Wersja z 2023-10-26
English version • Wersja dwujęzyczna • Bilanguage version
| funkcje podstawowe | ||||
|---|---|---|---|---|
| sinus (sin) | `sin alpha = y/r` | cosinus (cos) | `cos alpha = x/r` | |
| tangens (tg, tan) | `"tg" alpha = y / x` | cotangens (ctg, cot) | `"ctg" alpha = x/y` | |
| secans (sec) | `sec alpha = r/x` | cosecans (csc, cosec) | `csc alpha = r/y` | |
| funkcje dodatkowe | ||||
| sinus versus (vsin, versin) | `"vsin" alpha = 1 - cos alpha` | sinus coversus (cvsin, coversin) | `"cvsin" alpha = 1 - sin alpha` | |
| cosinus versus (vcos, vercos) | `"vcos" alpha = 1 + cos alpha` | cosinus coversus (cvcos, covercos) | `"cvcos" alpha = 1 + sin alpha` | |
| semi sinus versus (svsin, sversin, sem, hav, havsin) | `"svsin" alpha = (1 - cos alpha)/2` | semi sinus coversus (scvsin, scoversin, scv, hacvsin) | `"scvsin" alpha = (1 - sin alpha)/2` | |
| semi cosinus versus (svcos, svercos, havcos) | `"svcos" alpha = (1 + cos alpha)/2` | semi cosinus coversus (scvcos, scovercos, hacvcos) | `"scvcos" alpha = (1 + sin alpha)/2` | |
| exsecans (exsec) | `"exsec" alpha = sec alpha - 1` | excosecans (excsc, excosec) | `"excsc" alpha = csc alpha - 1` | |
| funkcje specjalne | ||||
| chorda (crd) | `"crd" alpha = sqrt(sin^2 alpha + "vsin"^2 alpha)` | cochorda (ccrd, cocrd) | `"ccrd" alpha = sqrt(cos^2 alpha + "cvsin"^2 alpha)` | |
| sagitta (sgt) | `"sgt" alpha = "vsin" alpha/2` | cosagitta (csgt, cosgt) | `"csgt" alpha = "cvsin" alpha/2` | |
Jeśli nie zależy nam na wielkiej dokładności i dopuszczamy błąd względny na poziomie 4,5%, możemy przyjąć, że `pi = 3`. Używając papieru kratkowanego, przyjmijmy 1 cm (dwie kratki) za jednostkę na osi `OY`, natomiast 3 cm (6 kratek) za `pi` (czyli kąt 180°) na osi `OX`.
Aby wykonać odręczny przybliżony wykres funkcji `y = sin x`, zaznaczmy na wykresie punkty o następujących współrzędnych:
Zaczynamy od zera i poruszamy się początkowo w górę. Poruszamy się tak, by nie przekroczyć ekstremalnych wartości `y = 1` i `y = -1`, za każdym razem zmieniając wysokość o jedną kratkę. W kierunku poziomym stosujemy natomiast rytm `1 - 2 - 2 - 1`, potem znów `1 - 2 - 2 - 1`, powtarzany tak długo, jak długo będzie potrzebny.
Zaznaczone punkty łączymy „gładką” linią tak, by jej krzywizna zmieniała się płynnie.
W razie potrzeby możemy zaznaczyć punkty `x = pi/4`, `y = 0.7` oraz `x = pi/3`, `y = 0.85`. Wartości rzędnych są tu przybliżone do pół milimetra. W praktyce taka dokładność jest aż nadto wystarczająca, a w zwykłych zastosowaniach – trudna do uzyskania. Zresztą na ogół te dodatkowe punkty nie są potrzebne do sporządzenia wykresu.
Wykres wykonujemy na podobnej zasadzie, jednak zaczynamy od punktu o współrzędnych `x = 0`, `y = 1`. Kolejne punkty zaznaczamy dokładnie według schematu dla funkcji sinus, a więc `x = pi/6`, `y = 1/2`, następnie `x = pi/2`, `y = 0` itd.
Na początku zaznaczamy asymptoty pionowe przecinające prostą `OX` w punktach `x = pi/2`, `x = 3/2 pi`, `x = 5/2 pi` itd. (co `pi`, gdyż tyle właśnie wynosi okres funkcji tangens). Jeśli potrzeba, zaznaczamy też asymptoty `x = -pi/2`, `x = -3/2 pi`, `x = -5/2 pi`, itd.
