Grzegorz Jagodziński

W tym artykule będziemy się zajmować rodzajem wielościanów, zwanych pryzmatoidami. Są to bryły tego rodzaju, że wszystkie ich wierzchołki leżą w dokładnie dwóch płaszczyznach. Ustalimy, jak obliczyć objętość takich brył. Inaczej niż w wielu podręcznikach matematyki, zacznijmy od brył najprostszych i najbardziej regularnych. Skupimy się zatem na najprostszym i najbardziej regularnym z pryzmatoidów, mianowicie na sześcianie.

Sześcian

Sześcian, jak sama nazwa mówi, ma sześć ścian. Każda z nich jest identycznym kwadratem o boku `a`, zatem pole powierzchni całkowitej sześcianu to `P = 6a^2`. Między sąsiadującymi krawędziami sześciany są kąty proste. Zauważmy też, że możemy znależć dokładnie dwie równoległe płaszczyzny takie, że będą na nich leżeć wszystkie wierzchołki sześcianu.

W rzeczywistości można wskazać trzy pary takich równoległych płaszczyzn. Będziemy jednak analizować płaszczyzny poziome, zawierające ściany `ABCD` oraz `A^'B^'C^'D^'` sześcianu. Ściany te nazwiemy podstawami sześcianu. Pozostałe cztery to ściany boczne.

Sześcian ma dwanaście krawędzi. Cztery z nich ograniczają dolną podstawę, cztery kolejne ograniczają górną podstawę. Są jeszcze cztery krawędzie łączące wierzchołki podstawy dolnej z odpowiadającymi im wierzchołkami podstawy górnej.

Sześcian ma osiem wierzchołków. Cztery z nich leżą w płaszczyźnie dolnej podstawy, i czery leżą w płaszczyźnie górnej podstawy sześcianu.

Objętość sześcianu wynika z definicji tego pojęcia: jest równa iloczynowi długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Ponieważ krawędzie te są równej długości, objętość sześcianu wynosi `a^3`. Stąd wyrażenie to odczytujemy jako „`a` sześcian”.

Na przykład sześcian o krawędzi `a = 1` ma objętość `V = 1`, sześcian o krawędzi `a = 2` ma objętość `V = 8`, a sześcian o krawędzi `a = 3` ma objętość `V = 27`, co można prześledzić na rysunku:

Długość krawędzi `a` nie musi być liczbą całkowitą; może także być ułamkiem, a nawet liczbą niewymierną. Obliczanie objętości odbywa się w każdym przypadku tak samo.

Zauważmy, że gdy zwiększymy długość krawędzi `k` razy, to objętość wzrośnie `k^3` razy. Np. jeśli powiększyć dwukrotnie długość krawędzi `a_1 = 2` (do długości `a_2 = 4`), to wówczas objętość wzrośnie `2^3 = 8` razy, tzn. zmieni się z `V_1 = 2^3 = 8` do `V_2 = 64`. I podobnie, gdy krawędź o długości `a_1 = 1.25` powiększyć cztery razy, otrzymując krawędź `a_2 = 5`, to wówczas objętość `V_1 = 1.25^3 = 1.953125` zwiększy się `4^3 = 64` razy do wartości `V_2 = 125`.

Sześcian jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa, równoległościanu i prostopadłościanu (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim sześcian nosi nazwę cube.

Prostopadłościan

Trzy krawędzie sześcianu wychodzące z jednego wierzchołka mają taką samą długość. Gdy krawędzie to dowolnie wydłużymy lub skrócimy, niekoniecznie w takim samym stopniu, otrzymamy prostopadłościan. Sześcian jest szczególnym rodzajem prostopadłościanu.

Najprostszy przypadek polega na wydłużeniu lub skróceniu tylko krawędzi pionowej. Otrzymana bryła nosi tradycyjnie nazwę graniastosłup prawidłowy czworokątny, choć oczekiwana byłaby nazwa prostopadłościan prawidłowy. Dwie jego krawędzie poziome są tej samej długości.


prostopadłościan prawidłowy skrócony	sześcian	prostopadłościan prawidłowy wydłużony

Podstawy prostopadłościanu prawidłowego są kwadratami, każda o polu `P_p = a^2`. Cztery ściany boczne są przystające, każda z nich ma pole `P_s = ac`. Pole powierzchni całkowitej tej bryły wyraża zatem wzór:

Gdyby ustawić dwa sześciany jeden na drugim, objętość otrzymanej bryły będzie dwukrotnie większa od objętości każdego z sześcianów. Widać więc, że jeśli podstawa jest stała, to wówczas objętość prostopadłościanu jest proporcjonalna do jego wysokości, czyli do długości krawędzi pionowej. Stąd wnioskujemy, że rzeczywiście objętość prostopadłościanu prawidłowego (graniastosłupa prawidłowego czworokątnego) jest iloczynem pola podstawy `P_p = a^2` przez wysokość, która jest równa długości krawędzi pionowej `c`.

