Wersja z 2014-01-13

Grzegorz Jagodziński

6. Skracanie ułamków

Ułamki, zwłaszcza właściwe i mieszane, można uznać za formę zapisu liczb, których nie da się już zapisać prościej. Okazuje się jednak, że istnieją ułamki, które można uprościć.

Przeanalizujmy taki oto przykład. Pani Wiśniewska dostała 4 pizze i ma za zadanie rozdzielić je po równo między sześciorgiem swoich dzieci. Gdyby zastosowała metodę zaprezentowaną w pierwszym rozdziale, podzieliłaby każdą z pizz na 6 kawałków, a następnie wręczyłaby każdemu z dzieci po 4 kawałki (tyle, ile było pizz). Okazuje się jednak, że może też postąpić inaczej.

Otóż sześcioro dzieci można podzielić na dwie równe grupy (po 3 dzieci w grupie), i jednocześnie 4 pizze można podzielić także na dwie równe grupy (po 2 pizze w grupie). Wystarczy więc teraz każdą pizzę podzielić nie na 6, ale na 3 kawałki, i wręczyć po 2 kawałki każdemu dziecku, a nikt nie będzie pokrzywdzony.

Wykonaliśmy właśnie następujące działanie: `4 : 6 = 4/6 = 2/3`.

Zapamiętajmy regułę: ułamek skracamy, dzieląc jednocześnie licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Na przykład `4/6` możemy skrócić przez 2, otrzymując `2/3`.

Rozważmy teraz inny przykład. Na stołówce szkolnej żywi się trzydzieścioro sześcioro dzieci. Jako dodatek do posiłku zakupiono dwanaście drożdżówek. W jaki sposób podzielić je równo między dzieci?

Musimy wykonać dzielenie `12 : 36`, co daje nam najpierw ułamek `12/36`. Widać od razu, że zarówno jego licznik, jak i mianownik, dzieli się przez 2, zatem `12/36 = 6/18`. Ale otrzymany ułamek znów można skrócić przez 2: `6/18 = 3/9`. Okazuje się, że wciąż możemy skrócić otrzymany ułamek, jednak tym razem przez 3: `3/9 = 1/3`. Otrzymanego ułamka skrócić dalej nie można (choćby dlatego, że jego licznikiem jest 1, czyli najmniejsza liczba naturalna dodatnia, której nie da się już podzielić tak, by otrzymać całość). Ostatecznie: `12 : 36 = 1/3`.

Oczywiście wyjściowy ułamek `12/36` można było od razu skrócić przez 4: `12/36 = 3/9`, albo przez 6: `12/36 = 2/6`, albo nawet przez 12: `12/36 = 1/3`. Wszystko zależy od spostrzegawczości i sprawności w posługiwaniu się tabliczką mnożenia. Często jednak szybciej jest skracać kolejno ułamek przez jak najmniejsze liczby, tak jak robiliśmy to pierwotnie.

Ułamki można podzielić na skracalne i nieskracalne. Ułamek jest nieskracalny, gdy nie ma takiej liczby, przez którą można jednocześnie podzielić licznik i mianownik. Ułamek nieskracalny można uznać za najprostszy sposób przedstawienia liczby. Dlatego w zadaniach wymagamy, aby wynik był zapisany w postaci ułamka nieskracalnego (oczywiście o ile wynikiem jest ułamek).

Inaczej mówiąc: podanie w odpowiedzi ułamka skracalnego jest zwykle błędem. W każdym zadaniu otrzymany ułamek musimy skrócić, jeśli to tylko jest możliwe, chyba że polecenie jest inne.

Jeśli skracamy ułamek etapami, sprawdzamy kolejno jednoczesną podzielność licznika i mianownika przez 2, 3, 5, 7, 11, 13… O liczbach tych powiemy więcej w kolejnym rozdziale.

Nie zapominajmy, że w liczniku i mianowniku możemy opuścić taką samą ilość zer (co oznacza skrócenie przez 10, 100, 1000 itd.). Wynika to z reguł dzielenia pisemnego. Na przykład `50/60 = 5/6, 20/100 = 2/10 = 1/5` (opuszczamy jedno zero!), `500/13000 = 5/130 = 1/26` (skracamy przez 100, opuszczając po dwa zera, następnie skracamy przez 5).

Uwaga: przy skracaniu staramy się niczego nie przekreślać! Nie miałoby to żadnego sensu, skoro i tak wynik skracania piszemy obok. Można jedynie, jeśli to komuś pomaga, skreślać nadmiarowe zera. Nawet jednak w takim wypadku piszemy obok wynik bez skreśleń.

Skróćmy `2808/8424`.

