Grzegorz Jagodziński – Podstawy matematyki

Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.

This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.

Wybrane zagadnienia z matematyki

Zbiory liczbowe

Przez liczby naturalne rozumiemy 0, 1, 2, 3, itd. (do nieskończoności). Zero jest więc liczbą naturalną. Każdy skończony zbiór ma naturalną liczbę elementów (moc zbioru skończonego jest liczbą naturalną). Zbiór pusty ma ich oczywiście zero, i właśnie to uzasadnia włączenie zera do liczb naturalnych. Liczby naturalne dodatnie to liczby naturalne z wyłączeniem zera.

Liczby całkowite obejmują liczby naturalne oraz liczby całkowite ujemne. Są to więc liczby 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, itd. (do nieskończoności).

Liczby wymierne to inaczej ułamki, a także liczby, które mogą być przedstawione jako ułamki. Zauważmy, że

oznacza po prostu 2, zatem wszystkie liczby całkowite są też wymierne. Zero jest wymierne, bo można je zapisać w postaci ułamka (np.

). Pamiętajmy, że zero możemy dzielić. Nie możemy natomiast dzielić przez zero (zapis

nie ma matematycznego sensu).

Liczby niewymierne to wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są wymierne (a nawet w ogóle wszystkie liczby, których nie da się zapisać w postaci ułamka, zatem także liczby nierzeczywiste, o których dziś w liceach się nie wspomina). Przykłady to

Liczby urojone (ani żadne z wymienionych niżej) nie są omawiane w szkołach średnich, są za to przedmiotem studiów na wielu kierunkach. Przyjmujemy, że jednostka urojona zwana

(fizycy piszą często

). Nie jest to oczywiście liczba rzeczywista, bo nie istnieje rzeczywisty pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Liczby urojone to wielokrotności liczby

. Np.

. Ponieważ każdą liczbę urojoną otrzymamy z mnożenia dowolnej liczby rzeczywistej różnej od zera przez jednostkę urojoną (a więc istnieją np. liczby urojone

), więc zbiór liczb urojonych możemy umieścić na osi liczbowej, która przecina oś liczb rzeczywistych tak samo jak oś Y przecina oś X w kartezjańskim układzie współrzędnych. Zero można uznać za jedyną liczbę, która jest zarówno rzeczywista, jak i urojona.

Liczby zespolone to sumy złożone z liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np.

. Jako część urojoną rozumie się rzeczywisty współczynnik mnożony przez jednostkę urojoną, np. liczba

ma część rzeczywistą 8 i część urojoną

. Liczby zespolone można przedstawić w postaci punktów na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych. Wówczas część rzeczywista będzie odciętą, a część urojona rzędną punktu. Liczby zespolone są więc dwuwymiarowe, w przeciwieństwie do jednowymiarowych liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych, w których część urojona równa jest zero.

Kwaterniony to czterowymiarowe liczby postaci

, gdzie symbole

oznaczają kwaterniony elementarne. Każdy z nich podniesiony do kwadratu daje

, jednak nie są to te same liczby. Mnożenie kwaternionów nie jest przemienne. W szczególności mnożenie

, ale

. Podobnie

. Jak nietrudno zgadnąć,

(wystarczy zauważyć, że

, a

). Mnożenie kwaternionu nierzeczywistego przez liczbę rzeczywistą jest przemienne. Kwaterniony mają zastosowanie na przykład w grafice komputerowej, szczególnie w grach trójwymiarowych. Liczby rzeczywiste są specjalnym rodzajem kwaternionów, w których współczynniki przy

są równe zero. Kwaterniony o postaci

to liczby zespolone, ale podobnie liczbami zespolonymi są kwaterniony

oraz

Kwaterniony i liczby zespolone nie są jedynymi znanymi liczbami wielowymiarowymi. Z ciekawszych liczb tego typu można wymienić oktoniony (ośmiowymiarowe) i sedeniony (szesnastowymiarowe), ale także dwuwymiarowe liczby podwójne i dualne, oraz czterowymiarowe kokwaterniony i tessaryny.

