Wersja z 2014-01-13
Najpierwotniejszym znaczeniem pojęcia „ułamek” jest „część całości”. Ułamkami będą więc takie wielkości dobrze znane z życia codziennego, jak „połowa” czy „ćwiartka”. Znane były już starożytnym Egipcjanom i używane przez nich w sztuce i technice.
W matematyce połowę zapisuje się symbolem `1/2` i odczytuje jedna druga. Poziomą kreskę, zwaną kreską ułamkową, należy zapisywać na początku, dopiero później górną cyfrę 1, stanowiącą licznik (w terminologii międzynarodowej, praktycznie niestosowanej u nas, numerator), wreszcie na końcu dolną cyfrę 2, stanowiącą mianownik (w terminologii międzynarodowej: denominator). Ułamek ten można także zapisywać z kreską ukośną: `1//2`.
Zapis `1/2` (lub `1//2`) można rozumieć na dwa sposoby:
Egipcjanie używali przede wszystkim ułamków o liczniku 1, dlatego takie ułamki do dziś nazywamy egipskimi. Należą do nich np. `1/3` czyli jedna trzecia, `1/4` czyli jedna czwarta, a potocznie ćwiartka, `1/5` czyli jedna piąta, itd.
Ułamek nazywamy właściwym, jeśli jego licznik jest mniejszy od mianownika. Do grupy tej należą wszystkie ułamki egipskie, ale także np. `2/3` czyli dwie trzecie, `3/4` czyli trzy czwarte (choć oba te ułamki były Egipcjanom znane, nie nazywamy ich egipskimi), `2/5` czyli dwie piąte, `3/5` czyli trzy piąte, itd. Na razie interesować nas będą tylko ułamki, których licznik i mianownik stanowią liczby naturalne dodatnie (1, 2, 3, 4, …).
Na przykład zapis `3/4` można rozumieć na dwa sposoby:
Pierwszy sposób rozumienia ułamków właściwych widzi w nich istotnie części całości. Drugi sposób pokazuje, że ułamek można rozumieć jako zapis dzielenia. Okazuje się więc, że np. `2/3` to inny sposób zapisu dzielenia `2 : 3`, albo też sposób zapisu wyniku tego dzielenia. Podobnie `1/4` to wynik dzielenia `1 : 4`.
Pierwszym rodzajem liczb, które poznajemy, zwiedzając świat matematyki, są liczby naturalne (0, 1, 2, 3, itd.). Liczby takie możemy swobodnie dodawać i mnożyć, nie zawsze jednak udaje się je odejmować i dzielić. Pierwszy problem rozwiązuje zapoznanie się z liczbami ujemnymi, drugi problem natomiast pomagają rozwiązać ułamki (choć nie do końca, bo dzielenie przez zero w dalszym ciągu pozostaje niewykonalne).
1.1. Pan Nowak ma pięcioro dzieci. Przyniósł ze sklepu trzy drożdżówki. Czy istnieje sposób, by podzielić je równo pomiędzy dzieci tak, by żadne nie czuło się pokrzywdzone?
rozwiązanie
1.2. Jak rozdzielić po równo dwa jabłka pomiędzy trzech ludzi?
rozwiązanie