W dowolnym prostopadłościanie każda z trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka może mieć inną długość. W ogólności, prostopadłościan to wielościan mający 6 prostokątnych ścian, parami przystających. Dwie ściany prostopadłościanu mające wspólną krawędź są do siebie prostopadłe. Wszystkie kąty między trzema krawędziami zbiegającymi się w danum wierzchołku są proste.

Każdy prostopadłościan, nie tylko sześcian, ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. W ogólności ściany są trzech rodzajów i parami przystające (podstawy górna i dolna, ściany boczne prawa i lewa, ściany boczne czołowa i tylna). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest więc równe:

Gdyby dwa identyczne prostopadłościany ustawić ściśle jeden obok drugiego, oznaczałoby to utworzenie nowego prostopadłościanu, którego jedna z krawędzi byłaby dwa razy dłuższa niż w każdym z prostopadłościanów wyjściowych. Objętość otrzymanej bryły również byłaby dwa razy większa. Analogicznie można zmieniać długość każdej z krawędzi. Zmiana długości tylko jednej krawędzi pewną ilość razy powoduje zmianę objętości bryły tyle samo razy. Inaczej mówiąc, objętość prostopadłościanu jest proporcjonalna do długości każdej z krawędzi wychodzącej z jednego wierzchołka, przy ustalonych długościach dwóch pozostałych krawędzi. Zatem objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi długości trzech wzajemnie prostopadłych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

Prostopadłościan jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa i równoległościanu (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim prostopadłościan nosi nazwę cuboid.

Równoległościan

Dwanaście krawędzi prostopadłościanu tworzą trzy grupy, każdą złożoną z czterech krawędzi tej samej długości, należących do tego samego kierunku (czyli równoległych względem siebie). W danym wierzchołku zbiegają się trzy krawędzie, każda należąca do innego kierunku. W prostopadłościanie są one względem siebie prostopadłe. Jeśli usuniemy ten warunek prostopadłości, otrzymamy bryłę o nazwie równoległościan.

Równoległościan szczególny

Na początek weźmy zwykły sześcian i pochylmy go w jedną stronę tak, by wysokość bryły `h = a` (równa długości krawędzi podstawy) nie uległa zmianie. Efekt taki można osiągnąć tylko poprzez odpowiednie wydłużenie czterech krawędzi. Oto efekt takiej modyfikacji:

Kąt `beta` znajduje się między krawędziami `a` oraz `c` (nazewnictwo jest tego rodzaju, by litery i ich geckie odpowiedniki się nie pokrywały). Podstawy `ABCD` oraz `A^'B^'C^'D^'` otrzymanej bryły, szczególnego kwadratowego równoległościanu jednoskośnego, wciąż są kwadratami, każdy o polu powierzchni `a^2`. Pochyłe ściany boczne (lewa i prawa) `ADD^'A^'` i `BCC^'B^'` są prostokątami o bokach `a` i `c`, zatem pole powierzchni każdej z nich wynosi `ac`, przy czym `c = h/sin beta`. Wreszcie ściany w kształcie równoległoboków (czołowa i tylna) `ABB^'A^'` i `DCC^'D^'` mają każda pole powierzchni `ah` lub `ac sin beta`. Ponieważ `h = a`, więc pole powierzchni każdej z tych równoległościanów wynosi `a^2`. Pole powierzchni całkowitej tego równoległościanu wynosi zatem:

Aby obliczyć objętość otrzymanej bryły, możemy wykorzystać dwie metody. W pierwszej metodzie odetniemy prawy „nawis” bryły `CBB^('')C^('')C^'B^'` i przykleimy go z lewej strony jako `DA A^('')D^('')D^'A^'`:

Bryła `ABCDA^('')B^('')C^('')D^('')` jest sześcianem, ma więc óbjętość `V = a^3`. Stąd i objętość równoległościanu `ABCDA^'B^'C^'D^'` (przed cięciem i klejeniem) wynosi

Wykonując podobnego typu operacje rozcinania i sklejania można pokazać, że objętość dowolnego równoległościanu nie zmienia się, jeśli nie zmieniają się podstawy i odległość płaszczyzn zawierających te podstawy, czyli wysokość bryły. Można natomiast dowolnie przesuwać jedną z podstaw (bez obracania jej).