Podzielność liczb

O podzielności liczb mówi się już w klasach początkowych szkoły podstawowej, praktyka pokazuje jednak, że mają z nią problem nawet maturzyści. Poniżej będziemy mówić o podzielności liczb naturalnych, choć identyczne zasady możemy stosować także wobec liczb całkowitych ujemnych.

Liczby podzielne przez 2 to inaczej liczby parzyste. Wśród liczb naturalnych są to liczby 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … – a więc takie, których ostatnią cyfrą jest zero, dwa, cztery, sześć lub osiem. Zero to liczba parzysta. Liczby nieparzyste to 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … – są to liczby, których ostatnią cyfrą jest jeden, trzy, pięć, siedem lub dziewięć.

Każda liczba naturalna (przyjmujemy stale, że naturalne są 0, 1, 2, 3, …) może być albo parzysta, albo nieparzysta. Mało to, co druga liczba jest parzysta. Jeśli mamy ciąg kolejnych liczb naturalnych, i liczb tych jest parzysta ilość, to dokładnie połowa z nich jest parzysta, a druga połowa nieparzysta.

Aby ustalić, czy dana liczba jest podzielna przez 3, dodajemy jej cyfry do siebie, i sprawdzamy, czy wynik jest podzielny przez 3. Uwaga: jeszcze tylko podzielność przez 9 sprawdza się w analogiczny sposób! Jednak procedura sprawdzania podzielności przez 11 jest podobna, choć nie taka sama.

O tym uczą w szkole. Zazwyczaj jednak nie uczą (dlaczego?) o dwóch znaczących ułatwieniach tej metody.

nie dodajemy cyfr 0, 3, 6, ani 9, bo nie wpływają one w ogóle na wynik; jeśli nie ma innych cyfr, liczba jest podzielna przez 3;
możemy też opuścić dwie cyfry, które razem dają 3, 6 lub 9, na przykład 1 i 5, albo 7 i 2;
jeśli wynik dodawania jest wielocyfrowy, dodajemy cyfry wyniku (w przypadku sprawdzania podzielności wielkich liczb możemy to zrobić wielokrotnie).

Na przykład liczba 906 300 669 jest podzielna przez 3, co widać bez liczenia (nie ma w niej cyfr innych niż 0, 3, 6, 9). 381 612 też jest podzielne, bo są tu 3 i 6, które opuszczamy, a z pozostałe 8 i 1 oraz 1 i 2 zsumowane parami dają 9 i 3, a obie te liczby są podzielne przez 3. Aby ustalić podzielność przez 3 liczby 878 634 788 887, wykonujemy dodawanie z pominięciem cyfr 6 i 3: 8 + 7 + 8 + 4 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 7 = 4 + 3 · 7 + 6 · 8 = 4 + 21 + 48 = 73. W wyniku możemy jeszcze raz dodać cyfry: 7 + 3 = 10. Wynik już znamy, ale możemy jeszcze raz wykonać dodawanie (lub zgodnie z podaną regułą pominąć zero): 1 + 0 = 1. Jeden nie jest podzielne przez trzy, zatem podana liczba też nie jest podzielna przez trzy.

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Podzielne przez 4 są pełne setki. O tym mówią w szkole, nie mówią jednak na ogół, że od danej liczby wolno odjąć 20 lub jego wielokrotność (40, 60, 80). Wolno też dodać dowolną liczbę podzielną przez 4 (np. 20, 40, 60, 80, ale też np. 4). Wystarczy rozpatrywać przy tym tylko dwucyfrową końcówkę. Warto też bez obliczeń wykluczyć od razu liczby nieparzyste.