Przede wszystkim wykorzystujemy następujące punkty funkcji o dokładnych współrzędnych:
W razie potrzeby zaznaczamy analogiczne punkty co `pi` w prawo lub w lewo wykresu.
To jednak raczej nie wystarczy do wykreślenia ładnej tangensoidy. Możemy zatem skorzystać z punktów o współrzędnych przybliżonych, wziętych ze sporą dokładnością:
Zaznaczamy też dalsze punkty w analogicznych miejscach, wynikających z symetrii środkowej wykresu funkcji tangens (np. `x = 7/12 pi`, `y = -3.75`, lub `x = 2/3 pi`, `y = -1.75`).
Punkt wykresu dla `x = pi/6` na ogół nie jest konieczny. W razie potrzeby zaznaczamy go dla `y = 0.6`, co jest przybliżeniem wartości dokładnej z błędem względnym poniżej `4%`.
Wykres funkcji cotangens wykonujemy w analogiczny sposób, jak wykres funkcji tangens:
Oznaczenia:
| wzór | dane | szukane | ||
|---|---|---|---|---|
| `A + B + C = 180°` | suma kątów w trójkącie | `A, B` | `C = 180° - A - B` | |
| `a/(sin A) = b/(sin B) = c/(sin C) = 2R` | wzór sinusów, twierdzenie Snelliusa | `a, A, B` | `b = (a sin B)/(sin A)` | |
| `a, b, A` | `sin B = (b sin A)/a` | |||
| `c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C` | wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, twierdzenie al-Kasziego, uogólnione twierdzenie Pitagorasa | `a, b, C` | `c = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab cos C)` | |
| `a, b, c` | `cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)` | |||
| `cos B = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)` | ||||
| `cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)` | ||||
| `c = a cos B + b cos A` | wzór rzutów | `a, b, A, B` | `c = a cos B + b cos A` | |
| `a, b, A, C` | `c = (b - a cos C)/(cos A)` | |||
| `a, b, c, A` | `cos B = (c - b cos A)/a` | |||
| `cos C = (b - c cos A)/a` | ||||
| `(a + b)/c = (cos (A - B)/2)/(cos (A + B)/2)` | wzory Mollweide’a | `a, b, A, B` | `c = (a + b) (cos (A + B)/2)/(cos (A - B)/2)` | |
| `(a - b)/c = (sin (A - B)/2)/(sin (A + B)/2)` | `c = (a - b) (sin (A + B)/2)/(sin (A - B)/2)` | |||
| `(a + b)/(a - b) = ("tg" (A + B)/2)/("tg" (A - B)/2)` | wzór tangensów Nepera / Regiomontana | `a, b, C` | 1 | `A + B = 180° - C` |
| 2 | `"tg" (A - B)/2 = (a - b)/(a + b) "tg" (A+ B)/2` | |||
| `"tg" (A - B)/2 = (a - b)/(a + b) "ctg" C/2` | ||||
| 3 | `A = ((A + B) + (A - B))/2` | |||
| 4 | `B = ((A + B) - (A - B))/2` | |||
| `"tg" C = (c sin B)/(a - c cos B) = (c sin A)/(b - c cos A)` | wzór tangensów | `a, A, B` | `c = a cos B + (a sin B)/("tg" A)` | |
| `a, c, B` | `"tg" A = (a sin B)/(c - a cos B)` | |||
| `"tg" C = (c sin B)/(a - c cos B)` | ||||
| `("ctg" A/2)/(p - a) = ("ctg" B/2)/(p - b) = ("ctg" C/2)/(p - c) = 1/r` | wzór cotangensów | `a, b, c, A` | `"ctg" B/2 = (p - b)/(p - a) "ctg" A/2` | |
| `"ctg" C/2 = (p - c)/(p - a) "ctg" A/2` | ||||
| `sin^2 C/2 = ((p - a)(p - b))/(ab)` | wzory połówkowe | `a, b, c` | `sin A/2 = sqrt(((p - b)(p - c))/(bc))` | |
| `cos A/2 = sqrt((p(p - a))/(bc))` | ||||
| `"tg" A/2 = sqrt(((p - b)(p - c))/(p(p - a)))` | ||||
| `cos^2 C/2 = (p(p - c))/(ab)` | `sin B/2 = sqrt(((p - a)(p - c))/(ac))` | |||
| `cos B/2 = sqrt((p(p - b))/(ac))` | ||||
| `"tg" B/2 = sqrt(((p - a)(p - c))/(p(p - b)))` | ||||
| `"tg"^2 C/2 = ((p - a)(p - b))/(p(p - c))` | `sin C/2 = sqrt(((p - a)(p - b))/(ab))` | |||