Druga metoda obliczenia objętości badanego równoległościanu bazuje na spostrzeżeniu, że objętość pozostaje taka sama, jeśli nie zmienia się wysokość bryły ani kształt czy wielkość żadnego z przekrojów bryły dowolną płaszczyzną poziomą (równoległą do podstaw). Tak właśnie jest w wypadku badanego równoległościanu: każdy jego przekrój płaszczyzną poziomą (na dowolnej wysokości) pozostaje dokładnie taki sam, jak przekrój sześcianu o krawędzi `a`. Stąd i objętość tego równoległościanu jest taka sama, jak objętość sześcianu, czyli wynosi `V = a^3`.

Szczególny kwadratowy równoległościan dwuskośny powstaje, gdy górną podstawę sześcianu przesuniemy nie tylko w prawo, ale także w tył bryły. W omawianym przypadku (podstawa jest kwadratem, wysokość równa jest krawędzi podstawy, `h = a`) bryła wygląda tak:

Pole powierzchni każdej podstaw wynosi ciągle `P_p = a^2` (podstawy nie uległy zmianie). Każda ze ścian: czołowa i tylna ma powierzchnię `P_1 = ac sin beta`, każda ze ścian: lewa i prawa ma powierzchnię `P_2 = ac sin alpha`. Powierzchnia całkowita bryły wynosi więc:

Zauważmy też, że jeśli oznaczymy przez `x`, `y` odpowiednie przesunięcia ściany górnej w bok i do tyłu, to `x/c = cos beta` oraz `y/c = cos alpha`, a przy tym `h^2 + x^2 = g^2`, `g^2 + y^2 = c^2`, `h = a`. Wynika stąd, że `a^2 + x^2 + y^2 = c^2`, `x = c cos beta` i `y = c cos alpha`. Zatem ostatecznie `c = a/sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta) = a/sqrt(sin^2 alpha - cos^2 beta) = a/sqrt(sin^2 beta - cos^2 alpha)`, oraz:

`P = 2a^2[1 + (sin alpha + sin beta)/sqrt(sin^2 alpha - cos^2 beta)] = 2a^2[1 + (sin alpha + sin beta)/sqrt(sin^2 beta - cos^2 alpha)]`

Objętość zależy od pola powierzchni podstaw i od wysokości (która jak pamiętamy jest tu równa krawędzi podstawy, `h = a`), zatem wynosi:

Szczególny równoległościan trójskośny powstaje, gdy podstawa bryły jest także równoległobokiem, a nie kwadratem. Rozpatrzmy sytuację, gdy wysokość tego równoległoboku `h` pozostaje tej samej długości, co jedna z jego krawędzi: `h = a`, i jednocześnie wysokość bryły `H` także pozostaje równa tej krawędzi: `H = a`. Zauważmy, że pole podstawy `ABCD` (a także podstawy `A^'B^'C^'D^'`) w takich warunkach wciąż równa się `a^2`. Niech kąt ostry między krawędziami `a` i `b` podstawy wynosi `gamma`. Długość dwóch kawędzi podstawy wynosi `a`, a dwóch pozostałych `b = h/sin gamma = a/sin gamma = a csc gamma`.

Ściany boczne czołowa `ABB^'A^'` i tylna `DC C^'D^'` rozpięte są na krawędziach `a` i `c`, kąt między nimi jest równy `alpha`. Długość krawędzi `c` wynosi (jak w równoległościanie dwuskośnym) `c = a/(sin alpha sin beta) = a csc alpha csc beta`. Pole każdej z tych dwóch ścian wynosi `P_1 = ac sin alpha = a^2/sin beta = a^2 csc beta`.

Ściany boczne lewa `A A^'D^'D` i prawa `BB^'C^'C` rozpięte są na krawędziach `b` i `c`, kąt między nimi jest równy `beta`. Pole każdej z nich wynosi `P_2 = bc sin beta = a^2/(sin alpha sin beta sin gamma) = a^2 csc alpha csc beta csc gamma`.