Dlatego np. 101 nie jest podzielne przez 4 (nie jest parzyste), 82 nie jest podzielne przez 4 (82 − 80 = 2, a to nie jest podzielne przez 4), podobnie nie jest też podzielne 366 (66 − 60 = 6, niepodzielne). Jest natomiast podzielne 1296 (bo 96 − 80 = 16, a to dzieli się przez 4). To samo sprawdzimy, dodając 4: 1296 + 4 = 1300, które jest podzielne przez 4 (jest pełną setką).

Sprawdzanie podzielności przez 6 to okazja do licznych pomyłek. Najprościej zapamiętać, że przez 6 są podzielne tylko liczby parzyste, które są dodatkowo podzielne przez 3 (co sprawdzamy, sumując cyfry).

Nie wolno sprawdzać podzielności przez 6, dodając cyfry i sprawdzając, czy suma jest podzielna przez 6. Nie ma takiej reguły!

Przykłady: 15 nie jest podzielne przez 6 (jest nieparzyste, a nie ma nic do rzeczy, że 1 + 5 = 6), 618 jest podzielne (liczba jest parzysta, a 1 + 8 = 9 dzieli się przez 3; w dodawaniu pomijamy 6; zauważmy, że 6 + 1 + 8 = 15, a więc suma dodawania nie jest podzielna przez 6, co nie ma żadnego znaczenia).

Cechy podzielności przez 7 są mało znane, jednak czasem umiejętność oceny takiej podzielności się przydają. Jeśli badana liczba ma więcej niż 3 cyfry, dla przyśpieszenia obliczeń zastosujemy najpierw taką oto procedurę. Dzielimy liczbę na trzycyfrowe grupy, zaczynając od prawej strony. Odejmujemy i dodajemy otrzymane grupy naprzemiennie. Badana liczba dzieli się przez 7, jeśli wartość bezwzględna liczby obliczonej przez dodawanie i odejmowanie dzieli się przez 7.

Możemy teraz zastosować inny algorytm (który zadziała dla każdej liczby). Odcinamy jedną, ostatnią cyfrę badanej liczby, mnożymy ją przez 2 i wynik odejmujemy od pozostałej części. Badana liczba dzieli się przez 7, jeśli obliczona różnica dzieli się przez 7 (pamiętajmy, że 0 dzieli się przez każdą liczbę, także przez 7). Różnica może być ujemna. W razie potrzeby procedurę powtarzamy. Uwaga: możemy też pomnożyć ostatnią cyfrę przez 5 i dodać wynik do pozostałej części, zob. niżej.

Istnieje wreszcie metoda, w której kolejne cyfry badanej liczby liczone od prawej strony mnożymy przez kolejne potęgi trójki, zaczynając od zerowej, i wyniki sumujemy. To znaczy cyfrę jedności mnożymy przez 1 (czyli zostawiamy bez zmian), cyfrę dziesiątek przez 3, cyfrę setek przez 9 itd. W praktyce metoda ta przydaje się tylko dla liczb dwu- lub trzycyfrowych.

Przykłady:

Aby ustalić podzielność 91 przez 7, odcinamy ostatnią cyfrę (1), podwajamy odciętą liczbę (2) i odejmujemy ją od pozostałej części (9): 9 − 2 = 7. Różnica jest podzielna przez 7, zatem i 91 jest podzielna przez 7. Rzeczywiście, 91 = 7 · 13. Możemy też skorzystać z metody mnożenia przez potęgi trójki. Obliczamy: 1 + 3 · 9 = 1 + 27 = 28. Wynik dzieli się przez 7, zatem i 91 dzieli się przez 7. Alternatywnie mnożymy ostatnią cyfrę (1) przez 5, i otrzymany wynik (5) dodajemy do pozostałej części (9): 5 + 9 = 14. Suma (14) dzieli się przez 7, więc i 91 dzieli się przez 7.
Aby ustalić podzielność 84 przez 7, odcinamy ostatnią cyfrę (4), podwajamy odciętą liczbę (8) i odejmujemy ją od pozostałej części (8): 8 − 8 = 0. Różnica jest podzielna przez 7 (zero jest podzielne przez każdą liczbę naturalną!), zatem i 84 jest podzielne przez 7. Rzeczywiście, 84 = 7 · 12. Korzystając z mnożenia przez potęgi trójki otrzymamy: 4 + 8 · 3 = 4 + 24 = 28, które dzieli się przez 7, zatem i 84 dzieli się przez 7.
Aby ustalić podzielność 7203 przez 7, odcinamy ostatnią cyfrę (3), podwajamy odciętą liczbę (6) i odejmujemy ją od pozostałej części (720): 720 − 6 = 714. Różnica jest podzielna przez 7 (co widać chyba dostatecznie jasno), zatem i 7203 jest podzielne przez 7. Rzeczywiście, 7203 = 7 · 1029.
Aby ustalić podzielność 366 345 przez 7, odcinamy trzy ostatnie cyfry i powstałą liczbę trzycyfrową odejmujemy (bez podwajania!) od pozostałej części: 366 − 345 = 21. Otrzymana różnica dzieli się przez 7 (bo 21 = 3 · 7), zatem i 366 345 dzieli się przez 7.
Aby ustalić podzielność 12 345 671 przez 7, tworzymy liczby 671, 345 i 12, i obliczamy −671 + 345 − 12 = −338 (równie dobrze możemy liczyć 671 − 345 + 12 = 338, byle znaki były naprzemienne). Teraz stosujemy drugą procedurę, podwajając 8 i odejmując otrzymany wynik (16) od pozostałej części (33): 33 − 16 = 17. Wynik nie dzieli się przez 7, zatem i badana liczba 12 345 671 nie dzieli się przez 7. Rzeczywiście, 12 345 671 = 1 763 667 · 7 + 2 (badana liczba daje z dzielenia przez 7 resztę 2).

Uwaga: porównaj cechy podzielności przez 11 i 13.

Aby ustalić podzielność przez 8, trzeba sprawdzić trzy ostatnie cyfry, co bywa dość nieprzyjemne. Od utworzonej w ten sposób liczby trzycyfrowej można odjąć 200 lub jego wielokrotność (400, 600 lub 800); w ten sposób największą liczbą, jaką sprawdzamy, jest 199. Od takiej liczby możemy jeszcze odjąć 40 lub jego wielokrotność (80, 120 lub 160), a to już czyni obliczenia łatwo wykonalnymi. Możemy też dodać lub odjąć dowolną liczbę podzielną przez 8 (np. 8, 16, 40, 80, 120 lub 160). Na wstępie odrzucamy jako niepodzielne liczby nieparzyste; podzielne przez 8 są natomiast pełne tysiące.

Sprawdźmy parę przykładów. 134 861 nie jest podzielne przez 8, bo jest nieparzyste. W przypadku 7966 sprawdzamy tylko 966. Odejmujemy najpierw 800: 966 − 800 = 166; od otrzymanej liczby odejmujemy 160, otrzymujemy 6, zatem liczba 7966 także nie jest podzielna przez 8. Możemy też od razu do 7966 dodać 40, otrzymując 8006. Liczba ta nie dzieli się przez 8, bo kończy się na 006. I trzeci przykład: 514 872. Posługując się schematem podstawowym, przeanalizujemy liczbę 872. Odejmiemy od niej 800; pozostanie 72, znane z tabliczki mnożenia (9 · 8), stąd cała liczba jest podzielna przez 8. Ten sam wynik uzyskamy, dodając 8 do 872. Otrzymana liczba 880 na pewno dzieli się przez 8, skoro wolno od niej odjąć 800, a następnie 80, otrzymując na końcu zero (zero jest podzielne przez każdą liczbę, także przez 8).