| `cos C/2 = sqrt((p(p - c))/(ab))` | ||||
| `"tg" C/2 = sqrt(((p - a)(p - b))/(p(p - c)))` | ||||
| `sin A = (2S)/(bc)` | `a, b, c` | `sin A = 2/(bc) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))` | ||
| `sin B = 2/(ac) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))` | ||||
| `sin C = 2/(ab) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))` | ||||
| wzór | dane | szukane |
|---|---|---|
| wysokość trójkąta | `b, C` | `h_a = b sin C` |
| `c, B` | `h_a = c sin B` | |
| `a, C` | `h_b = a sin C` | |
| `c, A` | `h_b = c sin A` | |
| `a, B` | `h_c = a sin B` | |
| `b, A` | `h_c = b sin A` | |
| środkowe trójkąta | `a, b, c` | `m_a = 1/2 sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)` |
| `m_b = 1/2 sqrt(2a^2 + 2c^2 - b^2)` | ||
| `m_c = 1/2 sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2)` | ||
| dwusieczne trójkąta | `a, b, c` | `l_A = (sqrt(bcp(p - a)))/(b + c)` |
| `l_B = (sqrt(bcp(p - b)))/(a + c)` | ||
| `l_C = (sqrt(bcp(p - c)))/(a + b)` | ||
| promień okręgu wpisanego | `a, b, c` | `r = sqrt(((p - a)(p - b)(p - c))/p)` |
| `a, b, c, A` | `r = (p - a) "tg" A/2` | |
| `a, b, c, B` | `r = (p - b) "tg" B/2` | |
| `a, b, c, C` | `r = (p - c) "tg" C/2` | |
| `a, b, c, S` | `r = S/p` | |
| `a, b, c, R` | `r = (abc)/(4pR)` | |
| promień okręgu opisanego | `a, A` | `R = a/(2 sin A)` |
| `a, b, c, r` | `R = (abc)/(4pr)` | |
| `a, b, c, S` | `R = (abc)/(4S)` | |
| pole trójkąta | `a, h_a` | `S = 1/2 ah_a` |
| `a, b, C` | `S = 1/2 ab sin C` | |
| `a, B, C` | `S = (a^2 sin B sin C)/(2 sin (B + C))` | |
| `a, b, c` | `S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))` | |
| `a, b, c, r` | `S = pr` | |
| `a, b, c, R` | `S = (abc)/(4R)` | |
| `A, B, C, R` | `S = 2R^2 sin A sin B sin C` |
| wzór | dane | szukane | ||
|---|---|---|---|---|
| wzór | dane | szukane |
|---|---|---|
Zacznij od pogrubionego odcinka, którego długość jest równa 1. Kontynuuj z trójkątem, do którego należy ten jednostkowy odcinek: wyraź długość dwóch jego pozostałych boków funkcjami trygonometrycznymi. Następnie zrób to samo z innymi trójkątami, używając boków o już znanych długościach jako bazy. Na koniec znajdź potrzebną funkcję sumy lub różnicy kątów.
 |
 |
|
| `sin` `(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta` | `sin` `(alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta` | |
| `cos` `(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta` | `cos` `(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta` | |
 |
 |
|
| `"tg" (alpha + beta) = ("tg" alpha + "tg" beta)/(1 - "tg" alpha "tg" beta)` | `"tg" (alpha - beta) = ("tg" alpha - "tg" beta)/(1 + "tg" alpha "tg" beta)` | |
| `sec` `(alpha + beta) = (sec alpha sec beta)/(1 - "tg" alpha "tg" beta)` | `sec` `(alpha - beta) = (sec alpha sec beta)/(1 + "tg" alpha "tg" beta)` | |
 |
 |
|
| `"ctg" (alpha + beta) = ("ctg" alpha "ctg" beta - 1)/("ctg" alpha + "ctg" beta)` | `"ctg" (alpha - beta) = ("ctg" alpha "ctg" beta + 1)/("ctg" beta - "ctg" alpha)` | |
| `csc` `(alpha + beta) = (csc alpha csc beta)/("ctg" alpha + "ctg" beta)` | `csc` `(alpha - beta) = (csc alpha csc beta)/("ctg" beta - "ctg" alpha)` |
Grafika stanowi ręcznie zmodyfikowaną wersję diagramów umieszczonych na Wikipedii