, `3/3`, `9/3`, `16/4`, `5/5`,
`10/5`, `10/10`, `14/7`, `49/7`, `72/9`, `110/11`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

Część poprzednia Spis treści Część następna