Podzielność przez 11 możemy sprawdzać jak podzielność przez 7 lub 13. Jeśli badana liczba ma więcej niż 3 cyfry, dzielimy ją na trzycyfrowe grupy, zaczynając od prawej strony. Odejmujemy i dodajemy otrzymane grupy naprzemiennie. Badana liczba dzieli się przez 11, jeśli wartość bezwzględna liczby obliczonej przez dodawanie i odejmowanie dzieli się przez 11.

Możemy też zastosować inny algorytm, który zadziała dla każdej liczby. W tym celu naprzemiennie dodajemy i odejmujemy po kolei cyfry badanej liczby. Dzieli się ona przez 11, jeśli wynik działania dzieli się przez 11. Procedura ta przypomina sprawdzanie podzielności przez 3 lub 9.

Przykłady:

Aby ustalić podzielność 891 przez 11, obliczamy: −8 + 9 − 1 = 0. Wynik jest podzielny przez 11 (bo 0 dzieli się przez każdą liczbę naturalną), zatem i 891 dzieli się przez 11. Rzeczywiście, 891 = 11 · 81.
Aby ustalić podzielność 12 345 671 przez 11, tworzymy liczby 671, 345 i 12, i obliczamy −671 + 345 − 12 = −338 (równie dobrze możemy liczyć 671 − 345 + 12 = 338, byle znaki były naprzemienne). Teraz stosujemy drugą procedurę: 3 − 3 + 8 = 8. Wynik nie dzieli się przez 11, zatem i badana liczba 12 345 671 nie dzieli się przez 11. Rzeczywiście, 12 345 671 = 1 122 333 · 11 + 8 (badana liczba daje z dzielenia przez 11 resztę 8). Podobny wynik otrzymamy, licząc od razu drugą metodą: −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 1 = 1 + 1 + 1 − 6 = −3.

Sprawdzanie podzielności przez 12 to okazja do licznych pomyłek. Najprościej zapamiętać, że przez 12 są podzielne tylko liczby parzyste podzielne przez 4 (co sprawdzamy, badając dwie ostatnie cyfry), które są dodatkowo podzielne przez 3 (co sprawdzamy, sumując cyfry).

Nie wolno sprawdzać podzielności przez 12, dodając cyfry i sprawdzając, czy suma jest podzielna przez 12. Nie ma takiej reguły!

Przykłady: 57 nie jest podzielne przez 12 (jest nieparzyste, a nie ma nic do rzeczy, że 5 + 7 = 12); 21 216 jest podzielne przez 12 (liczba jest parzysta, jej dwie ostatnie cyfry 16 tworzą liczbę podzielną przez 4, a 2 + 1 + 2 + 1 + 6 = 3 + 3 + 6 dzieli się przez 3, co widać bez wykonywania dodawania, bo każdy ze składników dzieli się przez 3).

Podzielność przez 13 możemy sprawdzać jak podzielność przez 7 lub 11. Jeśli badana liczba ma więcej niż 3 cyfry, dla przyśpieszenia obliczeń zastosujemy najpierw taką oto procedurę. Dzielimy liczbę na trzycyfrowe grupy, zaczynając od prawej strony. Odejmujemy i dodajemy otrzymane grupy naprzemiennie. Badana liczba dzieli się przez 13, jeśli wartość bezwzględna liczby obliczonej przez dodawanie i odejmowanie dzieli się przez 13.

Możemy teraz zastosować inny algorytm (który zadziała dla każdej liczby). Odcinamy jedną, ostatnią cyfrę badanej liczby, mnożymy ją przez 4 i wynik dodajemy do pozostałej części. Badana liczba dzieli się przez 13, jeśli obliczona suma dzieli się przez 13. W razie potrzeby procedurę powtarzamy. Możemy też ostatnią cyfrę pomnożyć przez 9 i wynik odjąć, zob. niżej.