• Skracamy zadany ułamek przez 2, otrzymując `1404/4212`.
• Wynik znów skracamy przez 2: `702/2106`.
• Jeszcze raz skracamy przez 2: `351/1053`.
• Ani licznik, ani mianownik nie dzielą się przez 2, więc sprawdzamy ich podzielność przez 3, korzystając z reguł podzielności, tj. sprawdzając sumy cyfr. W dodawaniu możemy pominąć cyfry 3, dlatego liczymy tylko `5 + 1 = 6` dla licznika oraz `1 + 5 = 6` dla mianownika; w obu wypadkach wynikiem jest 6, które jest podzielne przez 3, więc zarówno 351, jak i 1053 dzielą się przez 3. Ułamek `351/1053` można więc skrócić przez 3, otrzymując `117/351`.
• Okazuje się, że znów tak licznik, jak i mianownik dzielą się przez 3 (sprawdź sumę cyfr!), ułamek można więc znów skrócić przez 3, otrzymując `39/117`.
• I znów możliwe jest skrócenie przez 3, w wyniku czego otrzymujemy `13/39`.
• Licznik (13) nie dzieli się przez 3 (co wiemy z tabliczki mnożenia lub z dodawania cyfr: `1 + 3 = 4`), nie dzieli się także przez 5, ani przez 7, ani przez 11. Dzieli się oczywiście przez 13 (bo `13 : 13 = 1`). Pozostaje jeszcze tylko sprawdzić, czy mianownik także dzieli się przez 13 (skracać ułamek można, jeśli licznik i mianownik jednocześnie dzielą się przez tę samą liczbę). Rzeczywiście, `39 : 13 = 3`. Zatem `13/39` możemy skrócić przez 13, otrzymując `1/3`.
• Ostatecznie okazało się, że `2808/8424 = 1/3`.

Ułamek `2808/8424` jest skracalny przez 2808, ale dzielenie mianownika przez tę liczbę wydaje się trudne, zwłaszcza bez pomocy kalkulatora. Natomiast metoda skracania etapami okazała się stosunkowo nieskomplikowana, nawet jeśli nieco żmudna.

Przeanalizujmy jeszcze jeden prosty przykład. Pani Twardowska ma czworo dzieci. W jaki sposób ma rozdzielić między nie dziesięć drożdżówek?

Z rozdziału trzeciego wiemy, że najprościej będzie, jeśli pani Twardowska najpierw da każdemu dziecku po dwie drożdżówki. W ten sposób rozda łącznie 8 drożdżówek i do podziału pozostaną dwie ostatnie. Mogłaby rozdzielić każdą z nich na 4 części, byłoby to jednak działanie nieracjonalne, bowiem `2/4` (ilość pozostałych drożdżówek / ilość dzieci) to ułamek skracalny, dający się skrócić przez 2 (zarówno dzieci, jak i pozostałe drożdżówki, można podzielić na 2 równe grupy): `2/4 = 1/2`. Wystarczy więc, jeśli każdą z dwóch pozostałych drożdżówek podzieli na pół, i wręczy każdemu z dzieci dodatkowo po pół drożdżówki, oprócz tych 2 drożdżówek, które już każde dostało.

Rozwiązanie naszego zadania zapiszemy więc tak: `10 : 4 = 10/4 = 2 2/4 = 2 1/2`. Zwróćmy uwagę, że jeśli jako ostateczny wynik podamy `2 2/4`, zadanie będzie rozwiązane źle, bo ułamek nie będzie nieskracalny.

Możemy też najpierw skrócić ułamek, a dopiero później wyłączyć całości: `10 : 4 = 10/4 = 5/2 = 2 1/2`. Takie rozwiązanie jest równie poprawne.

Zadania

6.1. Pani Malinowska ma czworo dzieci. Przyniosła ze sklepu dwie pizze. Jak powinna rozdzielić je równo pomiędzy dzieci tak, by żadne nie czuło się pokrzywdzone?
Pokaż Ukryj rozwiązanie

6.2. Pan Jabłczyński hoduje 8 krów. W jaki sposób powinien rozdzielić między nie 20 wiązek siana tak, by każda krowa dostała tyle samo?
Pokaż Ukryj rozwiązanie

6.3. Pani Pająk hoduje 6 krów. W jaki sposób powinna rozdzielić między nie 20 wiązek siana tak, by każda krowa dostała tyle samo?
Pokaż Ukryj rozwiązanie

6.4. Zapisz w najprostszej postaci:

Pokaż Ukryj rozwiązanie

6.5. Wykonaj dzielenia:

Wyłącz całości, jeśli to możliwe.
Pokaż Ukryj rozwiązanie