`P = 2a^2 + 2ac sin alpha + 2bc sin beta = 2a^2 (1 + 1/sin beta + 1/(sin alpha sin beta sin gamma)) = 2a^2 (1 + csc beta + csc alpha csc beta csc gamma)`

Objętość zależy od pola powierzchni podstaw i od wysokości (która jak pamiętamy jest tu równa krawędzi podstawy, `h = a`), zatem wynosi:

Istnieją dwa rodzaje omawianego typu bryły. Zauważmy, że przy wierzchołkach `A` i `C^'` występują na ścianach bocznych kąty ostre `alpha` i `beta`. Przy wierzchołkach `B` i `D^'` ostry jest tylko kąt `beta`. Przy wierzchołkach `D` i `B^'` ostry jest tylko kąt `alpha`. Natomiast przy wierzchołkach `C` i `A^'` oba kąty na ścianach bocznych są rozwarte. W pierwszym rodzaju równoległościanu trójskośnego dwóm kątom ostrym przy wierzchołkach `A` i `C^'`towarzyszy kąt ostry `gamma` w podstawie: tak bryła to równoległościan trójskośny wydłużony. W drugim rodzaju dwóm kątym ostrym przy wierzchołkach `A` i `C^'`towarzyszy kąt rozwarty (przyległy do `gamma`) i taka bryła to równoległościan trójskośny skrócony.

równoległościan trójskośny
wydłużony		skrócony
przylegające kąty ścian	naroża	przylegające kąty ścian
3 ostre	`A`, `C^'`	2 ostre, 1 rozwarty (`DAB`, `B^'C^'D^'`)
2 rozwarte, 1 ostry (`B^'BC`, `A^'D^'D`)	`B`, `D^'`	2 ostre, 1 rozwarty (`ABB^'`, `CDD^'`)
2 rozwarte, 1 ostry (`BCD`, `B^'A^'D^'`)	`C`, `A^'`	3 rozwarte
2 rozwarte, 1 ostry (`CDD^'`, `A^'B^'B`)	`D`, `B^'`	2 ostre, 1 rozwarty (`ADD^'`, `BB^'C`)

Równoległościan dowolny

Jeśli zamiast sześcianu poddamy operacji pochylania dowolny prostopadłościan, otrzymamy równoległościan, w którym wysokości bryły i jej podstawy niekoniecznie równają się długości którejkolwiek z krawędzi.

równoległościan
jednoskośny	dwuskośny	trójskośny
jednoskośny	dwuskośny	wydłużony	skrócony

`P = 2(ab + ac sin alpha + bc)` `P = 2(ab + aH + bH csc alpha)`	`P = 2(ab + ac sin alpha + bc)` `P = 2(ab + aH + bH csc alpha)`	`P = 2(ab + ac sin alpha + bc)` `P = 2(ab + aH + bH csc alpha)`	`P = 2(ab + ac sin alpha + bc)` `P = 2(ab + aH + bH csc alpha)`
`V = abc sin alpha` `V = abH`	`V = abc sin alpha` `V = abH`	`V = abc sin alpha` `V = abH`	`V = abc sin alpha` `V = abH`

I znów, jeśli weźmiemy dowolny prostopadłościan i „wykrzywimy” go tak, by zachować wysokość, a jedynie przemieścić w inne miejsce jedną z podstaw (nie obracając jej), to objętość otrzymanego równoległościanu będzie taka sama, jak objętość prostopadłościanu.

Równoległościan ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków.

Równoległościan jest rodzajem pryzmatoidu i graniastosłupa (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim równoległościan nosi nazwę parallelepiped.

Rombościan

Rombościan lub romboedr to rodzaj równoległościanu, mający sześć identycznych ścian o kształcie rombów. Naturalnie wynika z tego, że jego wysokość nie jest równa krawędzi. Powstaje z sześcianu, ale zupełnie inaczej niż wyżej omówione szczególne równoległościany: ze zmianą wysokości, ale bez zmiany długości krawędzi.

Rombościan jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa (pojęcia te omówimy dalej) i równoległościanu (omówionego wyżej). W języku angielskim rombościan nosi nazwę rhombohedron. Rombościan wydłużony to prolate rhombohedron, rombościan skrócony to oblate rhombohedron.