Przykłady:

Aby ustalić podzielność 78 przez 13, odcinamy ostatnią cyfrę (8), odciętą w ten sposób liczbę mnożymy przez 4 (otrzymując 32), a wynik dodajemy do pozostałej części: 7 + 32 = 39. Wynik dzieli się przez 13 (39 = 13 · 3), zatem i badana liczba 78 dzieli się przez 13.
Aby ustalić podzielność 1001 przez 13, odcinamy ostatnią cyfrę (1), odciętą w ten sposób liczbę mnożymy przez 4 (otrzymując 4), a wynik dodajemy do pozostałej części: 4 + 100 = 104. Procedurę powtarzamy: 4 · 4 = 16, 10 + 16 = 26. Otrzymana liczba dzieli się przez 13, więc i 1001 dzieli się przez 13. To samo możemy ustalić prościej, korzystając z pierwszej metody. Dzielimy liczbę 1001 na dwie części: 1 i 1 (dwa zera wiodące wykreślamy). Różnica 1 − 1 = 0 dzieli się przez 13 (zero dzieli się przez każdą liczbę naturalną), więc i 1001 dzieli się przez 13.
Aby ustalić podzielność 85 527 przez 13, stosujemy najpierw pierwszą procedurę: 527 − 85 = 442. Teraz korzystamy z procedury drugiej: 2 · 4 = 8, 44 + 8 = 52, i ewentualnie jeszcze raz: 2 · 4 = 8, 5 + 8 = 13, z czego wnioskujemy, że liczba 85 527 jest podzielna przez 13.
Aby ustalić podzielność 366 345 przez 13, obliczamy 366 − 345 = 21. Otrzymana różnica nie dzieli się przez 13, zatem i 366 345 nie dzieli się przez 13.
Aby ustalić podzielność 461 435 przez 13, obliczamy 461 − 435 = 26. Otrzymana różnica dzieli się przez 13, zatem i 461 435 dzieli się przez 13.
Aby ustalić podzielność 12 345 671 przez 13, tworzymy liczby 671, 345 i 12, i obliczamy −671 + 345 − 12 = −338 (równie dobrze możemy liczyć 671 − 345 + 12 = 338, byle znaki były naprzemienne). Teraz stosujemy drugą procedurę: 8 · 4 = 32, 33 + 32 = 65. Wynik dzieli się przez 13 (65 = 5 · 13), ale w razie wątpliwości powtarzamy procedurę: 5 · 4 + 6 = 20 + 6 = 26 = 2 · 13. Badana liczba 12 345 671 dzieli się przez 13.

Metoda uniwersalna

Istnieje uniwersalna metoda sprawdzania podzielności przez między innymi 7, 11, 13, 17, 19… Jedynym jej ograniczeniem jest to, aby jakaś wielokrotność dzielnika, który sprawdzamy, miała jako ostatnią cyfrę 1 lub 9. Np. podzielności przez 5 nie da się sprawdzić tą metodą, bo kolejne wielokrotności piątki to 5, 10, 15, 20… Jak widać, ich ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Ale już podzielność przez 7 jak najbardziej można sprawdzić tą metodą, bo przecież

, i jest to liczba, która ma jedynkę na miejscu jedności.

Zaczynamy od znalezienia takich wielokrotności. Dla 7 będzie to 21 i 49 (może być 1 lub 9 na końcu! – ale potrzebujemy tylko jednej z nich, najlepiej mniejszej), dla 11 będzie to 11 i 99, dla 13 będzie to 39 i 91, dla 17 będzie to 51 i 119, dla 19 będzie to 19 i 171. Tym sposobem możemy zbadać dowolną inną liczbę, byle znaleźć takie wielokrotności.

Jeśli ostatnią cyfrą wielokrotności była 1, zapisujemy wcześniejsze cyfry (dla 21 będzie to 2, dla 11 będzie to 1, dla 51 będzie to 5, dla 171 będzie to 17 itd.) jako nową liczbę, którą nazwiemy

(od minus).

Jeśli wybraliśmy wielokrotność mającą 9 na miejscu jedności, również zapiszemy liczbę, tym razem nazwaną

(od plus), utworzoną z wcześniejszych cyfr, ale musimy jeszcze dodać do niej 1. Zatem dla 49 przyjmujemy

, dla 99 przyjmujemy

(o 1 więcej niż 9), dla 39 przyjmujemy

Zauważmy przy okazji, że

daje nam dzielnik, który sprawdzamy. Np. dla podzielności przez 7 wyliczyliśmy

(bo 21) i

(bo 49, ale tu dodajemy jedynkę), i rzeczywiście

Teraz bierzemy liczbę, którą mamy zbadać, czy jest podzielna przez 7, 11, 13 itd. Oddzielamy jej ostatnią cyfrę i mnożymy ją przez

lub

. Zapisujemy resztę cyfr, czyli wszystkie z wyjątkiem tej ostatniej. I teraz jeśli mnożyliśmy ostatnią cyfrę przez

, to odejmujemy wynik od tej nowej liczby. Jeśli natomiast mnożyliśmy przez

, to dodajemy wynik do tej nowej liczby. Jeśli nowa liczba jest podzielna przez to, co badamy, to i pierwotna jest podzielna. W razie konieczności procedurę powtarzamy do skutku.

Weźmy liczbę 323 323, i sprawdźmy, czy dzieli się przez 13. Dla trzynastki najbliższą wielokrotnością z jedynką lub dziewiątką jest 39, obliczamy więc

(o jeden więcej niż 3 w liczbie 39). Liczbę 323 323 rozdzielamy na 32 332 i 3, i tę ostatnią mnożymy przez

, co daje 12. Wynik dodajemy (bo

od „plus”) do pierwszej „części”: 32 332 + 12 = 32 344. Powtarzamy procedurę, rozdzielając wynik na 3234 oraz 4, które mnożone przez 4 daje 16. 3234 + 16 = 3250. I znów powtarzamy procedurę, przy czym zero po prostu odrzucamy. Dostajemy więc od razu liczby 32 i 5. Tę ostatnią mnożymy przez

, co daje 20. Dodajemy: 32 + 20 = 52. Jest to liczba podzielna przez 13 (bo 52 : 2 = 26, a 26 : 2 = 13), zatem i 323 323 jest podzielne przez 13. Rzeczywiście, 323 323 : 13 = 24 871.

Sprawdzimy jeszcze, czy ta sama liczba 323 232 dzieli się przez 7. Tym razem weźmiemy wielokrotność siódemki: 21, co daje nam

. Rozdzielamy badaną liczbę na 32 332 i 3, które mnożymy przez

(co daje 6) i wynik odejmujemy, otrzymując 32 326. Powtarzamy procedurę:

. Odcinamy zero, zostawiając 322. I jeszcze raz:

. Wynik dzieli się przez 7, ale możemy kontynuować dla hecy:

, i tu już chyba naprawdę nikt nie będzie mieć wątpliwości, że liczba 323 323 dzieli się przez 7. Rzeczywiście, 323 323 : 7 = 46 189.

Możemy też posłużyć się wielokrotnością 49 i wziąć

, a nawet stosować

dowolnie. Np. najpierw zastosujmy

, następnie zmieńmy i zastosujmy

, a teraz znów

, i na koniec

, co jest już podzielne przez 7 w sposób ewidentny.

Aby więc sprawdzić np. podzielność przez 7, ostatnią cyfrę mnożymy przez 2 i odejmujemy od pozostałej części. Ewentualnie mnożymy przez 5 i dodajemy. Przy sprawdzaniu podzielności przez 13 ostatnią cyfrę mnożymy przez 4 i dodajemy do pozostałej części (ale możemy też pomnożyć przez 9 i dodać). Dla podzielności przez 17, ostatnią cyfrę mnożymy przez 5 i odejmujemy (albo przez 12 i dodajemy), itd.

dzielnik	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47
	2	1	9	5	17	16	26	3	11	4	30	14
	5	10	4	12	2	7	3	28	25	37	13	33